Diagramas de cajas y bigotes

Dada la siguiente lista de temperaturas en grados Celsius registradas durante 8 días, desordenadas: $15, 12, 19, 14, 18, 10, 21, 16$.

Ordena los datos de menor a mayor y calcula el resumen de los cinco números necesario para dibujar un diagrama de caja.

Se han registrado las edades de 7 estudiantes de un taller de teatro: $12, 14, 15, 18, 20, 22, 25$.

Calcula el mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el máximo. Determina también el rango intercuartílico ($IQR$).

Observa el siguiente diagrama de caja que representa los puntos anotados por un jugador de básquet en varios partidos.

Identifica los valores del resumen de los cinco números (mínimo, $Q_1$, mediana, $Q_3$, máximo) y calcula la amplitud de la caja (rango intercuartílico).

En un estudio sobre el peso de las mochilas escolares, se ha obtenido que el primer cuartil es $Q_1 = 4,5$ kg y el tercer cuartil es $Q_3 = 7,2$ kg.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). Si el peso mínimo registrado es de $2$ kg, ¿cuál es la longitud del bigote izquierdo en el diagrama de caja?

Responde a las siguientes preguntas conceptuales sobre un diagrama de caja:

• ¿Qué porcentaje aproximado de los datos se encuentra dentro de la caja (entre $Q_1$ y $Q_3$)?

• ¿Qué porcentaje de los datos se encuentra en cada uno de los bigotes (asumiendo que no hay valores atípicos)?

• Si la caja es muy estrecha, ¿qué indica sobre la dispersión de los datos centrales?

Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta en cada caso:

• La línea que marca la mediana siempre se encuentra exactamente en el centro geométrico de la caja.

• Los dos bigotes de un diagrama de caja siempre tienen la misma longitud.

• El rango intercuartílico no se ve afectado por los valores extremos (máximo y mínimo).

Los salarios (en dólares) de 5 empleados de una pequeña empresa son: $1100, 1200, 1300, 1500, 2500$.

Calcula el resumen de los cinco números. Si el empleado que gana $2500$ dólares recibe un aumento de $500$ dólares (pasando a ganar $3000$ dólares), ¿cómo afecta esto a la mediana y al rango intercuartílico? ¿Qué ventaja tiene el diagrama de caja frente a la media aritmética en este caso?

Un grupo de investigadores ha resumido la altura (en cm) de una población de plantas con los siguientes cinco números: Mínimo = $110$, $Q_1 = 125$, $Me = 135$, $Q_3 = 142$, Máximo = $160$.

Dibuja el diagrama de caja correspondiente en tu cuaderno indicando claramente la escala utilizada en el eje horizontal.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Se ha preguntado a un grupo de familias por el número de mascotas que tienen, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

• $0$ mascotas: $8$ familias

• $1$ mascota: $12$ familias

• $2$ mascotas: $10$ familias

• $3$ mascotas: $6$ familias

• $4$ mascotas: $4$ familias

Calcula los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ a partir de las frecuencias acumuladas y describe detalladamente cómo sería el diagrama de caja correspondiente.

En una clase de 32 alumnos, el diagrama de caja de las notas del examen final muestra que $Q_1 = 4$, $Me = 6$ y $Q_3 = 7,5$.

Sabiendo que no hay notas repetidas que coincidan exactamente con los cuartiles, ¿cuántos alumnos aproximadamente han sacado una nota igual o inferior a $4$? ¿Cuántos alumnos han sacado una nota entre $4$ y $7,5$?

La siguiente tabla muestra el tiempo (en horas) que un grupo de jóvenes dedica a la semana a jugar a videojuegos, agrupado en intervalos:

• $[0, 5)$: $10$ jóvenes

• $[5, 10)$: $25$ jóvenes

• $[10, 15)$: $30$ jóvenes

• $[15, 20)$: $15$ jóvenes

Calcula la posición de los cuartiles $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ interpolando en las clases correspondientes.

El siguiente histograma muestra la distribución de las edades de los visitantes a un museo durante una tarde.

A partir de las frecuencias representadas en el histograma, determina los intervalos en los que se encuentran el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$) y el tercer cuartil ($Q_3$). Justifica tus cálculos utilizando las frecuencias acumuladas.

Se ha medido el tiempo (en minutos) que tardan 9 personas en resolver un rompecabezas: $10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 25, 30$.

