Pertes par effet Joule et haute tension
Dans la campagne, tu as sûrement déjà vu de grands pylônes qui portent des lignes à 400 000 volts. Pourquoi RTE, le gestionnaire du réseau de transport d'électricité, utilise-t-il des tensions aussi élevées pour envoyer l'électricité d'une centrale de la vallée du Rhône jusqu'à Paris ? Ton chargeur de téléphone fonctionne pourtant sous 5 V. Tu vas voir que la réponse se cache dans une formule : les pertes par effet Joule.
Les pertes par effet Joule
Un câble n'est pas un conducteur parfait : il possède une résistance $R$. Quand un courant d'intensité $I$ le traverse, il s'échauffe, comme le filament d'un grille-pain ou la base de ton chargeur. Cette chaleur est de l'énergie perdue : elle n'arrive pas chez les consommateurs.
Pourquoi $I^2$ ? On a $P_J = U_R \times I$ avec $U_R = R\,I$ (loi d'Ohm aux bornes du câble), donc $P_J = R\,I \times I = R\,I^2$. Si l'intensité double, les pertes sont multipliées par $2^2 = 4$.
Pour exprimer des pertes, on utilise aussi un pourcentage : $\dfrac{P_J}{P_{\text{transportée}}} \times 100$. La puissance livrée est $P_{\text{livrée}} = P - P_J$.
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$. a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec…
Une ligne électrique de résistance $R=5\ \Omega$ est parcourue par un courant d'intensité $I=20\ \text{A}$.
- a) Calculer la puissance perdue par effet Joule avec $P_J=RI^2$.
- b) Calculer l'énergie perdue en $\text{kWh}$ en $10$ heures.
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule. a) Calculer le pourcentage de pertes. b) Calculer la puissance effectivement livrée aux…
Une ligne transporte $100\ \text{MW}$ et perd $4\ \text{MW}$ par effet Joule.
- a) Calculer le pourcentage de pertes.
- b) Calculer la puissance effectivement livrée aux consommateurs.
Pourquoi la haute tension ?
On ne peut pas changer la résistance du câble facilement. Mais on peut changer l'intensité. La puissance électrique transportée vaut $P = U \times I$. Pour une même puissance $P$, si on augmente la tension $U$, l'intensité $I = \dfrac{P}{U}$ diminue.
Exemple : passer de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ multiplie la tension par 20, donc divise les pertes par $20^2 = 400$. C'est pour cela que le réseau de transport français utilise 225 kV et 400 kV.
Une ligne de longueur $L$ a une résistance $R = r \times L$, où $r$ est la résistance linéique (en $\Omega\cdot\text{km}^{-1}$). Plus la ligne est longue, plus elle perd.
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$. a) Calculer l'intensité $I$ du courant. b) Calculer l'intensité si…
Une centrale fournit une puissance $P=2\ \text{MW}$ sous une tension $U=20\ \text{kV}$, avec $P=UI$.
- a) Calculer l'intensité $I$ du courant.
- b) Calculer l'intensité si la tension est portée à $400\ \text{kV}$ pour la même puissance.
- c) Comparer les deux intensités.
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$. a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$. b)…
Une ligne de résistance $R=8\ \Omega$ transporte une puissance $P=10\ \text{MW}$.
- a) Calculer l'intensité et les pertes Joule si la tension est $U=50\ \text{kV}$.
- b) Même question pour $U=400\ \text{kV}$.
- c) Calculer le rapport entre les pertes dans les deux cas et le relier au rapport des tensions.
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous…
Une ligne de $200\ \text{km}$ est constituée d'un câble de résistance linéique $0{,}03\ \Omega\cdot\text{km}^{-1}$. Elle transporte $50\ \text{MW}$ sous $225\ \text{kV}$.
- a) Calculer la résistance de la ligne.
- b) Calculer l'intensité du courant.
- c) Calculer les pertes Joule en MW puis en pourcentage de la puissance transportée.
- d) Calculer le coût de ces pertes sur une journée si l'énergie vaut $60\ €$ par $\text{MWh}$.
Le transformateur et le courant alternatif
Les alternateurs des centrales produisent une tension de l'ordre de $20\ \text{kV}$. Il faut donc l'élever pour le transport, puis l'abaisser avant de l'amener dans les prises à $230\ \text{V}$. C'est le rôle du transformateur.
Un transformateur possède deux bobines : le primaire (nombre de spires $N_1$) et le secondaire ($N_2$). Un courant variable dans le primaire crée un champ magnétique variable qui induit une tension dans le secondaire.
Quand la tension est multipliée par $m$, l'intensité est divisée par $m$ : c'est exactement ce qu'il faut pour réduire les pertes.
Essaie le bouton « courant continu » : un courant constant ne crée pas de champ magnétique variable, donc rien n'est induit au secondaire. C'est pourquoi le réseau de distribution classique fonctionne en courant alternatif (50 Hz en France).
