Funciones definidas a trozos
Tu plan de datos del celular cuesta $\$5$ por mes e incluye 4 GB. Si te pasas, cada GB extra cuesta $\$1$. ¿Se puede escribir el costo con una sola fórmula? No: hasta los 4 GB el costo no cambia, y después sube con el consumo. Necesitas una fórmula para cada tramo. Eso es una función definida a trozos, y al final de la página vas a poder escribir la de tu plan.
Qué es una función a trozos
Cada fórmula vale solo dentro de su intervalo. Los tramos no pueden solaparse: cada $x$ tiene que pertenecer a un único tramo, para que tenga una sola imagen.
Cuando el enunciado es un relato, cada tramo es una etapa: «sube», «se mantiene», «baja». Los extremos de los tramos son los instantes en que cambia la historia.
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos…
Asocia la siguiente descripción con la estructura de una función definida a trozos: "Se enciende un horno y su temperatura sube de forma constante durante 10 minutos hasta alcanzar los 200ºC. Se mantiene a esa temperatura durante 40 minutos para hornear una pizza y, finalmente, se apaga, descendiendo su temperatura hasta la temperatura ambiente (20ºC) de forma constante en 30 minutos."
Escribe los intervalos de tiempo que definirían los tres tramos de la función temperatura $T(t)$.
Calcular imágenes
Para calcular $f(a)$: primero busca en qué intervalo está $a$, y recién después sustituye en la fórmula de ese tramo.
Dada la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ Calcula el valor de la función en…
Dada la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2-3 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$
Calcula el valor de la función en los puntos $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.
Graficar y leer la gráfica
Para graficar, dibuja cada tramo solo dentro de su intervalo. En el extremo que pertenece al tramo (el de $\le$ o $\ge$) pon un punto relleno; en el que no pertenece (el de $<$ o $>$), un punto hueco.
De la gráfica también se leen:
-
el dominio: los valores de $x$ sobre los que hay gráfica (la unión de los intervalos);
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el recorrido: los valores de $y$ que alcanza la gráfica (mira cuánto cubren los tramos sobre el eje $y$, sin olvidar los puntos huecos);
-
los máximos y mínimos relativos: puntos más altos o más bajos que sus vecinos. Un máximo puede estar en el vértice de una parábola o en un punto donde cambia de tramo.
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$…
Representa gráficamente en tu cuaderno la siguiente función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -2 & \text{si } x \le 1 \\ 2x-4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Observa la gráfica de la función $f(x)$ y determina su dominio y su recorrido.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$ Represéntala gráficamente y determina sus…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} -x^2+4x & \text{si } x < 3 \\ x-2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$
Represéntala gráficamente y determina sus máximos y mínimos relativos, si los tiene.
Continuidad en el punto de cambio
Una función es continua si su gráfica se dibuja sin levantar el lápiz. En una función a trozos solo hay que mirar los puntos donde cambia la fórmula.
Si la fórmula tiene un parámetro, la continuidad da una ecuación:
Hay tres formas típicas de discontinuidad: un salto (las ramas llegan a alturas distintas), un punto aislado o «hueco» (las dos ramas se encuentran, pero $f(p)$ vale otra cosa o no existe) y una asíntota (la gráfica crece sin límite al acercarse a $p$).
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:…
Halla el punto de ruptura de la siguiente función y determina si es continua en dicho punto:
$f(x) = \begin{cases} 3x-2 & \text{si } x < 2 \\ 5-x & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:…
Determina el valor del parámetro $k$ para que la siguiente función definida a trozos sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \le 2 \\ kx + 3 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.…
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=1$ y pase por el punto $(4, 9)$.
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{si } x < 1 \\ 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 3 \\ ax - b & \text{si } x > 3 \end{cases}$
Una vez hallados $a$ y $b$, comprueba matemáticamente si la función resulta ser continua también en $x=3$.
El valor absoluto como función a trozos
Si hay una suma con otros términos, se reescribe cada pedazo según el tramo.
