Tablas de frecuencias
Valentina anotó cuántos minutos tardó el bus de la Metrovía en llegar a su parada en Guayaquil durante $150$ mañanas. Una lista así, de datos sueltos, no dice nada a simple vista. ¿Cómo haces para saber cuántas veces tardó lo mismo y qué proporción del total representa? Para eso sirve la tabla de frecuencias: ordena los datos y responde de un vistazo.
Población, muestra y variables
Las variables pueden ser de tres tipos:
| Tipo | Qué es | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cualitativa | Se describe con palabras (categorías) | equipo preferido |
| Cuantitativa discreta | Se cuenta; toma valores sueltos | cantidad de hermanos |
| Cuantitativa continua | Se mide; toma cualquier valor de un intervalo | altura en cm |
Para que la muestra represente bien a una población dividida en grupos (barrios, cursos), se la reparte proporcionalmente (muestreo estratificado). Si el grupo $j$ tiene $N_j$ habitantes de un total $N_{\text{pob}}$, y la muestra tiene $n$ personas, a ese grupo le corresponden
$$n_j = n \cdot \frac{N_j}{N_{\text{pob}}}$$Clasifica las siguientes variables estadísticas indicando si son cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas: Color de los ojos de los estudiantes de…
Clasifica las siguientes variables estadísticas indicando si son cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas:
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Color de los ojos de los estudiantes de un curso.
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Número de goles marcados por un equipo de fútbol en una temporada.
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Tiempo que tardan los corredores en completar una maratón.
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Marca de celular de los profesores de un colegio.
Un municipio quiere conocer la opinión de sus $50\,000$ habitantes sobre la construcción de un nuevo parque urbano. Para ello, realiza una encuesta telefónica a $1\,200$…
Un municipio quiere conocer la opinión de sus $50\,000$ habitantes sobre la construcción de un nuevo parque urbano. Para ello, realiza una encuesta telefónica a $1\,200$ residentes elegidos al azar. Identifica claramente cuál es la población, cuál es la muestra, quién es el individuo y cuál es el tamaño de la muestra.
Un investigador está analizando una muestra estratificada de $300$ personas extraída de una población de $15\,000$ habitantes. La población se divide en tres barrios:…
Un investigador está analizando una muestra estratificada de $300$ personas extraída de una población de $15\,000$ habitantes. La población se divide en tres barrios: Norte ($6\,000$ hab.), Centro ($4\,500$ hab.) y Sur ($4\,500$ hab.).
Para que la muestra sea estrictamente representativa (muestreo proporcional), ¿cuántas personas de cada barrio deben formar parte de la tabla de frecuencias de la muestra? Si en la muestra real utilizada por el investigador se encuestó a $100$ personas de cada barrio, ¿qué error de representación (en porcentaje absoluto) se cometió en el barrio Norte respecto a lo que le correspondía proporcionalmente?
Frecuencias absolutas y relativas
En una floristería se ha anotado el número de rosas vendidas en cada uno de los últimos $15$ días, obteniendo los siguientes datos en bruto:…
En una floristería se ha anotado el número de rosas vendidas en cada uno de los últimos $15$ días, obteniendo los siguientes datos en bruto:
$12, 15, 12, 14, 15, 12, 13, 14, 15, 12, 14, 13, 15, 12, 14$
Construye la tabla de frecuencias absolutas ($f_i$) y relativas ($h_i$) correspondiente a esta variable.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un estudio sobre el tipo de transporte utilizado para ir al trabajo, la frecuencia relativa de los encuestados que usan el metro es $0,35$. Si el estudio se ha…
En un estudio sobre el tipo de transporte utilizado para ir al trabajo, la frecuencia relativa de los encuestados que usan el metro es $0,35$. Si el estudio se ha realizado a un total de $N = 400$ personas, calcula la frecuencia absoluta de este grupo.
Comprobaciones: las sumas de la tabla
Demostración con sumatorio, para $k$ valores distintos:
$$\sum_{i=1}^{k} h_i = \sum_{i=1}^{k} \frac{f_i}{N} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} f_i = \frac{N}{N} = 1$$Se saca $\frac1N$ como factor común y se usa $\sum f_i = N$. No depende del valor de $N$.
Un alumno ha construido una tabla de frecuencias relativas para las notas de un examen y ha obtenido los siguientes valores para las distintas calificaciones: $0,15$;…
Un alumno ha construido una tabla de frecuencias relativas para las notas de un examen y ha obtenido los siguientes valores para las distintas calificaciones: $0,15$; $0,25$; $0,35$; $0,30$. Sin necesidad de conocer el número total de alumnos, explica por qué se puede afirmar con total seguridad que el alumno ha cometido un error en sus cálculos.
