Fréquences et probabilités en génétique des populations
Dans une classe de terminale, certains élèves ont les yeux bleus, d'autres marron. Combien de personnes en France portent un allèle responsable d'une maladie génétique rare sans jamais être malades ? Et pourquoi un allèle peut-il disparaître d'une petite population sans que la sélection naturelle y soit pour quelque chose ? Pour répondre, on remplace les individus par des fréquences et on manipule des probabilités.
Fréquences génotypiques et alléliques
Une fréquence est une proportion :
$$f=\dfrac{\text{effectif concerné}}{\text{effectif total}}.$$Elle est comprise entre $0$ et $1$ (ou entre $0\,\%$ et $100\,\%$) et ne dépend pas de la taille de la population.
Pour un gène porté par des chromosomes en deux exemplaires (individus diploïdes), une population de $N$ individus contient $2N$ exemplaires du gène. Un homozygote $AA$ en apporte deux de type $A$, un hétérozygote $Aa$ en apporte un de chaque.
Dans une population de $2\,000$ individus, $320$ possèdent un allèle $a$ à l'état homozygote. a) Calculer la fréquence de ce génotype. b) Calculer la fréquence du…
Dans une population de $2\,000$ individus, $320$ possèdent un allèle $a$ à l'état homozygote.
- a) Calculer la fréquence de ce génotype.
- b) Calculer la fréquence du génotype dans une population de $5\,000$ individus où $800$ sont dans ce cas.
- c) Les deux populations ont-elles la même fréquence ?
Dans une population, la fréquence de l'allèle $A$ est $p=0{,}7$ et celle de l'allèle $a$ est $q$. a) Calculer $q$. b) En supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg,…
Dans une population, la fréquence de l'allèle $A$ est $p=0{,}7$ et celle de l'allèle $a$ est $q$.
- a) Calculer $q$.
- b) En supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg, calculer la fréquence des génotypes $AA$, $Aa$ et $aa$.
- c) Vérifier que la somme vaut $1$.
Probabilités de transmission
Un individu $Aa$ produit des gamètes : la moitié porte $A$, l'autre moitié $a$. Chaque gamète est tiré au hasard : $P(A)=P(a)=\dfrac12$. Les gamètes des deux parents sont indépendants, donc on multiplie les probabilités le long des branches de l'arbre.
Les branches « $A$ puis $a$ » et « $a$ puis $A$ » donnent le même génotype :
$$P(AA)=\dfrac14,\quad P(Aa)=\dfrac14+\dfrac14=\dfrac12,\quad P(aa)=\dfrac14.$$Un parent hétérozygote $Aa$ transmet l'allèle $A$ ou $a$ avec la même probabilité à chaque gamète. a) Donner la probabilité qu'un enfant de deux parents $Aa$ soit $aa$.…
Un parent hétérozygote $Aa$ transmet l'allèle $A$ ou $a$ avec la même probabilité à chaque gamète.
- a) Donner la probabilité qu'un enfant de deux parents $Aa$ soit $aa$.
- b) Donner la probabilité qu'il soit $Aa$.
L'équilibre de Hardy-Weinberg
Si, dans une grande population, les unions se font au hasard (panmixie), sans sélection, mutation ni migration, un individu reçoit un allèle $A$ avec la probabilité $p$ et un allèle $a$ avec la probabilité $q$, indépendamment pour chaque parent. L'arbre précédent donne alors :
Le facteur $2$ de $2pq$ vient des deux façons d'obtenir un hétérozygote ($A$ puis $a$, ou $a$ puis $A$).
Quand $q$ est petit, $q^2$ est minuscule alors que $2pq\approx 2q$ reste notable.
Une maladie génétique récessive touche $1$ personne sur $2\,500$ en France, soit $q^2=\dfrac{1}{2\,500}$ en supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg. a) Calculer $q$ puis…
Une maladie génétique récessive touche $1$ personne sur $2\,500$ en France, soit $q^2=\dfrac{1}{2\,500}$ en supposant l'équilibre de Hardy-Weinberg.
- a) Calculer $q$ puis $p=1-q$.
- b) Calculer la fréquence des porteurs sains $2pq$.
- c) Calculer le nombre attendu de porteurs sains pour $1\,000\,000$ de personnes.
Dans une population, la fréquence de l'allèle $a$ est $q=0{,}2$. a) Calculer, sous l'équilibre de Hardy-Weinberg, les fréquences des trois génotypes à la génération…
Dans une population, la fréquence de l'allèle $a$ est $q=0{,}2$.
- a) Calculer, sous l'équilibre de Hardy-Weinberg, les fréquences des trois génotypes à la génération suivante.
- b) Un individu $AA$ est choisi au hasard dans la population. Il s'apparie avec un individu choisi au hasard. Calculer la probabilité que leur premier enfant soit $aa$.
- c) Calculer la probabilité qu'un couple formé de deux individus choisis au hasard ait un enfant $aa$.
- d) Justifier que la fréquence de $a$ reste $0{,}2$ à la génération suivante.
Le hasard : la dérive génétique
L'évolution d'une population se traduit par une variation des fréquences alléliques au fil des générations ; la dérive en est un moteur dû au hasard.
Dans une population finie, les allèles transmis à la génération suivante sont un échantillon aléatoire. Comme pour $10$ lancers de pièce qui ne donnent pas toujours exactement $5$ « pile », la fréquence observée fluctue autour de la valeur attendue : c'est la dérive génétique.
Chaque courbe n'est qu'une simulation parmi d'autres : relancée, la petite population pourrait aussi bien voir la fréquence monter que descendre.
