Ejercicios: Intensidad del campo de un sistema de masas: cálculo vectorial

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6.42\times10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3.39\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explica a qué se debe fijándote en la masa.

El campo gravitatorio de una masa puntual disminuye con el cuadrado de la distancia. La gráfica muestra esa dependencia:

1. a) Si a una distancia $r$ del centro de un planeta el campo vale $g$, ¿cuánto vale a una distancia $2\times r$? Razona la respuesta a partir de $g = G\times\frac{M}{r^2}$.
2. b) ¿A qué distancia del centro de la Tierra, expresada en radios terrestres $R_T$, el campo vale la cuarta parte del valor en la superficie?
3. c) ¿A qué altura sobre la superficie corresponde esa distancia?

En un laboratorio de metrología se quiere medir el campo gravitatorio creado por una esfera maciza de plomo de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el módulo del campo a $0.50\ \text{m}$ de su centro, tratando la esfera como una masa puntual ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Expresa el resultado en notación científica y compara su orden de magnitud con el del campo gravitatorio terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿qué conclusión sacas sobre la dificultad de la medida?

Sobre una mesa de laboratorio se colocan dos masas puntuales de $10\ \text{kg}$ cada una, separadas $2.0\ \text{m}$. Sea $P$ un punto de la recta que las une, situado fuera del segmento, a $1.0\ \text{m}$ de una masa y a $3.0\ \text{m}$ de la otra. La disposición se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en $P$ e indica su sentido ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Como ambos campos tienen la misma dirección y sentido, calcula el campo total en $P$.

Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.

1. a) Calcula el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7.35\times10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1.74\times10^{6}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcula el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9.8\ \text{m/s}^2$ y comprueba que vale aproximadamente $6$.

El Sol, por su enorme masa, también crea un campo gravitatorio apreciable a distancias astronómicas.

1. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio del Sol en la órbita de la Tierra ($M_S = 1.99\times10^{30}\ \text{kg}$, distancia media $d = 1.5\times10^{11}\ \text{m}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara el resultado con el campo en la superficie terrestre ($9.8\ \text{m/s}^2$): ¿cuántas veces menor es?
3. c) Si el Sol tira de nosotros con ese campo, ¿por qué no nos arranca de la superficie terrestre? (Pista: la Tierra y todo lo que hay sobre ella caen juntos hacia el Sol.)

Un gravímetro de prospección geofísica puede detectar variaciones del campo gravitatorio de hasta $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Se sospecha que bajo un terreno hay un gran depósito de agua, que aproximamos por una masa puntual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profundidad. El esquema muestra la disposición:

1. a) Calcula el campo gravitatorio que crea el depósito en la superficie, justo encima de él ($G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) ¿Podría el gravímetro detectarlo? Justifica la respuesta con los números.
3. c) Cita una aplicación práctica de este tipo de mediciones.

Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6.3\times10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1.90\times10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N}\times\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\times g$) y compárala con su peso en la Tierra ($g = 9.8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista del resultado, comenta críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».