Los gases ideales
Un cilindro de gas propano, un extintor de $\text{CO}_2$, un globo de aire caliente flotando sobre el lago de Atitlán: los tres se explican con una sola ecuación. Si llevas un paquete de churritos cerrado desde Escuintla hasta las tierras altas de Xela, llega inflado como un globito. ¿Cómo se relacionan la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad de gas? Eso es lo que vas a resolver aquí.
La ecuación de estado de los gases ideales
El estado de un gas encerrado en un cilindro con émbolo se describe con cuatro variables: la presión $p$ (qué tan fuerte chocan las partículas contra las paredes), el volumen $V$ (el espacio que ocupa), la temperatura $T$ (qué tan rápido se mueven en promedio) y la cantidad de sustancia $n$ (los moles de partículas).
Prueba el simulador: cambia la temperatura, el volumen y los moles, y observa qué pasa con la presión.
Para pasar de grados Celsius a kelvin: $T(\text{K}) = t(°\text{C}) + 273$.
La presión del aire que tenemos encima se mide con un barómetro: una columna de mercurio dentro de un tubo se sostiene a $760\ \text{mm}$ de altura al nivel del mar, y por eso $1\ \text{atm} = 760\ \text{mmHg}$. En un lugar más alto hay menos aire encima, la presión atmosférica baja y la columna es más corta.
Equivalencias de presión: $1\ \text{atm} = 760\ \text{mmHg} = 760\ \text{torr} = 101.3\ \text{kPa} = 101{,}300\ \text{Pa} \approx 14.7\ \text{psi}$ (lb/pulg², la unidad que ves en el manómetro de las llantas).
En el Sistema Internacional las unidades son: presión en pascal (Pa), volumen en $\text{m}^3$, temperatura en kelvin (K) y cantidad de sustancia en mol. Como $1\ \text{atm} = 101{,}300\ \text{Pa}$ y $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L} = 1000\ \text{dm}^3$, para usar $R$ con atm y L pasa el volumen de $\text{m}^3$ a L (multiplicando por 1000).
En un laboratorio se estudia el comportamiento de un gas encerrado en un cilindro con émbolo. El estado del gas queda descrito por cuatro variables: presión, volumen,…
En un laboratorio se estudia el comportamiento de un gas encerrado en un cilindro con émbolo. El estado del gas queda descrito por cuatro variables: presión, volumen, temperatura y cantidad de sustancia. El esquema muestra el gas encerrado en el cilindro con sus cuatro variables.
- a) Explica con tus palabras qué indica cada una de esas variables.
- b) Indica la unidad de cada una en el Sistema Internacional.
- c) Al aplicar la ecuación de los gases ideales, $p\times V=n\times R\times T$, con $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$, ¿en qué unidades conviene expresar la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad de sustancia?
Un recipiente rígido del laboratorio contiene un gas a $2\ \text{atm}$ y $27\ \celsius$, y ocupa un volumen de $24.6\ \text{L}$. Dato:…
Un recipiente rígido del laboratorio contiene un gas a $2\ \text{atm}$ y $27\ \celsius$, y ocupa un volumen de $24.6\ \text{L}$. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Expresa la temperatura en kelvin.
- b) Aplica la ecuación de los gases ideales, $p\times V=n\times R\times T$, y calcula cuántos moles de gas hay en el recipiente.
La caldera de una fábrica contiene $4\ \text{mol}$ de vapor de agua en un volumen de $16.4\ \text{L}$ a una presión de $10\ \text{atm}$. Dato:…
La caldera de una fábrica contiene $4\ \text{mol}$ de vapor de agua en un volumen de $16.4\ \text{L}$ a una presión de $10\ \text{atm}$. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Calcula la temperatura del vapor en kelvin.
- b) Exprésala en grados Celsius.
- c) Explica por qué es imprescindible usar kelvin y no grados Celsius en la ecuación de los gases ideales: ¿qué ocurriría con el resultado si usaras la temperatura en $\celsius$?
Cómo se relacionan las variables
En un cilindro con émbolo, ¿qué pasa si cambias una variable y mantienes fijas otras dos? Despejando de $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ salen cuatro casos:
-
$T$ y $n$ constantes: $p \cdot V$ es constante. Presión y volumen son inversamente proporcionales (si el volumen se reduce a la mitad, la presión se duplica).
