Fréquences et probabilités en génétique des populations
En France, la mucoviscidose touche environ une naissance sur $4\,500$. Pourtant, on estime qu'environ une personne sur $33$ en est porteuse sans être malade. Comment peut-on connaître la proportion de porteurs « cachés » alors qu'ils ne présentent aucun symptôme ? Les probabilités et les fréquences permettent de le calculer. À la fin de la page, tu retrouveras ce résultat.
Fréquences génotypiques et alléliques
Un gène existe sous plusieurs versions, les allèles. Chaque individu diploïde possède deux allèles par gène : son génotype (par exemple $AA$, $Aa$ ou $aa$).
Pour décrire une population, on compte des individus ou des allèles et on calcule des proportions.
Une fréquence est un nombre compris entre $0$ et $1$ (ou un pourcentage). Pour les deux allèles d'un gène, on note souvent $p$ la fréquence de $A$ et $q$ celle de $a$. Il n'y a pas d'autre allèle, donc $p+q=1$.
Dans une population de $2\,000$ individus, $320$ possèdent un allèle $a$ à l'état homozygote. a) Calculer la fréquence de ce génotype. b) Calculer la fréquence du…
Dans une population de $2\,000$ individus, $320$ possèdent un allèle $a$ à l'état homozygote.
- a) Calculer la fréquence de ce génotype.
- b) Calculer la fréquence du génotype dans une population de $5\,000$ individus où $800$ sont dans ce cas.
- c) Les deux populations ont-elles la même fréquence ?
Probabilités de transmission
Lors de la formation des gamètes, les deux allèles d'un gène se séparent : chaque gamète en reçoit un seul. Un individu $Aa$ produit donc des gamètes $A$ et des gamètes $a$, avec la même probabilité $\dfrac{1}{2}$.
La fécondation réunit un gamète de chaque parent, de façon indépendante. On multiplie donc les probabilités.
Le tableau de croisement (échiquier de Punnett) et l'arbre pondéré donnent le même résultat. Teste le croisement avec ce simulateur.
Un parent hétérozygote $Aa$ transmet l'allèle $A$ ou $a$ avec la même probabilité à chaque gamète. a) Donner la probabilité qu'un enfant de deux parents $Aa$ soit $aa$.…
Un parent hétérozygote $Aa$ transmet l'allèle $A$ ou $a$ avec la même probabilité à chaque gamète.
- a) Donner la probabilité qu'un enfant de deux parents $Aa$ soit $aa$.
- b) Donner la probabilité qu'il soit $Aa$.
Le modèle de Hardy-Weinberg
Comment passer des fréquences alléliques aux fréquences génotypiques ? Imagine que tous les gamètes de la population soient mélangés dans un grand « sac ». Une proportion $p$ d'entre eux porte l'allèle $A$ et une proportion $q$ porte l'allèle $a$. Une fécondation revient à tirer deux gamètes au hasard dans ce sac.
On suppose que la population est très grande, que les unions se font au hasard et qu'il n'y a ni sélection, ni mutation, ni migration. On a alors :
Pourquoi $2pq$ ? Il y a deux façons d'obtenir un hétérozygote : $A$ puis $a$, ou $a$ puis $A$, chacune de probabilité $pq$.
On remarque que les hétérozygotes ne dépassent jamais $0{,}5$ et que, si un allèle est rare, la plupart de ses porteurs sont hétérozygotes. C'est ce qui permet de répondre à la question du début.
Pour la mucoviscidose, $q^2 = \dfrac{1}{4\,500}$ donne $q \approx 0{,}015$ et $2pq \approx 0{,}03$ : environ une personne sur $33$. L'accroche du début est bien refermée. Les porteurs sains sont bien plus nombreux que les malades.
Pour la probabilité qu'un couple tiré au hasard ait un enfant $aa$, il faut que chaque parent transmette $a$. Un individu choisi au hasard transmet $a$ avec la probabilité $q$ (c'est la fréquence de $a$ dans les gamètes), et sûrement pas $a$ s'il est $AA$. Si les deux parents sont choisis au hasard, $P(aa) = q \times q = q^2$. Si on sait qu'un parent est $AA$, $P(aa) = 0$.
