Aproximación y errores
En el laboratorio de la escuela, la balanza marca $15{,}00$ g y la probeta, $250$ mL. Con esos datos, ¿cuántas cifras de la concentración $\frac{15{,}00}{250}$ que te da la calculadora son confiables? Ninguna medición da el número exacto: da una aproximación con una precisión conocida. Saber medir esa precisión, y cómo se "contagia" cuando operas con varias medidas a la vez, es parte del oficio de cualquier científico. Al final de la página volvemos a esta pregunta.
Truncar y redondear
Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más…
Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más precisa.
Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error…
Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error absoluto cometido.
Error absoluto y error relativo
Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ m, se ha obtenido un valor de $1,28$ m. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ km, se ha obtenido un…
Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ m, se ha obtenido un valor de $1,28$ m. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ km, se ha obtenido un valor de $246$ km. Calcula el error relativo en ambas mediciones y determina cuál de las dos es más precisa.
El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta…
El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta aproximación, utilizando para el valor exacto todas las cifras de tu calculadora. Expresa el error relativo en forma de porcentaje.
Un antiguo programa informático de cálculo geométrico utiliza la aproximación $\frac{22}{7}$ para el número $\pi$. ¿Cuántas cifras decimales exactas proporciona esta…
Un antiguo programa informático de cálculo geométrico utiliza la aproximación $\frac{22}{7}$ para el número $\pi$. ¿Cuántas cifras decimales exactas proporciona esta aproximación frente al valor real de $\pi$? Calcula el error relativo porcentual cometido por el software.
Cotas de error e intervalos
Muchas veces no conoces el valor real, así que no puedes calcular el error exacto. Lo que sí sabes es una cota: un número que el error no supera.
Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.
Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.
Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que…
Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que puede estar cometiendo el dispositivo?
El presupuesto de licitación para la construcción de un viaducto es de $12,4$ millones de dólares. Si por motivos de fluctuación del precio de los materiales el costo…
El presupuesto de licitación para la construcción de un viaducto es de $12,4$ millones de dólares. Si por motivos de fluctuación del precio de los materiales el costo final sufre un error relativo del $3,5\%$, determina entre qué cantidades económicas exactas (en dólares) oscilará el costo final de la obra.
Cifras significativas y notación científica
En notación científica $a\cdot10^{n}$ con $1\le a<10$, las cifras significativas son las de $a$. Al aproximar con $k$ cifras significativas, la unidad $u$ de la última cifra conservada se obtiene mirando su posición en $a$ y multiplicando por $10^n$.
Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al…
Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al realizar esta aproximación.
La velocidad de la luz en el vacío es una constante física cuyo valor exacto es de $299792458$ m/s. Expresa esta cantidad en notación científica redondeando a cuatro…
La velocidad de la luz en el vacío es una constante física cuyo valor exacto es de $299792458$ m/s. Expresa esta cantidad en notación científica redondeando a cuatro cifras significativas. ¿Cuál es la cota del error absoluto y del error relativo de esta nueva representación abreviada?
En un laboratorio de microbiología, se mide el diámetro de una célula resultando ser $0,000015$ m con un error absoluto menor que $10^{-7}$ m. En paralelo, un…
En un laboratorio de microbiología, se mide el diámetro de una célula resultando ser $0,000015$ m con un error absoluto menor que $10^{-7}$ m. En paralelo, un observatorio astronómico mide la distancia a una estrella cercana como $4,2 \cdot 10^{16}$ m con un error absoluto menor que $10^{14}$ m. ¿Qué medición tiene mayor precisión real? Justifica tu respuesta calculando y comparando el error relativo de ambas.
Sumas y restas de valores aproximados
Realiza la operación matemática $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expresando el resultado final en notación científica con el número de cifras significativas adecuado.
Realiza la operación matemática $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expresando el resultado final en notación científica con el número de cifras significativas adecuado.
La masa de un planeta es $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la de su satélite natural es $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la masa total del sistema planetario en notación…
La masa de un planeta es $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la de su satélite natural es $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la masa total del sistema planetario en notación científica y determina una cota del error absoluto de la suma, asumiendo que los datos proporcionados ya son aproximaciones redondeadas a la última cifra decimal mostrada.
Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete…
Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete también un error absoluto menor que $0,005$. Determina el intervalo de error garantizado para la suma $x + y$ y para la diferencia $x - y$.
El error se acumula
Cuando redondeas en cada paso de una cuenta repetida, los pequeños errores se van sumando. Por eso en una calculadora o una hoja de cálculo conviene guardar todos los decimales y redondear solo el resultado final.
