La elipse

A partir de la ecuación de la elipse $\frac{(x-1)^2}{16} + \frac{(y+4)^2}{9} = 1$, indica las coordenadas de su centro y la longitud de sus semiejes.

Una elipse tiene su centro en el punto $C(-2, 3)$, su eje mayor es paralelo al eje de abscisas y mide $12$ unidades, y su eje menor mide $8$ unidades. Escribe su ecuación en forma canónica.

Dada la ecuación general $9x^2 + 4y^2 - 36x + 24y + 36 = 0$, demuestra que corresponde a una elipse. Para ello, exprésala en forma canónica y determina las coordenadas de su centro, sus vértices y sus focos.

Comprueba si los puntos $P(2, -3)$, $Q(5, 0)$ y $R(4, 2)$ son interiores, exteriores o pertenecen a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$.

Estudia la posición relativa de la recta de ecuación $2x + y - 5 = 0$ y la elipse $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$. Si se cortan, halla las coordenadas de los puntos de intersección.

Calcula los valores del parámetro $k$ para que la recta $x + 2y + k = 0$ sea tangente a la elipse de ecuación $x^2 + 4y^2 = 20$.

Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse $x^2 + 2y^2 = 18$ que son paralelas a la recta de ecuación $x - y + 4 = 0$.

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse de ecuación $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ que pasan por el punto exterior $P(0, 5)$.

Un puente de piedra sobre un río tiene la forma de un semiarco elíptico. La anchura del río (eje mayor de la elipse) es de $20\text{ m}$ y la altura máxima del arco en el centro del río es de $6\text{ m}$. Calcula a qué altura se encuentra el arco a una distancia de $4\text{ m}$ del centro del río.

En la galería de los suspiros, que tiene forma de elipse, dos personas situadas en los focos pueden escucharse perfectamente aunque hablen en un susurro. Si la galería tiene una longitud total de $34\text{ m}$ y una anchura máxima de $16\text{ m}$, ¿a qué distancia del centro de la sala debe situarse cada persona para aprovechar este fenómeno acústico?

Determina el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto $F(4, 0)$ es igual a la mitad de su distancia a la recta de ecuación $x - 16 = 0$. Identifica la cónica resultante y calcula su centro y la longitud de sus semiejes.

En un mecanismo de relojería, un engranaje tiene forma elíptica. Se sabe que su ecuación de contorno viene dada por $x^2 + 4y^2 = 16$. Se desea colocar un pequeño pasador en un punto de la elipse cuya abscisa sea el doble que su ordenada. Calcula las coordenadas de dicho punto (asumiendo que ambas son positivas) y la distancia exacta de este punto al centro del engranaje.

Considera la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$. A cada punto $A(x, y)$ de la circunferencia se le asocia un punto $P(x, y')$ que tiene la misma abscisa, pero su ordenada es el $60\%$ de la ordenada de $A$. Demuestra que el lugar geométrico de los puntos $P$ es una elipse y determina su ecuación, su centro y sus focos.

Se quiere diseñar una ventana rectangular que esté inscrita en un hueco elíptico de ecuación $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$. Los lados del rectángulo deben ser paralelos a los ejes de la elipse. Si se desea que el rectángulo tenga un área total de $24\text{ m}^2$, ¿cuáles deben ser sus dimensiones exactas?

Una plaza mayor tiene forma de elipse. Se quiere pavimentar un camino recto que una el foco situado más a la izquierda, $F_1$, con un punto $P$ de la elipse situado en el segundo cuadrante. Se sabe que el eje mayor de la plaza mide $100\text{ m}$ y el eje menor $60\text{ m}$. Si el ángulo que forma el segmento $F_1P$ con el semieje positivo de abscisas es de $60^\circ$, calcula la longitud exacta del camino pavimentado.

Una elipse está centrada en el origen y sus ejes de simetría coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas. Si se sabe que la elipse pasa por los puntos $A(2, \sqrt{3})$ y $B(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{15}}{2})$, halla la ecuación de la elipse y calcula la distancia exacta entre sus focos.

Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes interiormente a la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 100$ y que pasan por el punto fijo $A(6, 0)$. Demuestra que dicho lugar geométrico es una elipse, halla su ecuación canónica y determina las coordenadas de sus focos.

En una carretera autonómica se proyecta un túnel cuya sección transversal tiene forma de semielipse (cortada por su eje mayor sobre el pavimento horizontal). La anchura total utilizable de la calzada en la base es de $10\text{ m}$ y la altura máxima en el punto central de la bóveda es de $4\text{ m}$. La calzada dispone de dos carriles de circulación de $3\text{ m}$ de ancho cada uno (uno por sentido), situados simétricamente respecto al centro, y flanqueados por sendos arcenes de $1\text{ m}$ de anchura en los extremos exteriores.

1. a) Sitúa el origen de coordenadas en el centro de la calzada sobre el suelo y escribe la ecuación matemática que describe el perfil de la bóveda del túnel indicando el rango de validez de las variables.
2. b) Un vehículo de transporte especial de sección rectangular mide $3{,}10\text{ m}$ de altura y circula estrictamente dentro de su carril (de modo que su punto más alejado del centro se encuentra en el borde exterior del carril, a $x = 3\text{ m}$). Determina algebraicamente la altura libre que ofrece la bóveda en esa vertical.
3. c) Dictamina si el vehículo puede transitar por el carril sin rozar la estructura y calcula el margen de seguridad vertical existente en el punto más desfavorable.

Una red de monitorización ambiental marina dispone de dos boyas acústicas de referencia fondeadas en los puntos $F_1(-6, 0)$ y $F_2(6, 0)$ (coordenadas en kilómetros). Un dron submarino de vigilancia recorre de forma continua una trayectoria elíptica fija centrada en el origen con semieje mayor $a = 10\text{ km}$ y focos en dichas boyas.

Para calibrar un sensor de interferencias, el dron debe situarse en un punto $P(x, y)$ de su ruta elíptica tal que la distancia a la boya $F_1$ sea exactamente el triple de la distancia a la boya $F_2$; es decir, $d(P, F_1) = 3\cdot d(P, F_2)$.

1. a) Sin utilizar aún las coordenadas analíticas de $P$, deduce los valores numéricos exactos de las distancias $d(P, F_1)$ y $d(P, F_2)$ apoyándote exclusivamente en la definición de la elipse como lugar geométrico.
2. b) Escribe la ecuación reducida de la trayectoria elíptica y plantea un sistema de ecuaciones para calcular las coordenadas exactas de todos los puntos $P$ del plano que cumplen simultáneamente la ecuación de la elipse y la condición de calibración.
3. c) ¿Sería posible calibrar el sensor en un punto de esta misma trayectoria si la condición requerida fuese $d(P, F_1) = 5\cdot d(P, F_2)$? Justifica tu respuesta mediante dos argumentos geométricos independientes: uno basado en la desigualdad triangular en el triángulo de vértices $P$, $F_1$ y $F_2$, y otro basado en la distancia mínima posible de cualquier punto de la elipse al foco $F_2$.