-
$n$ y $p$ constantes: $V/T$ es constante. Volumen y temperatura (en kelvin) son directamente proporcionales.
-
$n$ y $V$ constantes: $p/T$ es constante. Presión y temperatura (en kelvin) son directamente proporcionales.
-
$T$ y $p$ constantes: $V/n$ es constante. Volumen y cantidad de sustancia son directamente proporcionales. Es la ley de Avogadro: más partículas, más volumen.
Estas relaciones son las leyes de los gases que ya conoces: la ley de Boyle (a $T$ y $n$ constantes, $p \cdot V$ constante), la ley de Charles (a $p$ y $n$ constantes, $V/T$ constante) y la ley de Gay-Lussac (a $V$ y $n$ constantes, $p/T$ constante). Cada una es un caso particular de $p \cdot V = n \cdot R \cdot T$ con dos variables fijas, y la ecuación general las reúne a todas.
¿Por qué? Con el modelo cinético: al reducir el volumen, las partículas chocan más seguido contra las paredes y sube $p$; al calentar, se mueven más rápido y chocan más fuerte y más seguido; al agregar partículas, hay más choques contra las paredes.
A presión constante, la gráfica $V$ frente a $T$ (en kelvin) es una recta que sale del origen: al duplicar $T$ se duplica $V$. Para leerla, toma dos puntos y comprueba que $V/T$ da el mismo valor en ambos.
Una autoclave de laboratorio, de $20\ \text{L}$ de capacidad, contiene aire a $1\ \text{atm}$ y $27\ \celsius$. Se cierra herméticamente y se calienta hasta…
Una autoclave de laboratorio, de $20\ \text{L}$ de capacidad, contiene aire a $1\ \text{atm}$ y $27\ \celsius$. Se cierra herméticamente y se calienta hasta $127\ \celsius$. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Calcula los moles de aire que hay dentro.
- b) El volumen apenas cambia al calentar: calcula la presión final suponiendo los mismos moles y el mismo volumen, a $127\ \celsius$.
- c) Comprueba que la presión se ha multiplicado por el mismo factor que la temperatura en kelvin y escribe esa relación de proporcionalidad.
- d) Explica, con el modelo cinético, por qué sube la presión al calentar y por qué es peligroso abrir la autoclave en caliente.
En una planta de fertilizantes, un reactor de $820\ \text{L}$ contiene nitrógeno, $\text{N}2$, a $40\ \text{atm}$ y $400\ \text{K}$. Datos: masa molar del $\text{N}2$,…
En una planta de fertilizantes, un reactor de $820\ \text{L}$ contiene nitrógeno, $\text{N}_2$, a $40\ \text{atm}$ y $400\ \text{K}$. Datos: masa molar del $\text{N}_2$, $28\ \text{g/mol}$; $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Calcula los moles de $\text{N}_2$ que hay en el reactor.
- b) ¿Qué masa de nitrógeno representan, en kilogramos?
- c) En el proceso se consumen $600\ \text{mol}$ de $\text{N}_2$. Si el volumen y la temperatura no cambian, calcula la presión final del reactor.
- d) Explica por qué la presión baja en la misma proporción que los moles y qué magnitud se mantiene constante en el cociente $\frac{p\times V}{n\times T}$.
Dos recipientes rígidos, de $10\ \text{L}$ y $30\ \text{L}$, están conectados por una llave que está cerrada. El primero contiene oxígeno a $4\ \text{atm}$ y…
Dos recipientes rígidos, de $10\ \text{L}$ y $30\ \text{L}$, están conectados por una llave que está cerrada. El primero contiene oxígeno a $4\ \text{atm}$ y $300\ \text{K}$; el segundo está vacío. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$. El esquema muestra el montaje con la llave aún cerrada.
- a) Calcula los moles de oxígeno encerrados.
- b) Se abre la llave y el gas se reparte por todo el volumen disponible, sin que cambie la temperatura. Calcula la presión final.
- c) Explica con el modelo cinético por qué baja la presión si no ha salido ni una sola partícula del conjunto.
Condiciones normales y volumen molar
Mide en el laboratorio el volumen de $1\ \text{mol}$ de helio ($4\ \text{g}$), de nitrógeno ($28\ \text{g}$) y de dióxido de carbono ($44\ \text{g}$) a $0\ °\text{C}$ y $1\ \text{atm}$: en los tres casos salen $22.4\ \text{L}$. ¿Por qué moléculas tan distintas ocupan el mismo espacio?