La fréquence de $a$ à la génération suivante est $q^2 + \frac12 \cdot 2pq = q^2 + pq = q(q + p) = q$ : elle ne change pas. C'est l'esprit du modèle : sans autre force, les fréquences alléliques restent stables.
Dans une population, la fréquence de l'allèle $A$ est $p=0{,}7$ et celle de l'allèle $a$ est $q$. a) Calculer $q$. b) En supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg,…
Dans une population, la fréquence de l'allèle $A$ est $p=0{,}7$ et celle de l'allèle $a$ est $q$.
- a) Calculer $q$.
- b) En supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg, calculer la fréquence des génotypes $AA$, $Aa$ et $aa$.
- c) Vérifier que la somme vaut $1$.
Une maladie génétique récessive touche $1$ personne sur $2\,500$ en France, soit $q^2=\dfrac{1}{2\,500}$ en supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg. a) Calculer $q$ puis…
Une maladie génétique récessive touche $1$ personne sur $2\,500$ en France, soit $q^2=\dfrac{1}{2\,500}$ en supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg.
- a) Calculer $q$ puis $p=1-q$.
- b) Calculer la fréquence des porteurs sains $2pq$.
- c) Calculer le nombre attendu de porteurs sains pour $1\,000\,000$ de personnes.
Dans une population, la fréquence de l'allèle $a$ est $q=0{,}2$. a) Calculer, sous l'équilibre de Hardy-Weinberg, les fréquences des trois génotypes à la génération…
Dans une population, la fréquence de l'allèle $a$ est $q=0{,}2$.
- a) Calculer, sous l'équilibre de Hardy-Weinberg, les fréquences des trois génotypes à la génération suivante.
- b) Un individu $AA$ est choisi au hasard dans la population. Il s'apparie avec un individu choisi au hasard. Calculer la probabilité que leur premier enfant soit $aa$.
- c) Calculer la probabilité qu'un couple formé de deux individus choisis au hasard ait un enfant $aa$.
- d) Justifier que la fréquence de $a$ reste $0{,}2$ à la génération suivante.
Dérive génétique et hasard
Le modèle de Hardy-Weinberg suppose une population très grande. Dans une petite population, le hasard de l'échantillonnage des gamètes fait varier les fréquences d'une génération à l'autre.
Imagine que $50$ individus ($100$ allèles) soient tirés dans une grande population où $A$ a pour fréquence $0{,}6$. En moyenne, on obtient $60$ allèles $A$. Mais, comme à pile ou face, on obtiendra parfois $57$ ou $64$ : la fréquence observée vaut $0{,}57$ ou $0{,}64$, rarement exactement $0{,}6$.
Plus la population est petite, plus les écarts au hasard sont importants. Avec $100$ allèles, l'écart typique est d'environ $0{,}05$ ; avec $10\,000$ allèles, il est dix fois plus petit. À long terme, un allèle peut disparaître ($f = 0$) ou être fixé ($f = 1$) uniquement par hasard.
Un nouvel allèle apparu par mutation existe en un seul exemplaire parmi $2N$ allèles : sa fréquence initiale est $\dfrac{1}{2N}$. Sans sélection, tous les allèles de la population ont la même chance de devenir, un jour, l'ancêtre de tous les autres. La probabilité de fixation d'un allèle neutre vaut donc sa fréquence initiale $\dfrac{1}{2N}$. Elle est très faible : presque toutes les mutations neutres disparaissent par hasard.
Une population de $50$ individus a pour fréquence de l'allèle $A$ égale à $0{,}6$. À chaque génération, les $50$ individus sont tirés au hasard dans une population très…
Une population de $50$ individus a pour fréquence de l'allèle $A$ égale à $0{,}6$. À chaque génération, les $50$ individus sont tirés au hasard dans une population très grande où la fréquence de $A$ vaut $0{,}6$. On s'intéresse à cet effet d'échantillonnage aléatoire, qui est à l'origine de la dérive génétique.
- a) Expliquer pourquoi la fréquence dans la population de $50$ individus ne vaut pas exactement $0{,}6$ à chaque génération.
- b) Expliquer pourquoi la dérive est plus forte dans les petites populations.
- c) Donner la fréquence attendue en moyenne.