Una entidad financiera calcula los intereses diarios de una cuenta utilizando redondeo a dos cifras decimales en cada operación diaria, mientras que una segunda entidad…
Una entidad financiera calcula los intereses diarios de una cuenta utilizando redondeo a dos cifras decimales en cada operación diaria, mientras que una segunda entidad guarda internamente todos los decimales y solo redondea a dos cifras el saldo total al final del mes (considera un mes de 30 días). Si el interés diario exacto generado en la cuenta es de $1,234$ dólares, calcula el error absoluto total acumulado que diferencia a ambos métodos al finalizar el mes.
Productos, cocientes y potencias
Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ m y $b = 3,5$ m. Sabiendo…
Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ m y $b = 3,5$ m. Sabiendo que el instrumento introduce un error máximo de $0,05$ m en cada medida, calcula el área nominal de la habitación y determina el intervalo estricto de valores reales en el que se encuentra dicha área.
Demuestra algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos…
Demuestra algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos casos, entonces el error relativo del producto $x \cdot y$ está acotado aproximadamente por $2\varepsilon$ (puedes despreciar los términos de orden superior a $\varepsilon$, es decir, los términos que contengan $\varepsilon^2$).
La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo…
La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo un error relativo máximo del $2\%$ en cada una de las tres magnitudes, y consideramos la constante $G$ como un valor matemático exacto, determina de forma justificada la cota del error relativo máximo que se cometerá al calcular la fuerza $F$.
Aplicaciones al laboratorio y la industria
El método general: primero calcula el valor nominal con los datos centrales, y después acota el error. Puedes hacerlo de dos maneras: con la regla de los errores relativos (rápida, aproximada) o con los intervalos extremos (rigurosa).
Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error…
Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volumen nominal de la esfera y demuestra analíticamente cuál es el máximo error absoluto y el máximo error relativo que se propaga al cálculo del volumen.
En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ m y $c_2 = 40,0$ m. La precisión del…
En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ m y $c_2 = 40,0$ m. La precisión del instrumento topográfico garantiza un error relativo menor del $1\%$ en cada longitud lineal medida. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ y acota el error absoluto y el error relativo máximo que se puede cometer al calcularla indirectamente.
Se quiere preparar una disolución química en la que la masa del soluto debe ser $m = 15,00$ g y el volumen del disolvente $V = 250$ ml. La balanza del laboratorio tiene…
Se quiere preparar una disolución química en la que la masa del soluto debe ser $m = 15,00$ g y el volumen del disolvente $V = 250$ ml. La balanza del laboratorio tiene una precisión garantizada de $\pm 0,01$ g y la probeta volumétrica tiene un margen de error de $\pm 1$ ml. Calcula la concentración nominal $C = \frac{m}{V}$ expresada en g/ml e indica el intervalo estricto de valores reales entre los que se encuentra dicha concentración.
Racionalizar antes de aproximar
Si un valor exacto trae raíces en el denominador, conviene racionalizarlo antes de aproximar: así queda una expresión sencilla y se aproxima una sola vez, sin acumular errores de varias aproximaciones intermedias.
Cuando el denominador es un binomio con raíces, como $\sqrt3-\sqrt2$, se multiplica numerador y denominador por su conjugado, que es el mismo binomio con el signo central cambiado ($\sqrt3+\sqrt2$). Se usa la diferencia de cuadrados:
Calcula el valor exacto de la expresión $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalizando el denominador. A continuación, aproxima el resultado a las…
Calcula el valor exacto de la expresión $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalizando el denominador. A continuación, aproxima el resultado a las centésimas y determina una cota del error relativo cometido respecto al valor exacto.
Comparar aproximaciones: ¿cuál es mejor?
Para decidir cuál de dos aproximaciones es mejor, calcula el error de cada una con todas las cifras de la calculadora y compáralos: gana el de menor error.
Aproximamos el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilizando la fracción racional $\frac{19}{6}$. Calcula el error absoluto cometido con esta aproximación. A continuación,…
Aproximamos el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilizando la fracción racional $\frac{19}{6}$. Calcula el error absoluto cometido con esta aproximación. A continuación, encuentra una fracción con denominador menor que $20$ que proporcione una aproximación mejor (es decir, con un error absoluto estrictamente menor) y demuestra analíticamente que lo es.
Un algoritmo informático aproxima la función exponencial en valores cercanos a cero mediante el polinomio de Taylor de segundo grado:…
Un algoritmo informático aproxima la función exponencial en valores cercanos a cero mediante el polinomio de Taylor de segundo grado: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$. Si evaluamos dicho algoritmo en $x = 0,1$, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de esta aproximación comparado con el valor que proporciona la calculadora científica para $e^{0,1}$. ¿Cuántas cifras significativas correctas garantiza esta aproximación polinómica?
Vuelve al principio: con $15{,}00$ g (error $\pm0{,}01$) y $250$ mL (error $\pm1$), los errores relativos son $0{,}07\,\%$ y $0{,}4\,\%$. El del volumen domina, así que la concentración es confiable solo hasta unas dos o tres cifras significativas, aunque la calculadora muestre diez.