La razón: en un gas las partículas están muy separadas, así que el tamaño de cada una casi no importa; el volumen depende de cuántas partículas hay, no de su masa.
En un experimento se encierra exactamente $1\ \text{mol}$ de un gas ideal en un recipiente de $22.4\ \text{L}$ mantenido a $273\ \text{K}$. Dato:…
En un experimento se encierra exactamente $1\ \text{mol}$ de un gas ideal en un recipiente de $22.4\ \text{L}$ mantenido a $273\ \text{K}$. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Calcula la presión del gas, en atmósferas.
- b) ¿A qué valor conocido se aproxima el resultado? ¿Cómo se llaman esas condiciones de presión y temperatura?
Un globo de feria contiene $2\ \text{mol}$ de helio a $1\ \text{atm}$ y $300\ \text{K}$. Datos: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$;…
Un globo de feria contiene $2\ \text{mol}$ de helio a $1\ \text{atm}$ y $300\ \text{K}$. Datos: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$; $N_A=6.022\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.
- a) Calcula el volumen del globo.
- b) ¿Cuántos átomos de helio contiene? Expresa el resultado en notación científica, con dos decimales.
En un laboratorio se pesan $32\ \text{g}$ de oxígeno, $\text{O}2$. Datos: masa molar del $\text{O}2$, $32\ \text{g/mol}$; volumen molar en condiciones normales,…
En un laboratorio se pesan $32\ \text{g}$ de oxígeno, $\text{O}_2$. Datos: masa molar del $\text{O}_2$, $32\ \text{g/mol}$; volumen molar en condiciones normales, $22.4\ \text{L/mol}$.
- a) ¿Cuántos moles de oxígeno son?
- b) ¿Qué volumen ocuparía ese gas en condiciones normales?
La densidad de un gas
Un globo con helio sube al techo; uno inflado con $\text{CO}_2$ de un cartucho cae. ¿Cómo decide la masa de las moléculas si un gas flota o se hunde en el aire?
Una botella de $5\ \text{L}$ contiene $10\ \text{g}$ de nitrógeno gaseoso. La figura compara esa botella con el mismo volumen de agua según el modelo de partículas. a)…
Una botella de $5\ \text{L}$ contiene $10\ \text{g}$ de nitrógeno gaseoso. La figura compara esa botella con el mismo volumen de agua según el modelo de partículas.
- a) Calcula la densidad del gas en $\text{g/L}$ (la masa dividida por el volumen).
- b) La densidad del agua es $1000\ \text{g/L}$: ¿cuántas veces más densa es el agua que ese gas?
- c) Explica, con el modelo de partículas, por qué los gases tienen densidades tan pequeñas en comparación con los líquidos.
El $\text{CO}2$ es más denso que el aire, lo que explica que pueda acumularse en el fondo de pozos y de bodegas mal ventiladas. Datos: masa molar del $\text{CO}2$,…
El $\text{CO}_2$ es más denso que el aire, lo que explica que pueda acumularse en el fondo de pozos y de bodegas mal ventiladas. Datos: masa molar del $\text{CO}_2$, $44\ \text{g/mol}$; $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$; densidad del aire en condiciones normales, $1.29\ \text{g/L}$.
- a) Calcula la masa de $1\ \text{mol}$ de $\text{CO}_2$ y el volumen que ocupa en condiciones normales ($1\ \text{atm}$ y $273\ \text{K}$).
- b) Calcula la densidad del $\text{CO}_2$ en condiciones normales, con un decimal.
- c) Compárala con la del aire y explica por qué el $\text{CO}_2$ se acumula en las zonas bajas.
En un laboratorio se recibe una botella con un gas desconocido. Al medir su masa y su volumen se obtiene una densidad de $1.43\ \text{g/L}$ en condiciones normales.…
En un laboratorio se recibe una botella con un gas desconocido. Al medir su masa y su volumen se obtiene una densidad de $1.43\ \text{g/L}$ en condiciones normales. Dato: volumen molar en condiciones normales, $22.4\ \text{L/mol}$.
- a) Calcula la masa de $22.4\ \text{L}$ del gas, es decir, su masa molar.
- b) ¿De qué gas puede tratarse: $\text{H}_2$ ($2\ \text{g/mol}$), $\text{O}_2$ ($32\ \text{g/mol}$) o $\text{CO}_2$ ($44\ \text{g/mol}$)? Justifica la respuesta.
