Funciones radicales
Si dejas caer una pelota desde lo alto del Panecillo, en Quito, a una altura $h$ (en metros), tarda $t(h) = \sqrt{h/5}$ segundos en llegar al suelo. Esta función tiene algo que no tenían las rectas ni las parábolas: no está definida para cualquier valor de $h$. No existen alturas negativas, y tampoco existe la raíz cuadrada de un número negativo. Antes de usar una función radical hay que averiguar, siempre, dónde está definida.
El dominio: el radicando no puede ser negativo
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x - 8}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Halla el dominio de la función $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Determina el dominio de la función $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Halla el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Determina el dominio de definición de la función $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.
Calcular imágenes
Para hallar $f(a)$ se reemplaza $x=a$ en el radicando y se calcula la raíz. Si el radicando da negativo, $a$ no pertenece al dominio y la imagen no existe.
Como $\sqrt{\ }$ nunca da un número negativo, el recorrido de $f(x)=\sqrt{g(x)}$ siempre es parte de $[0, +\infty)$. Si además le sumas una constante, como en $f(x) = -2 + \sqrt{3x-6}$, el recorrido se corre: va desde $-2$ hacia arriba, es decir $\mathrm{Rec}\,f = [-2, +\infty)$.
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Dada la función $f(x) = \sqrt{2x - 1}$, calcula el valor de sus imágenes para $x = 5$ y $x = 13$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Calcula el valor de $x$ para el cual la función $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ toma el valor $4$.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifica tu respuesta analizando las características de la función radical.
Traslaciones de $y=\sqrt{x}$
Para escribir una fórmula a partir de un desplazamiento, haz el camino inverso. Si $f(x)=\sqrt{x}$ se corre $3$ a la derecha y $2$ hacia arriba, queda $g(x)=\sqrt{x-3}+2$.
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta…
Observa las tres funciones representadas en la siguiente gráfica. Identifica cuál de ellas corresponde a la expresión $f(x) = \sqrt{x - 2}$ y justifica tu respuesta indicando su dominio.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x}$, escribe la expresión analítica de la función $g(x)$ que resulta al desplazar la gráfica de $f(x)$ tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \sqrt{ax + b}$ tenga como dominio el intervalo $[-2, +\infty)$ y pase por el punto $(2, 4)$.
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se…
Observa las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{x + 1}$ y $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Determina el dominio de cada una de ellas y calcula el punto exacto donde se intersecan.
Intersecciones con los ejes y ecuaciones con raíz
Con el eje $y$ (intersección con el eje $y$): se calcula $f(0)$, si $0$ está en el dominio. Con el eje $x$ (ceros de la función): se resuelve $f(x)=0$, aislando la raíz y elevando al cuadrado para eliminarla.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$.
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas…
Halla los puntos de intersección entre la recta $y = x - 2$ y la función radical $y = \sqrt{x + 4}$. Comprueba que la solución obtenida pertenece al dominio de ambas funciones y satisface la ecuación original.
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina los valores de $x$ para los cuales la función está definida. A continuación, calcula los puntos exactos donde la…
Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$, determina los valores de $x$ para los cuales la función está definida. A continuación, calcula los puntos exactos donde la función toma el valor $\sqrt{5}$.
Radicales en contexto y a trozos
La raíz cuadrada aparece cuando una magnitud depende del cuadrado de otra y queremos despejar la segunda: periodos de péndulos, velocidad de un tsunami, distancia al horizonte desde el Malecón 2000 o desde un faro de la costa, el lado de un cuadrado a partir de su área. Siempre conviene distinguir el dominio de la fórmula del dominio de la situación (una longitud o una cantidad de unidades no puede ser negativa).
Tasa de variación media
Una función radical no crece a ritmo constante, pero podemos medir cuánto cambia, en promedio, entre dos valores de la variable.
También se pueden armar funciones a trozos con raíces. Por ejemplo, $f(x)=\sqrt{-x}$ si $x\le 0$ y $f(x)=\sqrt{x}$ si $x>0$ está definida en todo $\mathbb{R}$. Tiene paridad par, es decir, es simétrica respecto del eje $y$, porque $f(-x)=f(x)$, y se une sin saltos en $x=0$ porque ambos trozos valen $0$ ahí.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en metros) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda un objeto en caer desde una altura $h$ (en metros) se puede aproximar mediante la función $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. ¿Cuánto tiempo tardará en llegar al suelo una pelota que se deja caer desde un puente de $45$ metros de altura?
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros. Si queremos…
El periodo $T$ (en segundos) de un péndulo simple viene dado por la función $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, donde $L$ es la longitud del hilo en metros. Si queremos construir un péndulo que tenga un periodo de exactamente $2$ segundos, ¿qué longitud debe tener el hilo? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).
La velocidad $v$ (en km/h) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) del agua, según la función $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si se…
La velocidad $v$ (en km/h) a la que se propaga un tsunami en el océano depende de la profundidad $d$ (en metros) del agua, según la función $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si se ha detectado que un tsunami avanza a una velocidad de $336$ km/h, ¿a qué profundidad se encuentra el océano en ese punto?
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de…
El radio $r$ de un círculo en función de su área $A$ viene dado por $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calcula la tasa de variación media del radio cuando el área pasa de $100\pi$ a $400\pi$ unidades cuadradas.
La distancia $d$ (en km) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la…
La distancia $d$ (en km) a la que se encuentra el horizonte para un observador situado a una altura $h$ (en metros) sobre el nivel del mar se puede aproximar mediante la función $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si te encuentras en la parte superior de un faro a $10$ metros de altura, ¿cuántos metros adicionales tendrías que subir para que la distancia al horizonte visible se duplique?
El costo de producción $C$ (en dólares) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función…
El costo de producción $C$ (en dólares) de una fábrica de componentes electrónicos depende del número de unidades producidas $x$ según la función $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Determina el dominio de la función en este contexto. Si el costo de un lote ha sido de $350$ dólares, ¿cuántas unidades se produjeron?
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en…
La relación entre el volumen $V$ de un cubo y su arista $a$ es $V = a^3$. Sin embargo, si consideramos el área de una de sus caras $A = a^2$, expresa la arista $a$ en función del área $A$. Luego, expresa el volumen $V$ en función del área $A$ usando una función radical y calcula el volumen si el área de una cara es $25 \text{ cm}^2$.
Observa la siguiente función definida a trozos y su representación gráfica:…
Observa la siguiente función definida a trozos y su representación gráfica:
$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Estudia su dominio, razona si es una función continua en $x=0$ y demuestra algebraicamente si posee algún tipo de simetría (par o impar).
Vuelta al principio: en $t(h) = \sqrt{h/5}$ la condición $h/5 \geq 0$ exige $h \geq 0$: el dominio es $[0, +\infty)$, y coincide con el de la situación física, porque no tiene sentido hablar de alturas negativas.