Modèles de croissance et suites
Dans un lac de l'Isère, des pêcheurs prélèvent chaque année une partie des poissons. Combien peut-on en pêcher sans que la population disparaisse ? Pour répondre, les scientifiques construisent des modèles : on suit l'effectif année après année avec une suite $(u_n)$. Tu vas apprendre à écrire ces modèles, à les calculer et à les interpréter.
Croissance géométrique
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. Après une heure : $500 \times 1{,}2 = 600$. Après deux heures : $600 \times 1{,}2 = 720$. Augmenter de $20\ \%$, c'est multiplier par $1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$.
Pourquoi $u_n = u_0 q^n$ ? À chaque période, on multiplie une fois de plus par $q$ : après $n$ périodes, on a multiplié $n$ fois.
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures. a) Donner $u_0$ et la nature de la…
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures.
- a) Donner $u_0$ et la nature de la suite $(u_n)$.
- b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- c) Calculer $u_3$.
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an. a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans. b) Exprimer l'effectif au…
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an.
- a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans.
- b) Exprimer l'effectif au bout de $n$ années.
- c) Calculer l'effectif arrondi à l'unité au bout de $10$ ans.
Limites du modèle géométrique
Des insectes vérifient $u_{n+1} = 1{,}5\,u_n$ avec $u_0 = 200$. Alors $u_n = 200 \times 1{,}5^n$. Comme $q>1$, l'effectif croît sans limite : $u_{10} \approx 11\,533$. Or aucun milieu n'a des ressources infinies (nourriture, espace).
Pour trouver à partir de quel rang l'effectif dépasse un seuil, on calcule les termes successifs (tableau de la calculatrice ou boucle Python) jusqu'à dépasser le seuil.
u, n = 200, 0
while u <= 10000:
u = 3 * u / 2
n = n + 1
print(n)
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$. a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif…
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$.
- a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif dépasse $10\,000$.
- c) Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas réaliste à long terme.
Croissance avec prélèvement
Dans le lac, la population de $4\,000$ poissons augmente de $10\ \%$ par an, puis on pêche $300$ poissons. Une année : on multiplie par $1{,}1$, puis on retranche $300$.
Pour $u_0 = 4\,000$ : $u_1 = 1{,}1 \times 4\,000 - 300 = 4\,100$, puis $u_2 = 1{,}1\times 4\,100 - 300 = 4\,210$.
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$…
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
- b) Calculer $P_1$ et $P_2$.
Point fixe et équilibre
Dans le lac, l'effectif augmente : $4\,000 \to 4\,100 \to 4\,210$. Existe-t-il un effectif qui ne change plus ?
Pour $u_{n+1} = 1{,}1\,u_n - 300$ : on résout $\ell = 1{,}1\ell - 300$, soit $0{,}1\ell = 300$, donc $\ell = 3\,000$.
Interprétation : avec $3\,000$ poissons, la croissance de $10\ \%$ ($+300$) compense exactement la pêche ($-300$). Au-dessus, la population augmente ; en dessous, elle diminue puis s'éteint : l'équilibre est instable.
Dans cet exemple, si $u_0 = 300$, la population reste à $300$ ; si $u0 = 250 < \ell$, alors $u_n = 300 - 50 \times 1{,}2^n$ décroît vers $-\infty$ : extinction.
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$…
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Montrer que $u_{n+1}=1{,}1\,u_n-300$.
- b) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- c) Déterminer le point d'équilibre $\ell$ tel que $\ell=1{,}1\ell-300$.
- d) Interpréter ce point d'équilibre.
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$. a) Déterminer le point fixe $\ell$. b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est…
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$.
- a) Déterminer le point fixe $\ell$.
- b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
- c) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
- d) Étudier le comportement à long terme. Que se passe-t-il si $u_0=250$ ? Si $u_0=300$ ?
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au…
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au départ, $u_0=10\,000$.
- a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $q$.
- b) Déterminer la valeur de $q$ pour laquelle la population reste constante.
- c) Pour $q=1\,000$, montrer que la population s'éteint et déterminer l'année où l'effectif devient négatif ou nul.
- d) Interpréter ces résultats pour la gestion durable d'une ressource.
Capacité d'accueil et modèle logistique
Une réserve peut accueillir au plus $K = 1\,000$ individus : c'est sa capacité d'accueil. Plus la population s'en approche, plus la croissance ralentit. On modélise cela par
$$u_{n+1} = u_n + c\,u_n\,(K - u_n).$$Le facteur $(K - u_n)$ est grand quand il reste de la place, et nul quand $u_n = K$. Donc $K$ est un point fixe : $u_{n+1} = K + c\,K \times 0 = K$.
La population croît en se rapprochant de $1\,000$ sans le dépasser.
Forme normalisée
On rapporte l'effectif à la capacité d'accueil : $u_n \in [0 ; 1]$. Le modèle logistique discret s'écrit alors $u_{n+1} = r\,u_n(1 - u_n)$, où $r$ est le paramètre de croissance.
Pour $r = 2$ et $u_0 = 0{,}2$ : $u_1 = 2 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}32$, $u_2 = 2 \times 0{,}32 \times 0{,}68 = 0{,}4352$.
Points fixes : $\ell = r\ell(1-\ell) \iff \ell\,(1 - r + r\ell) = 0 \iff \ell = 0$ ou $\ell = 1 - \frac1r$. Pour $r = 2$ : $0$ et $0{,}5$.
Pour $r = 3{,}2$ et $u_0 = 0{,}5$ : $u_1 = 0{,}8$, $u_2 = 0{,}512$, $u_3 \approx 0{,}800$, $u_4 \approx 0{,}513$. L'effectif oscille entre deux valeurs, au lieu de se stabiliser.
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec…
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec $u_0=800$.
- a) Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondis à l'unité).
- b) Montrer que $1\,000$ est un point fixe de la suite.
- c) Expliquer le rôle de la capacité d'accueil dans ce modèle.
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil. a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$,…
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil.
- a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- b) Déterminer les points fixes pour $r=2$.
- c) Pour $r=3{,}2$ et $u_0=0{,}5$, calculer $u_1$ à $u_4$ (arrondis au millième) et conjecturer le comportement.
- d) Expliquer pourquoi un même modèle peut conduire à des comportements très différents selon $r$.
L'essentiel
Retour au début : dans le lac, en pêchant $300$ poissons par an avec une croissance de $10\ \%$, la population se maintient seulement si elle compte $3\,000$ poissons ; en dessous, elle s'éteint.