Exercices: Pertes par effet Joule et haute tension

Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$.

1. a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec $P_J=RI^2$.
2. b) Calculer l'énergie perdue en $\text{kWh}$ en $10$ heures.

Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$.

1. a) Calculer l'intensité $I$ du courant.
2. b) Calculer l'intensité si la tension est portée à $400\ \text{kV}$ pour la même puissance.
3. c) Comparer les deux intensités.

Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule.

1. a) Calculer le pourcentage de pertes.
2. b) Calculer la puissance effectivement livrée aux consommateurs.

Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$.

1. a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$.
2. b) Même question pour $U=400\ \text{kV}$.
3. c) Calculer le rapport entre les pertes dans les deux cas et le relier au rapport des tensions.

Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous $225\ \text{kV}$.

1. a) Calculer la résistance de la ligne.
2. b) Calculer l'intensité du courant.
3. c) Calculer les pertes Joule en MW puis en pourcentage de la puissance transportée.
4. d) Calculer le coût de ces pertes sur une journée si l'énergie vaut $60\ €$ par $\text{MWh}$.

Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée).

1. a) Calculer le rapport de transformation.
2. b) Pour un courant de $500\ \text{A}$ au primaire, calculer le courant au secondaire.
3. c) Expliquer pourquoi le transport se fait en courant alternatif avec des transformateurs.

Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$.

1. a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$.
2. b) Montrer que le pourcentage de pertes est proportionnel à $P$ et inversement proportionnel à $U^2$.
3. c) Avec $R=10\ \Omega$ et $P=100\ \text{MW}$, calculer la tension minimale pour que les pertes ne dépassent pas $2\ \%$.

Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et d'un coût d'isolation proportionnel à $U$.

Pertes : $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. Le coût des pertes est $k_1P_J$ avec $k_1=0{,}5\ \text{M€ par MW}$ de pertes, et le coût d'isolation est $k_2U$ avec $k_2=0{,}002\ \text{M€ par kV}$.

1. a) Exprimer $c(U)$ en fonction de $U$ en kV.
2. b) Étudier les variations de $c$ sur $]0\,;+\infty[$.
3. c) Déterminer la tension qui minimise le coût et calculer ce coût.
4. d) Commenter le résultat vis-à-vis des tensions utilisées en France (225 kV et 400 kV).

Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur $600\ \text{km}$. Les pertes sont de $7\ \%$ en CA et de $3\ \%$ en HVDC. L'énergie perdue est valorisée à $70\ €$ par $\text{MWh}$ et la ligne fonctionne $8\,000$ heures par an.

1. a) Calculer l'énergie perdue annuellement dans chaque cas en $\text{GWh}$.
2. b) Calculer l'économie annuelle réalisée avec la HVDC.
3. c) La HVDC coûte $150\ \text{M€}$ de plus à l'installation. Calculer la durée d'amortissement.
4. d) Citer une limite du choix de la HVDC.