Cifras significativas, notación científica y factores de conversión
En el mercado de Quetzaltenango pides una libra de frijoles y la vendedora te la pesa. En el laboratorio de tu colegio, la balanza marca $453.6$ g. Un catedrático dice que son $454$ g y otro, que son $450$ g. ¿Cuál es la respuesta correcta y por qué el resultado de un cálculo no puede tener tantos decimales como muestra la calculadora? En esta página aprenderás a leer, escribir y convertir medidas como lo hace un químico, y al final volveremos a esta pregunta.
Qué son las cifras significativas
Toda medida viene de un instrumento, y todo instrumento tiene un límite. Al medir con una regla graduada en milímetros, lees con seguridad los centímetros y los milímetros, y estimas una cifra más entre dos rayitas. Esa última cifra es dudosa, pero tiene valor.
Las cifras significativas son las cifras seguras de una medida más la primera cifra estimada. Dicen qué tan precisa es la medición.
La lectura $4.35$ cm tiene 3 cifras significativas: dos seguras (4 y 3) y una estimada (5).
¿Por qué el cero final de $0.00450$ cuenta y los ceros iniciales no? Porque escribir el cero final indica que el instrumento llegó a esa posición. Los ceros iniciales solo señalan dónde está el punto: $0.00450$ g es lo mismo que $4.50$ mg.
Indica cuántas cifras significativas tiene cada medida: a) $0.00450$ g b) $1{,}200$ mL c) $305.2$ cm d) $6.02 \times 10^{23}$ partículas
Indica cuántas cifras significativas tiene cada medida:
- a) $0.00450$ g
- b) $1{,}200$ mL
- c) $305.2$ cm
- d) $6.02 \times 10^{23}$ partículas
Operar con cifras significativas
Una cadena es tan fuerte como su eslabón más débil. Un resultado no puede ser más preciso que el dato menos preciso. Por eso la calculadora, que muestra 8 dígitos, no manda: manda el instrumento. Hay dos reglas, según la operación.
¿Por qué dos reglas? Al sumar importa hasta qué posición decimal llega la medida (el lugar de la duda). Al multiplicar importa el número de cifras de cada factor, o sea, su precisión relativa.
Para redondear se mira la primera cifra que se descarta. Si es 5 o más, la última cifra que se conserva sube una unidad. Si es menos de 5, se queda igual. Prueba el widget con el resultado de una multiplicación:
Una balanza del laboratorio del instituto indica que una muestra de azúcar tiene una masa de $12.45$ g, y otra muestra tiene $3.2$ g. Calcula la suma de las dos masas y…
Una balanza del laboratorio del instituto indica que una muestra de azúcar tiene una masa de $12.45$ g, y otra muestra tiene $3.2$ g. Calcula la suma de las dos masas y la multiplicación de $12.45$ por $3.2$, y expresa cada resultado con el número correcto de cifras significativas. Explica la regla que aplicaste en cada caso.
Notación científica y prefijos del SI
Un átomo de oro pesa $0.000000000000000000000327$ g. Escribirlo así invita al error. En química se manejan números enormes y minúsculos, y para eso se usa la notación científica.
El exponente cuenta cuántos lugares se movió el punto decimal: positivo si el número original es grande, negativo si es menor que 1.
Con potencias de diez multiplicas sumando exponentes y divides restándolos: $(2.0 \times 10^{5})(3.0 \times 10^{-2}) = 6.0 \times 10^{3}$.
Prefijos del Sistema Internacional
Los prefijos son notación científica ya incorporada al nombre de la unidad.
| Prefijo | Símbolo | Factor | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| giga | G | $10^{9}$ | 1 Gm $= 10^{9}$ m |
| mega | M | $10^{6}$ | 1 MPa $= 10^{6}$ Pa |
| kilo | k | $10^{3}$ | 1 kg $= 10^{3}$ g |
| centi | c | $10^{-2}$ | 1 cm $= 10^{-2}$ m |
| mili | m | $10^{-3}$ | 1 mL $= 10^{-3}$ L |
| micro | µ | $10^{-6}$ | 1 µg $= 10^{-6}$ g |
| nano | n | $10^{-9}$ | 1 nm $= 10^{-9}$ m |
Escribe en notación científica: a) $45{,}000{,}000$ m b) $0.00000372$ g c) $602{,}000$ s d) $0.0805$ L
Escribe en notación científica:
- a) $45{,}000{,}000$ m
- b) $0.00000372$ g
- c) $602{,}000$ s
- d) $0.0805$ L
Completa las equivalencias usando los prefijos del Sistema Internacional: a) $1$ km $=$ _ m b) $1$ mg $=$ _ g c) $1$ L $=$ _ mL d) $1$ cm $=$ _ m
Completa las equivalencias usando los prefijos del Sistema Internacional:
- a) $1$ km $=$ ___ m
- b) $1$ mg $=$ ___ g
- c) $1$ L $=$ ___ mL
- d) $1$ cm $=$ ___ m
El factor unitario
Para convertir $2$ docenas de huevos a unidades multiplicas por $12$ huevos por docena. Con las unidades pasa igual. Una equivalencia como $1$ lb $= 453.6$ g se puede escribir como dos fracciones que valen $1$:
$$\frac{453.6\ \text{g}}{1\ \text{lb}} = 1 \qquad \frac{1\ \text{lb}}{453.6\ \text{g}} = 1$$Multiplicar por $1$ no cambia la cantidad, solo la unidad en que se expresa. Eso es el método del factor unitario. Se elige la fracción que cancela la unidad que quieres quitar.
