Función módulo

Expresa la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Escribe su expresión analítica de forma compacta utilizando el valor absoluto.

Calcula el valor numérico de la función $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para los puntos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.

Determina el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del valor absoluto.

Resuelve la ecuación $|2x - 8| = 0$ y explica qué representa geométricamente este resultado respecto a la gráfica de la función $f(x) = |2x - 8|$.

Determina las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.

Dada la siguiente gráfica de una función con valor absoluto, deduce su expresión analítica de la forma $y = |x - a|$.

Una función con valor absoluto de la forma $f(x) = |x - a| + b$ tiene las siguientes características en el plano cartesiano:

• Su gráfica tiene forma de «V» con vértice en el punto $(4, -3)$.

• Corta al eje de abscisas (eje $X$) en dos puntos simétricos respecto a la vertical del vértice.

1. a) Determina razonadamente los valores de los parámetros $a$ y $b$.
2. b) Halla analíticamente los dos puntos de corte con el eje $X$, resolviendo la ecuación $f(x) = 0$.
3. c) Reescribe $f(x)$ como una función definida a trozos y razona si el vértice hallado corresponde a un mínimo absoluto o a un máximo absoluto de la función.

En una simulación de billar, una bola rebota contra la banda situada en el eje de abscisas. La trayectoria de la bola sigue la función $y = 4 - |x - 3|$, donde $x$ e $y$ están medidos en unidades de la cuadrícula del simulador.

Determina analíticamente (sin dibujar la gráfica, o usándola solo para comprobar):

1. a) Las coordenadas del punto donde la bola alcanza su máxima separación de la banda.

1. b) Las coordenadas de los puntos donde la bola impactaría con el eje X.

Determina las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas positivas o negativas?

En una etapa de montaña de la Vuelta Ciclista a España a su paso por Asturias, el perfil altimétrico de un tramo de $20\text{ km}$ se modela mediante la función:

$h(x) = 60 \cdot |x - 8| + 450$

donde $x$ es la distancia recorrida en kilómetros desde el inicio del tramo ($0 \le x \le 20$) y $h(x)$ es la altitud sobre el nivel del mar en metros.

1. a) Identifica las coordenadas del vértice de la gráfica de $h(x)$ e interpreta su significado físico en la carrera (punto kilométrico y altitud del fondo del valle).
2. b) Expresa la función $h(x)$ como una función definida por tramos para el intervalo del dominio $[0, 20]$.
3. c) La organización fija un punto de abastecimiento de líquidos en todos los puntos del tramo donde la altitud no supere los $690\text{ m}$. Plantea una inecuación con valor absoluto para esta condición y calcula el tramo kilométrico (intervalo de $x$) donde estará situada dicha zona de abastecimiento.

Expresa como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indica en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido reflejada respecto al eje de abscisas.

En un laboratorio, la desviación de la temperatura de una reacción química respecto a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ viene dada por la función $D(t) = |2t - 12|$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Expresa $D(t)$ como una función a trozos y determina en qué instante la desviación es nula.

El margen de beneficio de una empresa, en miles de dólares, respecto a su objetivo anual se modela mediante la función $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, siendo $x$ el número de meses transcurridos. Expresa la función por partes para identificar en qué períodos la empresa estuvo exactamente en el objetivo, por debajo de él (antes de aplicar el valor absoluto) o por encima.

Expresa la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese valor de $k$, expresa $f(x)$ sin utilizar el valor absoluto.

En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelizar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determina los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la señal alcanza su valor máximo de $12\text{ V}$ en el instante $t = 5\text{ s}$, y que cruza el eje de abscisas (valor $0\text{ V}$) en los instantes $t = 2\text{ s}$ y $t = 8\text{ s}$.

La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores de los parámetros $b$ y $c$.

Se considera la función $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ y la recta horizontal $y = 3$.

1. a) Estima razonadamente:

• Halla las raíces y las coordenadas del vértice de la parábola interior $g(x) = x^2 - 6x + 5$.

• Explica cómo actúa el valor absoluto sobre la parte de la parábola situada por debajo del eje $X$ y deduce cuál es la altura máxima que alcanza la «cresta» reflejada.

• A partir de la altura de esa cresta y del comportamiento general de la gráfica, estima de forma justificada cuántas soluciones reales tendrá la ecuación $|x^2 - 6x + 5| = 3$.