Dans une population de $N$ individus diploïdes, un nouvel allèle apparaît par mutation en un seul exemplaire. En l'absence de sélection, sa fréquence initiale est…
Dans une population de $N$ individus diploïdes, un nouvel allèle apparaît par mutation en un seul exemplaire. En l'absence de sélection, sa fréquence initiale est $\dfrac{1}{2N}$.
- a) Calculer cette fréquence pour $N=100$ puis $N=10\,000$.
- b) Expliquer pourquoi, sans sélection, la probabilité que cet allèle finisse par être fixé vaut sa fréquence initiale.
- c) Calculer cette probabilité pour $N=100$.
- d) Comparer avec la probabilité de fixation d'un allèle légèrement avantageux et expliquer le rôle du hasard.
Sélection et suites de fréquences
La sélection naturelle est un mécanisme orienté : un allèle qui augmente les chances de survie ou de reproduction voit sa fréquence augmenter. On la modélise par une suite $(p_n)$ qui donne la fréquence à la génération $n$, définie par une relation de récurrence $p_{n+1} = f(p_n)$.
Un cas extrême est celui d'un allèle récessif létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La sélection élimine alors $a$, mais lentement, car les hétérozygotes $Aa$ le protègent. Quand une suite est de la forme $q_{n+1} = \dfrac{q_n}{1 + q_n}$, on introduit $w_n = \dfrac{1}{q_n}$ :
Dans ce cas, $q_n$ tend vers $0$ mais décroît comme $\frac{1}{n}$ : très lentement. Quand $q$ est petit, presque tous les allèles $a$ sont portés par des hétérozygotes $Aa$, qui ne sont pas éliminés. La sélection n'a presque plus de prise.
Un allèle $a$ confère un avantage sélectif : la fréquence $p_n$ de $a$ à la génération $n$ vérifie $p_{n+1}=\dfrac{1{,}1\,p_n}{1+0{,}1\,p_n}$, avec $p_0=0{,}1$. a)…
Un allèle $a$ confère un avantage sélectif : la fréquence $p_n$ de $a$ à la génération $n$ vérifie $p_{n+1}=\dfrac{1{,}1\,p_n}{1+0{,}1\,p_n}$, avec $p_0=0{,}1$.
- a) Calculer $p_1$ et $p_2$ (arrondis au millième).
- b) Montrer que $p_{n+1}>p_n$ tant que $0
- c) Interpréter ce résultat en termes de sélection naturelle.
Un allèle récessif délétère $a$ est entièrement létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La fréquence de $a$ à la génération $n$ est $q_n$,…
Un allèle récessif délétère $a$ est entièrement létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La fréquence de $a$ à la génération $n$ est $q_n$, et on admet que $q_{n+1}=\dfrac{q_n}{1+q_n}$ avec $q_0=0{,}1$.
- a) Calculer $q_1$, $q_2$ et $q_3$.
- b) On pose $w_n=\dfrac{1}{q_n}$. Montrer que $(w_n)$ est arithmétique et exprimer $q_n$ en fonction de $n$.
- c) Déterminer le nombre de générations nécessaire pour que $q_n$ passe sous $0{,}01$.
- d) Expliquer pourquoi l'allèle disparaît très lentement.
L'essentiel
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La fréquence d'un génotype est son effectif divisé par l'effectif total ; celle d'un allèle est son nombre d'exemplaires divisé par $2N$. Avec deux allèles, $p + q = 1$.
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Un parent $Aa$ transmet $A$ ou $a$ avec la probabilité $\frac12$ ; les fécondations sont indépendantes, on multiplie les probabilités.
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À l'équilibre de Hardy-Weinberg, $f(AA) = p^2$, $f(Aa) = 2pq$ et $f(aa) = q^2$. Les fréquences alléliques restent stables d'une génération à l'autre.
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La dérive génétique est une variation aléatoire des fréquences, d'autant plus forte que la population est petite. Un nouvel allèle neutre est fixé avec la probabilité $\frac{1}{2N}$.
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La sélection modifie les fréquences de façon orientée. On l'étudie avec des suites : $p_{n+1} - p_n > 0$ montre qu'un allèle progresse, et $w_n = \frac{1}{q_n}$ ramène un cas de suite à une suite arithmétique.