Pertes par effet Joule et haute tension
Quand tu charges ton téléphone, l'électricité vient parfois d'une centrale située à des centaines de kilomètres. Pourtant, sur les pylônes, on lit des tensions de 225 000 ou 400 000 volts, bien plus que les 230 V de ta prise. Pourquoi transporter l'électricité sous une tension aussi élevée ? Nous répondrons à cette question à la fin de la page.
Pertes par effet Joule
Un fil parcouru par un courant s'échauffe : c'est l'effet Joule, comme dans un grille-pain. Sur une ligne électrique, cette chaleur est de l'énergie perdue, car elle n'arrive pas chez les consommateurs.
Pourquoi $I^2$ ? La chute de tension le long de la ligne vaut $\Delta U = R\,I$ (loi d'Ohm). Attention : elle est distincte de la tension de transport $U$ (par exemple 400 kV), que l'on rencontrera dans la section suivante. La puissance dissipée vaut $\Delta U \cdot I$, donc $R\,I \cdot I = R\,I^2$. Si l'intensité double, les pertes sont multipliées par 4.
On exprime aussi les pertes en pourcentage : $\dfrac{P_J}{P_{\text{transportée}}} \times 100$. Si une ligne transporte 100 MW et perd 4 MW, les pertes sont de 4 %, et 96 MW sont livrés.
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$. a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec…
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$.
- a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec $P_J=RI^2$.
- b) Calculer l'énergie perdue en $\text{kWh}$ en $10$ heures.
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule. a) Calculer le pourcentage de pertes. b) Calculer la puissance effectivement livrée aux…
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule.
- a) Calculer le pourcentage de pertes.
- b) Calculer la puissance effectivement livrée aux consommateurs.
Pourquoi la haute tension ?
En France, le réseau de transport d'électricité (lignes de 225 kV et 400 kV) est exploité par RTE, le gestionnaire du réseau de transport d'électricité. Une centrale doit fournir une puissance $P$ donnée. Or $P = U\,I$ : pour la même puissance, plus la tension $U$ est grande, plus l'intensité $I = \dfrac{P}{U}$ est petite. Et comme les pertes dépendent de $I^2$, on gagne beaucoup.
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$. a) Calculer l'intensité $I$ du courant. b) Calculer l'intensité si…
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$.
- a) Calculer l'intensité $I$ du courant.
- b) Calculer l'intensité si la tension est portée à $400\ \text{kV}$ pour la même puissance.
- c) Comparer les deux intensités.
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$. a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$. b)…
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$.
- a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$.
- b) Même question pour $U=400\ \text{kV}$.
- c) Calculer le rapport entre les pertes dans les deux cas et le relier au rapport des tensions.
Résistance d'une ligne et coût des pertes
La résistance d'une ligne est proportionnelle à sa longueur : $R = r \times L$, où $r$ est la résistance linéique (en $\Omega\cdot\text{km}^{-1}$).
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous…
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous $225\ \text{kV}$.
- a) Calculer la résistance de la ligne.
- b) Calculer l'intensité du courant.
- c) Calculer les pertes Joule en MW puis en pourcentage de la puissance transportée.
- d) Calculer le coût de ces pertes sur une journée si l'énergie vaut $60\ €$ par $\text{MWh}$.
Transformateurs et courant alternatif
Les alternateurs produisent une tension de quelques dizaines de kV. Pour la monter à 400 kV puis la redescendre près des habitations, on utilise des transformateurs, qui ne fonctionnent qu'en courant alternatif (un courant variable est nécessaire pour induire une tension dans le second bobinage).
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée). a) Calculer le rapport de transformation. b) Pour…
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée).
- a) Calculer le rapport de transformation.
- b) Pour un courant de $500\ \text{A}$ au primaire, calculer le courant au secondaire.
- c) Expliquer pourquoi le transport se fait en courant alternatif avec des transformateurs.
Optimiser : pertes, coût et courant continu
On a $P_J = \dfrac{R P^2}{U^2}$. Le pourcentage de pertes vaut $\dfrac{P_J}{P} = \dfrac{R P}{U^2}$ : il est proportionnel à $P$ et inversement proportionnel à $U^2$. Pour imposer un seuil, par exemple $2\ \%$, on résout $\dfrac{R P}{U^2} \le 0{,}02$, d'où $U \ge \sqrt{\dfrac{R P}{0{,}02}}$.
Mais augmenter $U$ a un coût : isolation, pylônes plus hauts. Le coût total est la somme d'un terme décroissant ($\propto 1/U^2$) et d'un terme croissant ($\propto U$). On étudie ses variations par la dérivée : le minimum est atteint là où $c'(U) = 0$.
Pour de très longues distances, on utilise aussi le courant continu haute tension (HVDC) : pertes plus faibles, mais stations de conversion coûteuses. On calcule alors un temps de retour sur investissement : $\dfrac{\text{surcoût}}{\text{économie annuelle}}$.
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$. a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. b) Montrer que le…
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$.
- a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$.
- b) Montrer que le pourcentage de pertes est proportionnel à $P$ et inversement proportionnel à $U^2$.
- c) Avec $R=10\ \Omega$ et $P=100\ \text{MW}$, calculer la tension minimale pour que les pertes ne dépassent pas $2\ \%$.
Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et…
Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et d'un coût d'isolation proportionnel à $U$.
Pertes : $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. Le coût des pertes est $k_1P_J$ avec $k_1=0{,}5\ \text{M€ par MW}$ de pertes, et le coût d'isolation est $k_2U$ avec $k_2=0{,}002\ \text{M€ par kV}$.
- a) Exprimer $c(U)$ en fonction de $U$ en kV.
- b) Étudier les variations de $c$ sur $]0\,;+\infty[$.
- c) Déterminer la tension qui minimise le coût et calculer ce coût.
- d) Commenter le résultat vis-à-vis des tensions utilisées en France (225 kV et 400 kV).
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur…
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur $600\ \text{km}$. Les pertes sont de $7\ \%$ en CA et de $3\ \%$ en HVDC. L'énergie perdue est valorisée à $70\ €$ par $\text{MWh}$ et la ligne fonctionne $8\,000$ heures par an.
- a) Calculer l'énergie perdue annuellement dans chaque cas en $\text{GWh}$.
- b) Calculer l'économie annuelle réalisée avec la HVDC.
- c) La HVDC coûte $150\ \text{M€}$ de plus à l'installation. Calculer la durée d'amortissement.
- d) Citer une limite du choix de la HVDC.
Retour au début : on transporte l'électricité sous 225 ou 400 kV pour réduire l'intensité, donc les pertes par effet Joule, qui varient comme $I^2$.