1. b) Comprueba algebraicamente:

• Resuelve la ecuación $|x^2 - 6x + 5| = 3$ planteando las dos ecuaciones que surgen al suprimir el valor absoluto.

• Halla todas las soluciones exactas y confirma si tu estimación previa sobre el número de soluciones era acertada.

Considera la familia de funciones cuadráticas con valor absoluto dada por $f_k(x) = |x^2 - 4x + k|$, donde $k \in \mathbb{R}$ es una constante.

1. a) Determina razonadamente para qué valores del parámetro $k$ la gráfica de $f_k(x)$ no sufre ningún reflejo respecto al eje $X$ (es decir, coincide en todo su dominio con la parábola original $y = x^2 - 4x + k$).
2. b) Justifica, estudiando las raíces del polinomio interior, cuántos puntos angulosos (esquinas en el eje $X$ donde la función cambia bruscamente de dirección) tiene la gráfica de $f_k(x)$ en cada uno de estos tres casos: $k > 4$, $k = 4$ y $k < 4$.
3. c) Problema inverso: Sabiendo que la recta horizontal $y = 5$ corta a la gráfica de $f_k(x)$ en exactamente tres puntos distintos, deduce de forma justificada el valor del parámetro $k$ y calcula las coordenadas exactas de esos tres puntos de intersección.

Simplifica la expresión de la función $f(x) = 2x + |x - 4|$ escribiéndola como una función definida a trozos. A continuación, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 6]$.

El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modeliza mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Expresa la función $E(t)$ sin utilizar valores absolutos en el intervalo de tiempo $t \in [1, 3]$.

La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa los vértices y puntos de corte, deduce el valor de $c$ y escribe la expresión de la función a trozos para el intervalo $x \in [-4, 4]$.

Para resolver la ecuación $|x - 2| + |x - 6| = 8$, dos estudiantes proponen caminos distintos:

• Método 1 (analítico a trozos): Estudiar el signo de los binomios en la recta real, descomponer la expresión en tres intervalos ($(-\infty, 2)$, $[2, 6)$ y $[6, +\infty)$), resolver la ecuación en cada tramo y verificar la validez de las soluciones.

• Método 2 (geométrico de distancias): Interpretar $|x - a|$ como la «distancia entre $x$ y $a$» en la recta real, considerando la distancia fija entre los puntos $2$ y $6$.

1. a) Aplica el Método 1: expresa $f(x) = |x - 2| + |x - 6|$ como función definida a trozos y obtén algebraicamente las soluciones de la ecuación.
2. b) Aplica el Método 2: razona cuál es la suma de distancias a $2$ y a $6$ para cualquier punto situado dentro del segmento $[2, 6]$ y deduce geométricamente las dos soluciones de la ecuación cuando dicha suma debe ser $8$.
3. c) Elige y justifica el método: Si ahora te piden resolver la ecuación $|x - 2| + |x - 6| = 3$, ¿cuál de los dos métodos permite dar una respuesta justificada de forma inmediata sin realizar operaciones largas? Explica cuál es esa conclusión.

Lucía está resolviendo la ecuación $|2x - 8| = -4$ en su examen y escribe el siguiente razonamiento:

«Como el valor absoluto se desdobla en dos opciones:

1) $2x - 8 = -4 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.

2) $-(2x - 8) = -4 \implies -2x + 8 = -4 \implies -2x = -12 \implies x = 6$.

Por tanto, la ecuación tiene dos soluciones: $x = 2$ y $x = 6$».

1. a) Sin resolver la ecuación de nuevo, comprueba mediante sustitución directa si los valores $x = 2$ y $x = 6$ son realmente soluciones de la ecuación original $|2x - 8| = -4$. ¿Qué observas?
2. b) Localiza y explica el error conceptual que ha cometido Lucía antes de empezar a despejar la incógnita. ¿Cuál es la respuesta correcta y razonada sobre el número de soluciones de dicha ecuación?

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.

Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de calidad exige que $E(x) \le 1,5$, plantea la inecuación correspondiente y determina el intervalo de longitudes válidas para las varillas.

Halla analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analiza los diferentes casos según el signo de las expresiones dentro del valor absoluto.

Halla el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantea y resuelve la inecuación con valor absoluto correspondiente.