Un nouvel allèle apparu par mutation chez un seul individu (diploïde, population de $N$ individus) a une fréquence initiale $\dfrac{1}{2N}$. Sans sélection, sa probabilité de fixation vaut précisément cette fréquence initiale : tous les exemplaires du gène sont équivalents, chacun a la même chance d'être l'ancêtre de tous les exemplaires futurs. Pour $N=100$, cela fait $\dfrac{1}{200}=0{,}5\,\%$ : la plupart des mutations neutres disparaissent, mais quelques-unes se fixent.
Une population de $50$ individus a pour fréquence de l'allèle $A$ égale à $0{,}6$. À chaque génération, les $50$ individus sont tirés au hasard dans une population très…
Une population de $50$ individus a pour fréquence de l'allèle $A$ égale à $0{,}6$. À chaque génération, les $50$ individus sont tirés au hasard dans une population très grande où la fréquence de $A$ vaut $0{,}6$. On s'intéresse à cet effet d'échantillonnage aléatoire, qui est à l'origine de la dérive génétique.
- a) Expliquer pourquoi la fréquence dans la population de $50$ individus ne vaut pas exactement $0{,}6$ à chaque génération.
- b) Expliquer pourquoi la dérive est plus forte dans les petites populations.
- c) Donner la fréquence attendue en moyenne.
Dans une population de $N$ individus diploïdes, un nouvel allèle apparaît par mutation en un seul exemplaire. En l'absence de sélection, sa fréquence initiale est…
Dans une population de $N$ individus diploïdes, un nouvel allèle apparaît par mutation en un seul exemplaire. En l'absence de sélection, sa fréquence initiale est $\dfrac{1}{2N}$.
- a) Calculer cette fréquence pour $N=100$ puis $N=10\,000$.
- b) Expliquer pourquoi, sans sélection, la probabilité que cet allèle finisse par être fixé vaut sa fréquence initiale.
- c) Calculer cette probabilité pour $N=100$.
- d) Comparer avec la probabilité de fixation d'un allèle légèrement avantageux et expliquer le rôle du hasard.
La sélection naturelle : un modèle par suite
Quand un allèle donne un avantage (ou un désavantage) de reproduction, sa fréquence évolue de façon orientée. On modélise cette évolution par une suite $(p_n)$ où $p_n$ est la fréquence à la génération $n$, définie par récurrence.
À l'inverse, pour un allèle délétère récessif létal à l'état homozygote, on a $q_{n+1}=\dfrac{q_n}{1+q_n}$. En posant $w_n=\dfrac{1}{q_n}$ :
$$w_{n+1}=\dfrac{1+q_n}{q_n}=\dfrac{1}{q_n}+1=w_n+1.$$La suite $(w_n)$ est arithmétique de raison $1$, donc $w_n=w_0+n$ et $q_n=\dfrac{1}{w_0+n}=\dfrac{q_0}{1+n\,q_0}$. La fréquence diminue, mais seulement comme $\dfrac1n$ : très lentement. Quand l'allèle est rare, presque tous ses exemplaires sont portés par des hétérozygotes, que la sélection « ne voit pas ».
Un allèle $a$ confère un avantage sélectif : la fréquence $p_n$ de $a$ à la génération $n$ vérifie $p_{n+1}=\dfrac{1{,}1\,p_n}{1+0{,}1\,p_n}$, avec $p_0=0{,}1$. a)…
Un allèle $a$ confère un avantage sélectif : la fréquence $p_n$ de $a$ à la génération $n$ vérifie $p_{n+1}=\dfrac{1{,}1\,p_n}{1+0{,}1\,p_n}$, avec $p_0=0{,}1$.
- a) Calculer $p_1$ et $p_2$ (arrondis au millième).
- b) Montrer que $p_{n+1}>p_n$ tant que $0
- c) Interpréter ce résultat en termes de sélection naturelle.
Un allèle récessif délétère $a$ est entièrement létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La fréquence de $a$ à la génération $n$ est $q_n$,…
Un allèle récessif délétère $a$ est entièrement létal à l'état homozygote : les individus $aa$ ne se reproduisent pas. La fréquence de $a$ à la génération $n$ est $q_n$, et on admet que $q_{n+1}=\dfrac{q_n}{1+q_n}$ avec $q_0=0{,}1$.
- a) Calculer $q_1$, $q_2$ et $q_3$.
- b) On pose $w_n=\dfrac{1}{q_n}$. Montrer que $(w_n)$ est arithmétique et exprimer $q_n$ en fonction de $n$.
- c) Déterminer le nombre de générations nécessaire pour que $q_n$ passe sous $0{,}01$.
- d) Expliquer pourquoi l'allèle disparaît très lentement.
Retour au début : les porteurs sains se calculent avec $2pq$ à partir de la fréquence des malades $q^2$, et la disparition d'un allèle dans une petite population peut venir du seul hasard.
L'essentiel
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Une fréquence est une proportion ; $f(a)=q$ et $f(A)=p$ avec $p+q=1$ (compter $2N$ exemplaires du gène pour $N$ individus diploïdes).
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Pour deux parents $Aa$ : $P(AA)=\dfrac14$, $P(Aa)=\dfrac12$, $P(aa)=\dfrac14$ à chaque naissance (arbre pondéré, indépendance).
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À l'équilibre de Hardy-Weinberg : $p^2+2pq+q^2=1$, et les fréquences alléliques ne changent pas.
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La dérive génétique est un effet du hasard, d'autant plus fort que la population est petite ; sans sélection, la probabilité de fixation d'un allèle est sa fréquence initiale.
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La sélection modifie les fréquences de façon orientée, modélisable par une suite (croissante pour un allèle avantageux, lentement décroissante pour un allèle récessif létal).