Modèles de croissance et suites
Une association de pêche gère un lac de Savoie. Chaque année, les poissons se reproduisent, puis les pêcheurs en prélèvent un certain nombre. Combien peut-on en pêcher sans que le lac se vide ? Pour répondre, on traduit l'évolution de la population par une suite : on calcule l'effectif année après année, puis on étudie son comportement à long terme.
Croissance géométrique
Une population de bactéries augmente de $20\ \%$ chaque heure. Augmenter de $20\ \%$, c'est multiplier par $1+\frac{20}{100}=1{,}2$. Passer d'une année à la suivante, c'est donc toujours multiplier par le même nombre.
Pourquoi cette formule ? Pour passer de $u_0$ à $u_n$, on multiplie $n$ fois par $q$.
-
Si $q>1$, la population augmente.
-
Si $0
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures. a) Donner $u_0$ et la nature de la…
Une population de bactéries compte $500$ individus et augmente de $20\ \%$ chaque heure. On note $u_n$ l'effectif après $n$ heures.
- a) Donner $u_0$ et la nature de la suite $(u_n)$.
- b) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- c) Calculer $u_3$.
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an. a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans. b) Exprimer l'effectif au…
Une population de $2\,000$ individus d'une espèce d'oiseaux diminue de $5\ \%$ par an.
- a) Calculer l'effectif au bout d'un an puis de deux ans.
- b) Exprimer l'effectif au bout de $n$ années.
- c) Calculer l'effectif arrondi à l'unité au bout de $10$ ans.
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$. a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif…
Une population d'insectes vérifie $u_{n+1}=1{,}5\,u_n$ avec $u_0=200$.
- a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
- b) Déterminer à partir de quelle génération l'effectif dépasse $10\,000$.
- c) Expliquer pourquoi ce modèle n'est pas réaliste à long terme.
Prélèvement ou apport constant : la relation $u_{n+1}=a\,u_n+b$
Dans la réalité, on retire souvent un nombre fixe d'individus (pêche, chasse) ou on en ajoute (réintroduction). L'effectif évolue alors en deux temps : la croissance naturelle, puis le prélèvement.
Le point fixe
La population pourrait-elle rester stable ? On cherche un effectif $\ell$ qui ne change plus d'une année à l'autre. Il vérifie $\ell = a\,\ell + b$.
Pour l'élevage : $\ell = 1{,}08\ell-30 \iff 0{,}08\,\ell = 30 \iff \ell = 375$. Avec $375$ animaux au départ, la croissance de $8\ \%$ ($+30$ animaux) compense exactement les $30$ ventes.
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$…
Une population compte $P_0=100$ individus. Chaque année, le nombre d'individus augmente de $15\ \%$ puis $10$ individus sont prélevés. On note $P_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
- b) Calculer $P_1$ et $P_2$.
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$…
Une population de poissons dans un lac de l'Isère compte $4\,000$ individus. Chaque année, elle augmente de $10\ \%$, puis on pêche $300$ individus. On note $u_n$ l'effectif après $n$ années.
- a) Montrer que $u_{n+1}=1{,}1\,u_n-300$.
- b) Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- c) Déterminer le point d'équilibre $\ell$ tel que $\ell=1{,}1\ell-300$.
- d) Interpréter ce point d'équilibre.
Étude à long terme : la suite auxiliaire
Pour obtenir $u_n$ en fonction de $n$, on se ramène à une suite géométrique en mesurant l'écart au point fixe.
Pourquoi ? On soustrait $\ell=a\ell+b$ à $u_{n+1}=au_n+b$, d'où $u_{n+1}-\ell = a(u_n-\ell)$.
Retour au début : pour le lac, l'effectif ne reste constant que si le prélèvement compense exactement la croissance (effectif initial égal au point fixe). Si le prélèvement dépasse la croissance (effectif initial inférieur au point fixe), la population finit par s'éteindre. Si l'effectif initial est supérieur au point fixe, il croît sans limite dans ce modèle.
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$. a) Déterminer le point fixe $\ell$. b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est…
Une population de cerfs vérifie $u_{n+1}=1{,}2\,u_n-60$, avec $u_0=400$.
- a) Déterminer le point fixe $\ell$.
- b) On pose $v_n=u_n-\ell$. Montrer que $(v_n)$ est géométrique et préciser sa raison.
- c) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
- d) Étudier le comportement à long terme. Que se passe-t-il si $u_0=250$ ? Si $u_0=300$ ?
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au…
Une population de poissons est exploitée. Chaque année, avec un taux de croissance de $8\ \%$, elle atteint $1{,}08\,u_n$, puis on prélève une quantité fixe $q$. Au départ, $u_0=10\,000$.
- a) Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $q$.
- b) Déterminer la valeur de $q$ pour laquelle la population reste constante.
- c) Pour $q=1\,000$, montrer que la population s'éteint et déterminer l'année où l'effectif devient négatif ou nul.
- d) Interpréter ces résultats pour la gestion durable d'une ressource.
Capacité d'accueil et modèle logistique
Un milieu ne peut pas nourrir une population illimitée. On appelle capacité d'accueil $K$ l'effectif maximal que le milieu peut supporter. Le taux de croissance doit alors diminuer quand l'effectif approche de $K$.
Le modèle logistique discret
En rapportant l'effectif à la capacité d'accueil, $u_n\in[0\,;1]$, on obtient
$$u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n),$$où $r>0$ est un paramètre de croissance. Les points fixes vérifient $\ell=r\ell(1-\ell)$, soit $\ell=0$ ou $\ell=1-\frac1r$.
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec…
Une population de $800$ individus vit dans une réserve pouvant en accueillir au plus $1\,000$. Le modèle est $u_{n+1}=u_n+0{,}002\,u_n(1\,000-u_n)\times 0{,}1$, avec $u_0=800$.
- a) Calculer $u_1$ et $u_2$ (arrondis à l'unité).
- b) Montrer que $1\,000$ est un point fixe de la suite.
- c) Expliquer le rôle de la capacité d'accueil dans ce modèle.
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil. a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$,…
Un modèle logistique discret est donné par $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$, où $u_n\in[0\,;1]$ est l'effectif rapporté à la capacité d'accueil.
- a) Pour $r=2$ et $u_0=0{,}2$, calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
- b) Déterminer les points fixes pour $r=2$.
- c) Pour $r=3{,}2$ et $u_0=0{,}5$, calculer $u_1$ à $u_4$ (arrondis au millième) et conjecturer le comportement.
- d) Expliquer pourquoi un même modèle peut conduire à des comportements très différents selon $r$.
L'essentiel
-
Croissance de $t\ \%$ par étape : $q=1\pm\frac{t}{100}$, $u_{n+1}=q\,u_n$ et $u_n=u_0\,q^n$. Ce modèle est irréaliste à long terme si $q>1$.
-
Prélèvement ou apport constant : $u_{n+1}=a\,u_n+b$. On calcule les termes de proche en proche.
-
Point fixe $\ell$ : $\ell=a\ell+b$. C'est l'effectif qui ne change plus.
-
Suite auxiliaire : $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$, donc $u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^n$. L'équilibre est stable si $|a|<1$ et instable si $a>1$.
-
Capacité d'accueil : le modèle logistique $u_{n+1}=r\,u_n(1-u_n)$ limite la croissance, mais selon $r$ les comportements peuvent être très différents.