Calcula la mediana y los cuartiles $Q_1$ y $Q_3$. ¿El valor $30$ se considera un valor atípico según la regla de $1,5 \cdot IQR$?

En una distribución estadística, el primer cuartil es $Q_1 = 40$ y el tercer cuartil es $Q_3 = 64$.

Calcula el rango intercuartílico ($IQR$). A continuación, determina los límites inferior y superior para identificar valores atípicos (utilizando la regla de $1,5 \cdot IQR$). ¿Sería el valor $105$ considerado un valor atípico? ¿Y el valor $3$?

Se tiene un conjunto de datos formado por 6 números: $4, 8, 10, 15, 20, y$.

Sabiendo que la mediana de este conjunto de datos es $12$, halla el valor desconocido de $y$. Una vez hallado, calcula el primer y tercer cuartil, y determina si existe algún valor atípico.

Se ha registrado el número de pulsaciones por minuto de 11 atletas tras una carrera: $110, 115, 120, 122, 125, 130, 135, 140, 145, 150, 200$.

Calcula el resumen de los cinco números e identifica si el valor $200$ es un valor atípico utilizando el criterio de $1,5 \cdot IQR$. Si eliminamos ese valor atípico del conjunto de datos, ¿cómo varían la media y la mediana? ¿Qué medida de centralización es más robusta frente a este cambio?

El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de las pulsaciones por minuto en reposo de dos grupos de atletas, A (corredores de fondo) y B (levantadores de pesas).

A partir de la observación de los gráficos, responde:

• ¿Qué grupo tiene una mediana menor?

• ¿Qué grupo presenta una mayor dispersión en el $50\%$ central de sus datos?

• Calcula el rango intercuartílico de ambos grupos y compáralos.

Un diagrama de caja tiene los siguientes valores: Mínimo = $10$, $Q_1 = 15$, $Me = 18$, $Q_3 = 35$, Máximo = $40$.

Analiza la asimetría de la distribución. ¿Está sesgada hacia la derecha o hacia la izquierda? Justifica tu respuesta comparando las distancias entre los cuartiles y la mediana.

En un diagrama de caja, el bigote derecho es extremadamente largo en comparación con el bigote izquierdo y la caja. Por ejemplo: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $120$.

Razona y justifica matemáticamente si la media aritmética de esta distribución será mayor, menor o aproximadamente igual a la mediana. ¿Por qué ocurre esto?

Demuestra con un contraejemplo que un diagrama de caja no es suficiente para identificar si una distribución es bimodal (es decir, si tiene dos modas o picos de frecuencia).

Para ello, inventa dos conjuntos de datos de 8 elementos cada uno: uno que sea claramente unimodal y otro que sea claramente bimodal, pero de tal forma que ambos tengan exactamente el mismo resumen de los cinco números (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo).

Una empresa analiza el tiempo de vida (en horas) de dos marcas de bombillas, A y B. Ambas marcas tienen la misma mediana ($Me = 1000$ h) y el mismo rango intercuartílico ($IQR = 200$ h). Sin embargo, el rango total de la marca A es de $400$ h, mientras que el rango total de la marca B es de $1200$ h.

¿Qué información nos aporta esta diferencia en los rangos totales sobre la fiabilidad y la presencia de valores atípicos en ambas marcas? ¿Cuál de las dos marcas considerarías más predecible y por qué?

Las notas de un examen sobre 10 puntos tienen el siguiente resumen: Mínimo = $3$, $Q_1 = 5$, $Me = 6$, $Q_3 = 8$, Máximo = $10$.

El profesor decide transformar las notas multiplicándolas por $0,8$ y sumándoles $2$ puntos. Calcula el nuevo resumen de los cinco números y el nuevo rango intercuartílico.

Ingeniería inversa. Crea un conjunto de datos formado por 7 números enteros que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones para su diagrama de caja:

• Mínimo = $2$

• $Q_1 = 4$

• Mediana = $7$

• $Q_3 = 10$

• Máximo = $15$

Demuestra paso a paso que tu conjunto de datos cumple con los valores requeridos.

En una distribución estadística, los cuartiles vienen dados por expresiones algebraicas en función de un parámetro $x > 0$:

• $Q_1 = x$

• $Me = 2x + 1$

• $Q_3 = x^2 - 2$

Sabiendo que el rango intercuartílico ($IQR$) es igual a $10$, plantea una ecuación, resuelve para hallar el valor de $x$, y calcula los valores numéricos de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$.