Con dos valores absolutos, haces una tabla de signos con los dos puntos críticos. Por ejemplo, $|x|-|x-2|$ cambia en $x=0$ y en $x=2$ y tiene tres tramos:
| $x<0$ | $0\le x<2$ | $x\ge2$ | |
|---|---|---|---|
| $\lvert x\rvert$ | $-x$ | $x$ | $x$ |
| $\lvert x-2\rvert$ | $-x+2$ | $-x+2$ | $x-2$ |
| $f(x)$ | $-2$ | $2x-2$ | $2$ |
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Expresa la función de valor absoluto $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x - 2| + 3x$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto y calcula los valores de $f(0)$ y $f(5)$.
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos…
Expresa la función $f(x) = |x + 3| - |2x - 4|$ como una función definida a trozos, eliminando los valores absolutos, y simplifica la expresión de cada uno de los tramos resultantes.
Hallar la fórmula a partir de la gráfica
A veces te dan la gráfica y tienes que escribir la función. Se hace tramo por tramo.
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Tramo recto: lees dos puntos del tramo, calculas la pendiente $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ y la ordenada en el origen, o usas $y-y_1=m(x-x_1)$.
-
Tramo de parábola: si lees el vértice $(h,k)$, la fórmula es $y=a(x-h)^2+k$, y un punto más te da $a$.
-
Los extremos de los tramos (con puntos rellenos o huecos) te dicen los signos $<$, $\le$, $>$, $\ge$.
Esta misma idea sirve en problemas: si el enunciado dice que el máximo está en cierto instante, ese es el vértice, y si dice que toca el suelo en otro, ese es una raíz. Como la parábola es simétrica respecto del eje que pasa por el vértice, la raíz de un lado te da la del otro.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $g(x)$, determina su expresión analítica sabiendo que está formada por dos semirrectas.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
A partir de la gráfica de la función $h(x)$, que está compuesta por un arco de parábola y una semirrecta, halla su expresión analítica.
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las…
Observa la siguiente gráfica de la función $p(x)$ y determina su expresión analítica completa. A partir de ella, indica su dominio, su recorrido y clasifica las discontinuidades que presenta.
El cohete que despega y luego cae es un caso parecido: la fórmula del primer tramo es una recta y la del segundo una parábola que se empalma con ella.
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos…
Un cohete de prueba despega verticalmente. Durante los primeros $10$ segundos, su altura en metros se modela mediante la función lineal $h(t) = 5t$. A los $10$ segundos se apaga el motor y el cohete sigue una trayectoria parabólica de caída libre $h(t) = at^2 + bt + c$, de forma que la transición es continua. Sabiendo que el cohete alcanza su altura máxima a los $25$ segundos e impacta contra el suelo a los $50$ segundos, encuentra la expresión de la parábola y determina la altura máxima alcanzada por el cohete.
Modelizar tarifas
Las tarifas son el ejemplo más común: el precio cambia a partir de un umbral. Pasos para modelizar:
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Identifica los umbrales: son los extremos de los tramos.
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Escribe qué se paga en cada tramo, desde el principio: no alcanza con el precio del tramo, hay que sumar lo ya acumulado antes del umbral.
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Revisa si en el umbral las fórmulas coinciden (es decir, si no hay salto).
Un parqueadero céntrico cobra una tarifa de $2$ dólares por la primera hora de estadía (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $1,50$ dólares por…
Un parqueadero céntrico cobra una tarifa de $2$ dólares por la primera hora de estadía (o fracción). A partir de la primera hora, cobra a razón de $1,50$ dólares por cada hora adicional, facturando el tiempo extra de forma proporcional a los minutos exactos de permanencia. Escribe la función definida por partes $C(x)$ que representa el costo total en función de las horas $x$ que el carro permanece en el parqueadero.
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $15$ dólares que incluye los primeros…
Una compañía de telefonía celular ofrece una tarifa de datos que funciona de la siguiente manera: se paga una cuota fija mensual de $15$ dólares que incluye los primeros $5$ GB de descarga. Si se supera ese límite, cada gigabyte adicional (o fracción proporcional) se cobra a $2$ dólares.
Escribe la función $C(x)$ que representa el costo mensual en función de los gigabytes $x$ consumidos, y calcula cuánto pagará un cliente que ha consumido $3$ GB y otro que ha consumido $8,5$ GB.