Demuestra matemáticamente, utilizando la notación de sumatorio ($\sum$), que la suma de todas las frecuencias relativas ($h_i$) de una distribución unidimensional de $k$…
Demuestra matemáticamente, utilizando la notación de sumatorio ($\sum$), que la suma de todas las frecuencias relativas ($h_i$) de una distribución unidimensional de $k$ valores distintos es siempre igual a $1$, independientemente del tamaño de la muestra $N$.
Frecuencias acumuladas
$$F_i = f_1+f_2+\dots+f_i \qquad H_i = h_1+h_2+\dots+h_i$$Dada la siguiente tabla de frecuencias absolutas sobre el número de mascotas que tienen $20$ familias, calcula y añade la columna de frecuencias absolutas acumuladas…
Dada la siguiente tabla de frecuencias absolutas sobre el número de mascotas que tienen $20$ familias, calcula y añade la columna de frecuencias absolutas acumuladas ($F_i$).
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$x_i = 0 \implies f_i = 5$
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$x_i = 1 \implies f_i = 8$
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$x_i = 2 \implies f_i = 4$
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$x_i = 3 \implies f_i = 3$
La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas ($h_i$) del número de hermanos de los alumnos de un colegio. Calcula las frecuencias relativas acumuladas ($H_i$) y…
La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas ($h_i$) del número de hermanos de los alumnos de un colegio. Calcula las frecuencias relativas acumuladas ($H_i$) y exprésalas también como porcentaje acumulado ($P_i$).
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$x_i = 0 \implies h_i = 0,25$
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$x_i = 1 \implies h_i = 0,45$
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$x_i = 2 \implies h_i = 0,20$
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$x_i = 3 \text{ o más} \implies h_i = 0,10$
Al analizar las calificaciones de un examen de Matemáticas evaluado sobre $10$, se observa que la frecuencia relativa acumulada hasta la nota $6$ (incluida) es de…
Al analizar las calificaciones de un examen de Matemáticas evaluado sobre $10$, se observa que la frecuencia relativa acumulada hasta la nota $6$ (incluida) es de $H_6 = 0,65$. Si en la clase hay $80$ alumnos en total, ¿cuántos alumnos han sacado una nota estrictamente superior a $6$? ¿Qué porcentaje representan sobre el total de la clase?
Agrupación en intervalos
Con datos continuos, o con muchísimos valores distintos, conviene agrupar en intervalos de clase $[L_{i-1}, L_i)$. Cada intervalo se representa con su marca de clase $x_i$, que es el punto medio:
$$x_i = \frac{L_{i-1} + L_i}{2}$$Agrupa los siguientes pesos (en kg) de $20$ paquetes de una empresa de mensajería en $4$ intervalos de igual amplitud, comenzando en $2,0$ kg y terminando en $10,0$ kg.…
Agrupa los siguientes pesos (en kg) de $20$ paquetes de una empresa de mensajería en $4$ intervalos de igual amplitud, comenzando en $2,0$ kg y terminando en $10,0$ kg. Construye la tabla de frecuencias indicando los intervalos, las marcas de clase ($x_i$) y las frecuencias absolutas ($f_i$).
Datos: $2,5$; $3,1$; $4,8$; $5,2$; $2,9$; $6,5$; $7,4$; $8,8$; $9,1$; $4,5$; $5,5$; $6,2$; $3,8$; $7,1$; $8,2$; $9,5$; $4,2$; $5,9$; $6,8$; $7,7$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Se dispone de un conjunto de $150$ datos continuos sobre la duración (en horas) de ciertas baterías industriales. Utiliza la regla empírica de la raíz cuadrada…
Se dispone de un conjunto de $150$ datos continuos sobre la duración (en horas) de ciertas baterías industriales. Utiliza la regla empírica de la raíz cuadrada ($\sqrt{N}$) para determinar el número aproximado de intervalos de clase recomendados. Si el valor mínimo registrado es $12$ horas y el máximo es $87$ horas, calcula la amplitud que debería tener cada intervalo (redondeando al entero superior) y escribe cuáles serían dichos intervalos empezando a contar desde el valor mínimo.
Los salarios de una empresa están agrupados en $3$ intervalos de igual amplitud. Se sabe que la marca de clase del primer intervalo es $1\,200$ dólares y la marca de…
Los salarios de una empresa están agrupados en $3$ intervalos de igual amplitud. Se sabe que la marca de clase del primer intervalo es $1\,200$ dólares y la marca de clase del tercer intervalo es $2\,000$ dólares. Determina la amplitud de los intervalos y escribe los límites inferior y superior de cada uno de los tres intervalos.
Leer gráficos para armar la tabla
Un diagrama de barras muestra en el eje vertical la frecuencia de cada valor: la altura de cada barra es $f_i$. Para armar la tabla lees las alturas, sumas para obtener $N$ y calculas $h_i = f_i/N$ y $p_i = h_i\cdot 100$.
