Razones trigonométricas del ángulo doble

Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:

$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$

Sabiendo que $\cos(x) = 0,6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.

Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.

Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.

Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.

Se considera un ángulo agudo $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ del cual se conoce que $\cos\alpha = 0,8$.

1. a) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, estima razonadamente el signo que tendrá $\cos(2\alpha)$. Para ello, compara $\cos\alpha = 0,8$ con el valor de referencia $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$, deduce si $\alpha$ es mayor o menor que $45^\circ$ y razona en qué cuadrante debe caer el ángulo doble $2\alpha$.
2. b) Selecciona la variante de la fórmula de $\cos(2\alpha)$ que depende únicamente del coseno para calcular su valor numérico exacto en forma decimal. Comprueba si el signo obtenido coincide con tu estimación previa.

Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$

Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:

$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$

Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:

$\frac{2\tan(22,5^\circ)}{1 - \tan^2(22,5^\circ)}$

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:

$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$

Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:

$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:

$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$

Para resolver en el intervalo $[0, 2\pi)$ la ecuación trigonométrica $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$, dos compañeros de clase proponen estrategias distintas:

• Alba propone: «Divido ambos miembros entre $\cos(x)$ para obtener $\frac{\sin(2x)}{\cos(x)} - \sqrt{3} = 0$, sustituyo $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, simplifico el factor $\cos(x)$ y despejo directamente $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$».

• Bruno propone: «Sustituyo primero $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ en la ecuación, saco factor común $\cos(x)$ sin dividir entre ninguna incógnita e igualo cada factor a cero».

1. a) Analiza críticamente el método de Alba: explica qué infracción algebraica comete al dividir entre $\cos(x)$ y qué soluciones concretas del intervalo $[0, 2\pi)$ se pierden si se aplica su procedimiento.
2. b) Desarrolla de forma completa y rigurosa el método de Bruno y escribe todas las soluciones exactas de la ecuación en el intervalo $[0, 2\pi)$ expresadas en radianes.

Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:

$\tan(2x) \cdot \tan(x) = 1$

En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0,4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.

En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.

En el rombo $ABCD$ de la figura, las diagonales miden $AC = 16 \text{ cm}$ y $BD = 12 \text{ cm}$. Sea $\alpha$ la mitad del ángulo interior en el vértice $A$. Calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$ y $\cos(2\alpha)$ para determinar el seno y el coseno del ángulo completo $\widehat{A}$.

Un brazo robótico plano consta de dos eslabones, ambos de longitud $L$. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con el eje horizontal positivo. El segundo eslabón forma un ángulo $2\alpha$ respecto a la horizontal. La coordenada $x$ del efector final $P$ viene dada por la expresión $x_P = L\cos(\alpha) + L\cos(2\alpha)$. Determina el valor exacto del ángulo $\alpha \in [0, \pi/2]$ para el cual el efector final se sitúa exactamente sobre el eje Y ($x_P = 0$).