El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $10$ dólares mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $0,12$ dólares/kWh. Si se…
El recibo de la luz de una vivienda tiene un término fijo de $10$ dólares mensuales. Además, los primeros $100$ kWh consumidos se facturan a $0,12$ dólares/kWh. Si se superan los $100$ kWh, el exceso de consumo se cobra a $0,15$ dólares/kWh. Escribe la función $F(x)$ que da el importe total del recibo en función de los kWh $x$ consumidos.
Impuestos por tramos
En un impuesto progresivo, cada porcentaje se aplica solo a la parte del ingreso que cae en cada tramo, no a todo el ingreso.
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $10\,000$ dólares de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la…
En un país ficticio, el impuesto sobre la renta se calcula de la siguiente manera: por los primeros $10\,000$ dólares de ingresos no se pagan impuestos ($0$%). Por la cantidad que exceda de $10\,000$ dólares y hasta $20\,000$ dólares, se paga un $10$%. Por la cantidad que exceda de $20\,000$ dólares, se paga un $20$%.
Escribe la función definida a trozos $I(x)$ que calcula el impuesto a pagar en función de los ingresos $x$.
Magnitudes que cambian de ritmo
Cuando algo cambia de comportamiento (acelera, se mantiene, frena; se llena a un ritmo y luego a otro), cada etapa es un tramo, y los extremos son los instantes de cambio.
Para saber en qué tramo está la respuesta, calcula el valor en el umbral y compara. Y si el problema pide un máximo, búscalo en el vértice de una parábola o en los extremos de los tramos. Los ingresos de una sala de teatro con descuentos, por ejemplo, se vuelven una parábola en el segundo tramo y el máximo está en el vértice (si cae dentro del tramo).
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero…
Un tren de cercanías arranca desde una estación y acelera de forma constante hasta alcanzar una velocidad de $20$ m/s en $10$ segundos. Mantiene esa velocidad de crucero durante $30$ segundos y, finalmente, frena de manera uniforme hasta detenerse por completo en la siguiente estación en $5$ segundos. Escribe la función a trozos $v(t)$ que describe la velocidad del tren en función del tiempo transcurrido desde el arranque.
Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto.…
Un depósito de agua de $6000$ litros de capacidad está inicialmente vacío. Se enciende una bomba que introduce agua a un ritmo constante de $50$ litros por minuto. Pasados $60$ minutos, se enciende una segunda bomba auxiliar que añade un caudal adicional de $30$ litros por minuto. Escribe la función a trozos $V(t)$ que representa el volumen de agua en el depósito en función del tiempo, y calcula cuánto tiempo en total se tardará en llenar el depósito por completo.
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $10$ dólares si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada…
Una sala de teatro ofrece un precio de entrada de $10$ dólares si asisten hasta un máximo de $50$ personas. Para fomentar la asistencia de grupos grandes, por cada persona que exceda de $50$, el precio de la entrada para todos los asistentes se reduce en $0,10$ dólares.
Escribe la función de ingresos totales del teatro $I(x)$ en función del número de asistentes $x$ (como función a trozos) y determina cuántas personas deben asistir para que el teatro obtenga el máximo ingreso posible.
Intersecciones y áreas
Intersección con una recta. Se iguala la fórmula de cada tramo a la de la recta, se resuelve y se descartan las soluciones que no cumplen la condición del tramo.
Área bajo la gráfica. Si los tramos son rectas, la figura que queda entre la gráfica y el eje $x$ se parte en triángulos, rectángulos y trapecios, y se suman las áreas.
Dada la función definida a trozos: $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$ Calcula el valor del parámetro $k$ para…
Dada la función definida a trozos:
$f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\ k & \text{si } 2 < x \le 6 \end{cases}$
Calcula el valor del parámetro $k$ para que el área total de la figura geométrica encerrada entre la gráfica de la función y el eje de abscisas (eje $X$) sea exactamente de $24$ unidades cuadradas.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos…
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ -2x + 4 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$ y la recta $y = x + 2$.
Resumen
Vuelve al principio: tu plan de datos es $C(x)=5$ si $0\le x\le4$ y $C(x)=5+(x-4)$ si $x>4$.