Equivalencias de uso diario en Guatemala (conviértelas siempre al SI):
| Equivalencia | Tipo |
|---|---|
| $1$ lb $= 453.6$ g | medida |
| $1$ oz $= 28.35$ g | medida |
| $1$ quintal $= 100$ lb | exacta (definición) |
| $1$ galón $= 3.785$ L | medida |
| $1$ pulg $= 2.54$ cm | exacta |
| $1$ L $= 1000$ mL; $1$ mL $= 1$ cm³ | exactas |
En el mercado, Josué compra $5.0$ lb de frijoles. Usa $1$ lb $= 453.6$ g y el método del factor unitario para expresar esa masa en gramos y en kilogramos. Escribe tu…
En el mercado, Josué compra $5.0$ lb de frijoles. Usa $1$ lb $= 453.6$ g y el método del factor unitario para expresar esa masa en gramos y en kilogramos. Escribe tu respuesta con el número adecuado de cifras significativas y muestra cómo se cancelan las unidades.
Conversiones encadenadas y análisis dimensional
Muchos problemas necesitan varios factores seguidos, y a veces cambian dos unidades a la vez (como km/h a m/s). Se llama análisis dimensional a planificar la cadena mirando solo las unidades: si al final queda la unidad pedida, el camino es correcto. Una densidad también es un factor unitario: $\rho = 0.92$ g/mL significa $\frac{0.92\ \text{g}}{1\ \text{mL}}$.
Un carro en Ciudad de Guatemala consume $1.0$ galón de gasolina en un recorrido. Si $1$ galón $= 3.785$ L y la densidad de la gasolina es de $0.74$ g/mL, calcula la masa…
Un carro en Ciudad de Guatemala consume $1.0$ galón de gasolina en un recorrido. Si $1$ galón $= 3.785$ L y la densidad de la gasolina es de $0.74$ g/mL, calcula la masa de gasolina consumida en kilogramos. Plantea las conversiones con factores unitarios y expresa el resultado con las cifras significativas correctas.
Un camión cisterna recorre una carretera a $72$ km/h. Expresa esa rapidez en m/s y luego en pies/s, usando $1$ pie $= 0.3048$ m. Después calcula cuántos metros recorre…
Un camión cisterna recorre una carretera a $72$ km/h. Expresa esa rapidez en m/s y luego en pies/s, usando $1$ pie $= 0.3048$ m. Después calcula cuántos metros recorre en $2.5$ minutos. Muestra el análisis dimensional completo y da cada resultado con cifras significativas adecuadas.
Órdenes de magnitud y números muy grandes
Contar átomos significa dividir una masa grande entre una masa diminuta, o sea manejar potencias de diez. Para saber si un resultado es razonable basta comparar órdenes de magnitud: la potencia de diez más cercana al número. Dos resultados que difieren en un factor $10^{3}$ se equivocan en 3 órdenes de magnitud.
Un átomo de oro tiene una masa aproximada de $3.27 \times 10^{-22}$ g. Una joya de oro tiene una masa de $0.0150$ kg. a) Expresa la masa de la joya en gramos en notación…
Un átomo de oro tiene una masa aproximada de $3.27 \times 10^{-22}$ g. Una joya de oro tiene una masa de $0.0150$ kg.
- a) Expresa la masa de la joya en gramos en notación científica.
- b) Calcula cuántos átomos de oro contiene aproximadamente.
- c) Si un grupo de estudiantes afirma que son $4.6 \times 10^{19}$ átomos, indica por cuántos órdenes de magnitud se equivocan y explica cuál error de potencia de diez pudieron cometer.
Vuelve al principio: la libra de frijoles pesa $453.6$ g con la precisión de una balanza de laboratorio (4 cifras significativas). Si la balanza del mercado solo da $450$ g, ese valor tiene menos cifras: no es incorrecto, es menos preciso. Una medida correcta se escribe con las cifras que el instrumento permite.