Tanques, globos y recipientes: la ecuación en situaciones reales
Casi todos los problemas se resuelven igual: identifica qué te dan, pasa a las unidades de $R$ y despeja la incógnita. Si el gas cambia de condiciones, calcula primero los moles (que se conservan si no sale gas) y luego aplica la ecuación al nuevo estado.
Si dos recipientes se conectan con una llave y la abres, el gas se reparte por todo el volumen disponible: los moles totales se conservan y el volumen final es la suma de los dos volúmenes. Con la temperatura constante, calculas $n$ en el estado inicial y despejas la presión final con $V_{total}$.
Leer la gráfica presión-volumen
A temperatura constante y con los mismos moles, $p \cdot V$ es constante (ley de Boyle). Si representas $p$ frente a $V$, sale una curva descendente (una hipérbola): cuando el volumen crece, la presión baja. Para leerla, escoge un punto, lee su $p$ en el eje vertical y su $V$ en el horizontal, y comprueba que el producto $p \cdot V$ es igual en todos los puntos de la curva.
Un globo aerostático funciona con esta misma ecuación: está abierto por abajo, así que la presión interior es siempre la atmosférica. Si calientas el aire, su densidad $\rho = pM/(RT)$ baja y queda menor que la del aire frío exterior: el globo flota.
Un globo contiene $0.25\ \text{mol}$ de helio a $27\ \celsius$ y el barómetro marca una presión exterior de $380\ \text{mmHg}$. Datos: $1\ \text{atm}=760\ \text{mmHg}$;…
Un globo contiene $0.25\ \text{mol}$ de helio a $27\ \celsius$ y el barómetro marca una presión exterior de $380\ \text{mmHg}$. Datos: $1\ \text{atm}=760\ \text{mmHg}$; $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$.
- a) Expresa la temperatura en kelvin y la presión en atmósferas.
- b) Calcula el volumen del globo.
Un globo aerostático está abierto por abajo, de modo que la presión del aire interior es siempre la atmosférica, $1\ \text{atm}$. El aire exterior está a $27\ \celsius$…
Un globo aerostático está abierto por abajo, de modo que la presión del aire interior es siempre la atmosférica, $1\ \text{atm}$. El aire exterior está a $27\ \celsius$ y el quemador calienta el aire interior hasta $127\ \celsius$. Datos: masa molar media del aire, $29\ \text{g/mol}$; $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$. El esquema representa el globo y el aire interior y exterior.
- a) Expresa ambas temperaturas en kelvin y calcula la densidad del aire exterior.
- b) Calcula la densidad del aire caliente del interior.
- c) Compara la masa de $1000\ \text{L}$ ($1\ \text{m}^3$) de aire en el interior y en el exterior, y usa esa diferencia para explicar por qué el globo asciende.
Un globo sonda se llena en tierra con $100\ \text{mol}$ de helio, a $1\ \text{atm}$ y $300\ \text{K}$. Asciende hasta la estratosfera, donde la presión es de…
Un globo sonda se llena en tierra con $100\ \text{mol}$ de helio, a $1\ \text{atm}$ y $300\ \text{K}$. Asciende hasta la estratosfera, donde la presión es de $0.2\ \text{atm}$ y la temperatura de $-48\ \celsius$. Dato: $R=0.082\ \text{atm}\times\text{L}/(\text{mol}\times\text{K})$. La figura muestra el globo en el lanzamiento y en la estratosfera.
- a) Calcula el volumen del globo en el momento del lanzamiento y exprésalo en $\text{m}^3$.
- b) Expresa la temperatura de la estratosfera en kelvin y calcula el volumen del globo a esa altura.
- c) A la vista de los resultados, explica por qué estos globos se lanzan a medio hinchar y por qué acaban estallando a gran altura.
Vuelve al principio: en el extintor, el $\text{CO}_2$ se guarda comprimido; al abrir la válvula se expande hasta $1\ \text{atm}$ y ocupa cientos de veces su volumen. Y como su densidad (unos $1.97\ \text{g/L}$) es mayor que la del aire, cubre el fuego y desplaza al oxígeno. Y el paquete de churritos: en Xela la presión exterior es menor, el aire encerrado se expande ($p \cdot V$ constante) y el paquete se infla.