Intensidad del campo gravitatorio de un sistema de masas
En el patio del colegio sueltas a la vez una piedra de 1 kg y otra de 10 kg desde la misma altura. La Tierra no las atrae con la misma fuerza, pero las dos caen con la misma aceleración. ¿Cómo describir lo que la Tierra «hace» en ese punto sin depender de qué objeto pongas allí?
El campo gravitatorio: fuerza por unidad de masa
Si medimos con un dinamómetro la fuerza gravitacional sobre cuerpos de $1\ \text{kg}$, $2\ \text{kg}$ y $5\ \text{kg}$ en el mismo laboratorio, obtenemos $9.8\ \text{N}$, $19.6\ \text{N}$ y $49\ \text{N}$. Las fuerzas son distintas, pero el cociente $F/m = 9.8\ \text{N/kg}$ es igual para todos. Ese cociente describe al punto, no al objeto.
Newton explicó la fuerza entre dos masas como una acción a distancia. La idea moderna es que cada masa modifica el espacio que la rodea: crea un campo que contiene energía y que actúa sobre cualquier otra masa que llegue ahí.
El campo de una masa puntual: $g = GM/r^2$
Al medir la aceleración de caída a distancias $R_T$, $2R_T$ y $3R_T$ del centro de la Tierra se obtienen $9.8\ \text{m/s}^2$, $2.45\ \text{m/s}^2$ y $1.09\ \text{m/s}^2$. La gravedad no baja de forma lineal con la distancia, sino mucho más rápido: al doble de distancia, la cuarta parte.
Compáralo con la ley de Coulomb: el campo eléctrico de una carga puntual también cae como $1/r^2$ ($E = k\,q/r^2$). La diferencia es que las cargas pueden ser positivas o negativas, así que el campo eléctrico puede atraer o repeler; el gravitatorio solo atrae.
Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos:…
Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.
- a) Calcula el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6.42\times10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3.39\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
- b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explica a qué se debe fijándote en la masa.
El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. La gráfica muestra esa dependencia: a) Si a una distancia $r$ del centro de un…
El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. La gráfica muestra esa dependencia:
- a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\times r$? Razona la respuesta a partir de $g = G\times\frac{M}{r^2}$.
- b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
- c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?
Principio de superposición: masas alineadas
Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2.0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado…
Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2.0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1.0\ \text{m}$ de una masa y a $3.0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.
- a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indica su sentido ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calcula el campo total en $P$.
El campo en distintos astros y a distancias grandes
El mismo modelo $g = GM/r^2$ sirve para cualquier astro. Dos astros con radios parecidos pueden tener gravedades muy distintas si sus masas lo son: el campo depende de $M$ y de $R^2$ a la vez.
| Astro | $g$ en la superficie (N/kg) |
|---|---|
| Tierra | 9.8 |
| Luna | 1.6 |
| Marte | 3.7 |
También sirve para estimar si un campo es apreciable: el del Sol o el de Júpiter en la Tierra son diminutos frente a $9.8\ \text{N/kg}$ por la enorme distancia. Y si un objeto cae libremente hacia el Sol junto con la Tierra, no «siente» ese campo como peso.
Un campo diminuto no es inútil: los gravímetros de prospección miden variaciones de $g$ de una millonésima de $\text{m/s}^2$ y así detectan masas ocultas bajo tierra (cavidades, depósitos de agua o de minerales). Y como el campo cambia de un punto a otro, su diferencia entre dos lugares también importa: es lo que origina las mareas.
En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$. a) Calcula el módulo del campo a…
En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.
- a) Calcula el módulo del campo a $0.50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Expresa el resultado en notación científica y compara su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión sacas sobre la dificultad de la medida?
Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra. a) Calcula el campo gravitatorio en la superficie de la…
Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.
- a) Calcula el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7.35\times10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1.74\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
- b) Calcula el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9.8\ \text{m/s}^2$ y comprueba que vale aproximadamente $6$.
El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de…
El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.
- a) Calcula el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1.99\times10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1.5\times10^{11}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Compara el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
- c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)
Un gravímetro de prospección geofísica puede detectar variaciones del campo gravitatorio de hasta $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Se sospecha que bajo un terreno hay un gran…
Un gravímetro de prospección geofísica puede detectar variaciones del campo gravitatorio de hasta $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Se sospecha que bajo un terreno hay un gran depósito de agua, que aproximamos por una masa puntual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profundidad. El esquema muestra la disposición:
- a) Calcula el campo gravitatorio que crea el depósito en la superficie, justo encima de él ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) ¿Podría el gravímetro detectarlo? Justifica la respuesta con los números.
- c) Cita una aplicación práctica de este tipo de mediciones.
Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6.3\times10^{11}\ \text{m}$. a) Calcula el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra…
Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6.3\times10^{11}\ \text{m}$.
- a) Calcula el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1.90\times10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Calcula la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\times g$) y compárala con su peso en la Tierra ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$).
- c) A la vista del resultado, comenta críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».
El punto donde el campo se anula
Entre dos masas siempre hay un punto donde los dos campos, de igual magnitud y sentidos contrarios, se cancelan. Para hallarlo se igualan las dos magnitudes y se despeja la distancia.
Superposición vectorial: masas no alineadas
Cuando las masas no están alineadas con el punto, cada campo tiene su propia dirección. Hay que descomponer en componentes $x$ y $y$ antes de sumar, como con cualquier suma de vectores (con $\sin$ y $\cos$).
Vuelve al principio: la piedra de $10\ \text{kg}$ sufre diez veces más fuerza ($98\ \text{N}$) que la de $1\ \text{kg}$ ($9.8\ \text{N}$), pero al dividir por la masa de cada una, $\vec{g} = \vec{F}/m$, ambas están en el mismo campo: $9.8\ \text{N/kg}$, que es su aceleración común de caída en el patio del colegio.