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée). a) Calculer le rapport de transformation. b) Pour…
Un transformateur élève la tension de $20\ \text{kV}$ à $400\ \text{kV}$ ; on le suppose idéal (puissance conservée).
- a) Calculer le rapport de transformation.
- b) Pour un courant de $500\ \text{A}$ au primaire, calculer le courant au secondaire.
- c) Expliquer pourquoi le transport se fait en courant alternatif avec des transformateurs.
Pourcentage de pertes, coût et choix de la tension
Pourcentage de pertes. En divisant $P_J = \dfrac{R\,P^2}{U^2}$ par $P$ :
$$\frac{P_J}{P} = \frac{R\,P}{U^2}$$Ce rapport est proportionnel à $\dfrac{1}{U^2}$ et proportionnel à $P$ : plus on transporte de puissance, plus la part perdue augmente, sauf si on augmente $U$.
Coût des pertes. Une énergie perdue $E$ (en MWh) a un coût $E \times$ prix du MWh. Avec une puissance perdue de $0{,}3\ \text{MW}$ pendant 24 h, on perd $7{,}2\ \text{MWh}$, soit $7{,}2 \times 60 = 432\ €$ à $60\ €$ par MWh.
Un compromis. Augmenter $U$ réduit les pertes, mais impose un meilleur isolement et des pylônes plus grands : un coût qui augmente avec $U$. Le coût total est de la forme
$$c(U) = \frac{a}{U^2} + b\,U \quad (a > 0,\ b > 0)$$On cherche le minimum par dérivation.
Autres comparaisons. Pour comparer deux technologies (ligne alternative ou HVDC), on calcule l'énergie perdue par an $E = P_J \times \text{durée}$, le coût annuel, l'économie réalisée, puis la durée d'amortissement $= \dfrac{\text{surcoût d'installation}}{\text{économie annuelle}}$. Les chiffres sont toujours donnés dans l'énoncé.
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$. a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. b) Montrer que le…
Une ligne de résistance $R$ transporte une puissance $P$ sous une tension $U$.
- a) Montrer que les pertes Joule valent $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$.
- b) Montrer que le pourcentage de pertes est proportionnel à $P$ et inversement proportionnel à $U^2$.
- c) Avec $R=10\ \Omega$ et $P=100\ \text{MW}$, calculer la tension minimale pour que les pertes ne dépassent pas $2\ \%$.
Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et…
Une ligne de résistance $R=6\ \Omega$ doit transporter $P=80\ \text{MW}$. On choisit une tension $U$ et on note $c(U)$ le coût annuel total, somme du coût des pertes et d'un coût d'isolation proportionnel à $U$.
Pertes : $P_J=\dfrac{RP^2}{U^2}$. Le coût des pertes est $k_1P_J$ avec $k_1=0{,}5\ \text{M€ par MW}$ de pertes, et le coût d'isolation est $k_2U$ avec $k_2=0{,}002\ \text{M€ par kV}$.
- a) Exprimer $c(U)$ en fonction de $U$ en kV.
- b) Étudier les variations de $c$ sur $]0\,;+\infty[$.
- c) Déterminer la tension qui minimise le coût et calculer ce coût.
- d) Commenter le résultat vis-à-vis des tensions utilisées en France (225 kV et 400 kV).
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur…
Pour un réseau, on compare une ligne à courant alternatif (CA) et une ligne à courant continu haute tension (HVDC) de même puissance $1\,000\ \text{MW}$ sur $600\ \text{km}$. Les pertes sont de $7\ \%$ en CA et de $3\ \%$ en HVDC. L'énergie perdue est valorisée à $70\ €$ par $\text{MWh}$ et la ligne fonctionne $8\,000$ heures par an.
- a) Calculer l'énergie perdue annuellement dans chaque cas en $\text{GWh}$.
- b) Calculer l'économie annuelle réalisée avec la HVDC.
- c) La HVDC coûte $150\ \text{M€}$ de plus à l'installation. Calculer la durée d'amortissement.
- d) Citer une limite du choix de la HVDC.
Retour au début : on transporte l'électricité à 400 000 V parce que, pour une même puissance, une tension 20 fois plus grande divise l'intensité par 20 et les pertes Joule par 400.
L'essentiel
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Effet Joule : $P_J = R\,I^2$ ; énergie perdue $E_J = P_J \times \Delta t$.
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Puissance transportée : $P = U\,I$, donc $I = \dfrac{P}{U}$ et $P_J = \dfrac{R\,P^2}{U^2}$.
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Tension multipliée par $k$ : intensité divisée par $k$, pertes divisées par $k^2$.
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Pourcentage de pertes : $\dfrac{P_J}{P} = \dfrac{R\,P}{U^2}$.
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Le transformateur idéal conserve la puissance ($U_1 I_1 = U_2 I_2$) et ne fonctionne qu'en courant alternatif ; la HVDC est une alternative pour les très longues distances.
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Le choix de la tension est un compromis entre coût des pertes et coût d'isolation.