En un histograma con intervalos de distinta amplitud, lo que se grafica es la densidad de frecuencia:
$$a_i = \frac{f_i}{c_i} \qquad\Longrightarrow\qquad f_i = a_i \cdot c_i$$Así el área de cada barra ($a_i \cdot c_i$) es la frecuencia, y un intervalo ancho no parece tener más datos solo por ser ancho.
Otros gráficos estadísticos que debes reconocer:
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Polígono de frecuencias: se unen con segmentos los puntos (marca de clase, $f_i$), o los puntos medios de las barras del histograma.
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Ojiva: gráfico de las frecuencias acumuladas $F_i$ (o $H_i$) frente al extremo superior de cada intervalo; siempre sube.
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Diagrama circular: cada categoría ocupa un sector cuyo ángulo es $h_i \cdot 360^\circ$.
El siguiente diagrama de barras muestra el número de libros leídos durante el verano por un grupo de estudiantes. A partir de la información visual del gráfico,…
El siguiente diagrama de barras muestra el número de libros leídos durante el verano por un grupo de estudiantes. A partir de la información visual del gráfico, construye la tabla completa indicando las frecuencias absolutas ($f_i$), las frecuencias relativas ($h_i$) y los porcentajes ($p_i$).
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El siguiente histograma representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana. Observa que los intervalos tienen distinta amplitud y que en el eje…
El siguiente histograma representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana. Observa que los intervalos tienen distinta amplitud y que en el eje vertical se representa la densidad de frecuencia (altura $a_i = \frac{f_i}{c_i}$, donde $c_i$ es la amplitud del intervalo).
Reconstruye la tabla de frecuencias absolutas sabiendo que los intervalos representados son $[0, 10)$, $[10, 30)$, $[30, 40)$ y $[40, 60)$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos variables: tabla de doble entrada
Cuando mides dos variables sobre los mismos individuos, la tabla tiene filas y columnas. En cada casilla cuentas cuántos individuos cumplen a la vez la fila y la columna. Se la llama tabla de doble entrada (o de contingencia), y la volverás a usar al relacionar dos variables.
En un estudio bidimensional se ha preguntado a $10$ personas por su número de calzado ($X$) y su número de hermanos ($Y$). Los pares $(X,Y)$ obtenidos son los…
En un estudio bidimensional se ha preguntado a $10$ personas por su número de calzado ($X$) y su número de hermanos ($Y$). Los pares $(X,Y)$ obtenidos son los siguientes:
$(38, 1), (40, 2), (39, 1), (40, 1), (38, 2), (41, 0), (39, 2), (40, 1), (41, 1), (39, 1)$
Construye la tabla de doble entrada de frecuencias absolutas para estas dos variables.
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A partir de la siguiente tabla de doble entrada, extrae la tabla de distribución marginal de la variable $X$ (número de calzado), indicando sus frecuencias absolutas…
A partir de la siguiente tabla de doble entrada, extrae la tabla de distribución marginal de la variable $X$ (número de calzado), indicando sus frecuencias absolutas ($f_i$) y sus frecuencias relativas ($h_i$):
| $X$ | $Y = 160$ | $Y = 170$ | $Y = 180$ |
|---|---|---|---|
| 36 | 2 | 2 | 0 |
| 37 | 1 | 4 | 1 |
| 38 | 0 | 3 | 4 |
| 39 | 0 | 1 | 2 |
Se ha realizado una encuesta sobre dos variables $X$ e $Y$. La tabla de doble entrada está incompleta. Complétala sabiendo que el total de individuos es $N=50$, la…
Se ha realizado una encuesta sobre dos variables $X$ e $Y$. La tabla de doble entrada está incompleta. Complétala sabiendo que el total de individuos es $N=50$, la distribución marginal de $X$ tiene $f(X=1) = 20$ y $f(X=2) = 30$, y la distribución marginal de $Y$ tiene $f(Y=A) = 15$, $f(Y=B) = 25$ y $f(Y=C) = 10$.
Además, se conocen las siguientes frecuencias conjuntas parciales:
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Hay $5$ individuos con $X=1$ e $Y=A$.
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Hay $10$ individuos con $X=1$ e $Y=B$.
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Hay $5$ individuos con $X=2$ e $Y=C$.
Construye la tabla de doble entrada rellenando las celdas que faltan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Tablas incompletas
Completa la siguiente tabla de frecuencias sabiendo que el total de datos es $N=50$. $x_i = 1 \implies f_i = 10$ $x_i = 2 \implies f_i = x$ $x_i = 3 \implies f_i = 15$…
Completa la siguiente tabla de frecuencias sabiendo que el total de datos es $N=50$.
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$x_i = 1 \implies f_i = 10$
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$x_i = 2 \implies f_i = x$
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$x_i = 3 \implies f_i = 15$
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$x_i = 4 \implies f_i = 5$
Calcula el valor de la incógnita $x$ y determina la frecuencia relativa del valor $x_i = 2$.
Completa la siguiente tabla de frecuencias en la que faltan algunos datos. Se sabe que el tamaño de la muestra es $N = 40$. $x_i = 10 \implies f_i = 8$, $F_i = 8$,…
Completa la siguiente tabla de frecuencias en la que faltan algunos datos. Se sabe que el tamaño de la muestra es $N = 40$.
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$x_i = 10 \implies f_i = 8$, $F_i = 8$, $h_i = 0,20$
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$x_i = 20 \implies f_i = ?$, $F_i = 20$, $h_i = ?$
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$x_i = 30 \implies f_i = 14$, $F_i = ?$, $h_i = ?$
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$x_i = 40 \implies f_i = ?$, $F_i = 40$, $h_i = 0,15$
Una empresa clasifica el salario mensual de sus empleados en intervalos. Sabiendo que el $15\%$ cobra entre $1000$ y $1500$ dólares, el $45\%$ cobra entre $1500$ y…
Una empresa clasifica el salario mensual de sus empleados en intervalos. Sabiendo que el $15\%$ cobra entre $1000$ y $1500$ dólares, el $45\%$ cobra entre $1500$ y $2000$ dólares, el $30\%$ cobra entre $2000$ y $2500$ dólares, y los $12$ empleados restantes cobran entre $2500$ y $3000$ dólares.
Calcula el número total de empleados de la empresa y construye la tabla completa de frecuencias absolutas para los salarios.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Tablas incompletas más exigentes
Los problemas más difíciles combinan acumuladas, ecuaciones y grupos. Tres ideas clave:
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Si te dan $H_i$ y una frecuencia absoluta, hallas $N$: la diferencia $H_i - H_{i-1}$ es $h_i$, y entonces $N = f_i / h_i$.
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Si las frecuencias dependen de una incógnita, usa $H_i = F_i / N$ con $N = \sum f_i$ para plantear la ecuación.
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Al juntar dos grupos, no se promedian las proporciones: se suman las frecuencias absolutas y se divide para el nuevo total.
Una tabla de frecuencias absolutas tiene $4$ valores distintos: $x_1, x_2, x_3, x_4$. Se sabe que las frecuencias absolutas dependen de una incógnita $x$ de la siguiente…
Una tabla de frecuencias absolutas tiene $4$ valores distintos: $x_1, x_2, x_3, x_4$. Se sabe que las frecuencias absolutas dependen de una incógnita $x$ de la siguiente manera:
$f_1 = 2x$, $f_2 = x + 5$, $f_3 = 3x - 2$ y $f_4 = 5x$.
Si la frecuencia relativa acumulada del tercer valor es $H_3 = 0,60$, plantea una ecuación, halla el valor de $x$ y reconstruye la columna completa de frecuencias absolutas.
En una distribución de frecuencias agrupada en intervalos, se conocen las siguientes frecuencias relativas acumuladas: $H_1 = 0,12$, $H_2 = 0,38$, $H_3 = 0,70$,…
En una distribución de frecuencias agrupada en intervalos, se conocen las siguientes frecuencias relativas acumuladas: $H_1 = 0,12$, $H_2 = 0,38$, $H_3 = 0,70$, $H_4 = 0,90$ y $H_5 = 1$.
Si la frecuencia absoluta del tercer intervalo es $f_3 = 48$, determina el tamaño total de la muestra $N$ y calcula las frecuencias absolutas de todos los intervalos.
Se tienen dos grupos de alumnos, A y B. Del grupo A ($30$ alumnos) se sabe que la frecuencia relativa de aprobados es $0,60$. Del grupo B ($20$ alumnos) se sabe que la…
Se tienen dos grupos de alumnos, A y B. Del grupo A ($30$ alumnos) se sabe que la frecuencia relativa de aprobados es $0,60$. Del grupo B ($20$ alumnos) se sabe que la frecuencia absoluta de suspensos es $5$.
Si se juntan ambos grupos en una sola tabla de frecuencias globales, ¿cuál será la frecuencia relativa acumulada de suspensos respecto al total de $50$ alumnos? (Asume que la variable solo toma dos valores categóricos ordenados: Suspenso y Aprobado, en ese orden).
Resumen
Vuelve al principio: con los $150$ tiempos de espera de Valentina, la regla de $\sqrt{N}$ sugiere unos $12$ intervalos. Cada fila de la tabla responde cuántas mañanas tardó el colectivo en ese rango y qué proporción del total representan.