Ejercicios: Aproximación y errores

Redondea y trunca el número $\frac{17}{6}$ a las milésimas. Calcula el error absoluto en ambas aproximaciones e indica de forma justificada cuál de las dos es más precisa.

Al medir la longitud de una mesa de $1,25$ m, se ha obtenido un valor de $1,28$ m. Por otro lado, al medir la distancia entre dos ciudades de $245$ km, se ha obtenido un valor de $246$ km. Calcula el error relativo en ambas mediciones y determina cuál de las dos es más precisa.

Escribe el número $0,000045602$ en notación científica dejando exactamente tres cifras significativas. A continuación, indica una cota del error absoluto cometido al realizar esta aproximación.

El número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se aproxima frecuentemente en diseño gráfico por el valor $1,618$. Calcula el error absoluto y el error relativo de esta aproximación, utilizando para el valor exacto todas las cifras de tu calculadora. Expresa el error relativo en forma de porcentaje.

Determina el intervalo real en el que se encuentra el valor exacto de una medida $x$ si sabemos que su aproximación es $5,4$ y la cota de error absoluto es $E_a < 0,05$.

Realiza la operación matemática $3,2 \cdot 10^4 + 5,1 \cdot 10^3$ expresando el resultado final en notación científica con el número de cifras significativas adecuado.

Se ha aproximado el número irracional $\pi$ tomando el valor $3,14$. ¿Es una aproximación por defecto o por exceso? Justifica tu respuesta y halla una cota para el error absoluto cometido.

Un termómetro digital marca una temperatura corporal de $37,5^\circ\text{C}$ garantizando un error relativo menor del $0,2\%$. ¿Cuál es el error absoluto máximo que puede estar cometiendo el dispositivo?

En una práctica de laboratorio, Lucía mide la longitud de dos objetos: para el ancho del aula obtiene $L_A = 8{,}40\text{ m}$ con una cota de error absoluto de $2\text{ cm}$, y para el grosor de un libro obtiene $L_B = 3{,}2\text{ cm}$ con una regla cuya cota de error absoluto es de $1\text{ mm}$. Al presentar su informe, Lucía concluye: «La medida del libro es mucho más precisa y de mayor calidad porque nos hemos equivocado a lo sumo en $1\text{ mm}$, mientras que en el aula el error llega a los $2\text{ cm}$». Localiza el error de razonamiento conceptual de Lucía, explica qué magnitud debería haber utilizado para comparar la precisión de medidas tan distintas y calcula los errores relativos porcentuales de ambas para determinar cuál fue realmente más precisa.

Un número real positivo $x$ se aproxima mediante redondeo a las décimas y se obtiene el valor $7{,}4$. Tras consultar el protocolo de medición, se sabe que el error relativo cometido en dicha aproximación es exactamente del $0{,}5\%$.

1. a) A partir de la definición de error relativo, plantea una ecuación con valor absoluto y calcula los dos posibles valores numéricos reales que puede tomar $x$.
2. b) Comprueba de forma razonada si ambos valores obtenidos cumplen estrictamente la regla del redondeo a las décimas dando $7{,}4$.

La masa de un planeta es $5,97 \cdot 10^{24}$ kg y la de su satélite natural es $7,35 \cdot 10^{22}$ kg. Calcula la masa total del sistema planetario en notación científica y determina una cota del error absoluto de la suma, asumiendo que los datos proporcionados ya son aproximaciones redondeadas a la última cifra decimal mostrada.

En un laboratorio de microbiología, se mide el diámetro de una célula resultando ser $0,000015$ m con un error absoluto menor que $10^{-7}$ m. En paralelo, un observatorio astronómico mide la distancia a una estrella cercana como $4,2 \cdot 10^{16}$ m con un error absoluto menor que $10^{14}$ m. ¿Qué medición tiene mayor precisión real? Justifica tu respuesta calculando y comparando el error relativo de ambas.

Se quiere embaldosar una habitación de planta rectangular. Las medidas aproximadas de los lados, tomadas con una cinta métrica, son $a = 4,2$ m y $b = 3,5$ m. Sabiendo que el instrumento introduce un error máximo de $0,05$ m en cada medida, calcula el área nominal de la habitación y determina el intervalo estricto de valores reales en el que se encuentra dicha área.

El presupuesto de licitación para la construcción de un viaducto es de $12,4$ millones de dólares. Si por motivos de fluctuación del precio de los materiales el costo final sufre un error relativo del $3,5\%$, determina entre qué cantidades económicas exactas (en dólares) oscilará el costo final de la obra.

Calcula el valor exacto de la expresión $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ racionalizando el denominador. A continuación, aproxima el resultado a las centésimas y determina una cota del error relativo cometido respecto al valor exacto.

Un antiguo programa informático de cálculo geométrico utiliza la aproximación $\frac{22}{7}$ para el número $\pi$. ¿Cuántas cifras decimales exactas proporciona esta aproximación frente al valor real de $\pi$? Calcula el error relativo porcentual cometido por el software.

La velocidad de la luz en el vacío es una constante física cuyo valor exacto es de $299792458$ m/s. Expresa esta cantidad en notación científica redondeando a cuatro cifras significativas. ¿Cuál es la cota del error absoluto y del error relativo de esta nueva representación abreviada?

Al aproximar un número real $x$ por el valor $3,14$ se comete un error absoluto menor que $0,005$. Al aproximar otro número real $y$ por el valor $2,71$ se comete también un error absoluto menor que $0,005$. Determina el intervalo de error garantizado para la suma $x + y$ y para la diferencia $x - y$.

Para determinar la densidad de una muestra geológica mediante la fórmula $\rho = \frac{m}{V}$, se mide su masa obteniendo $m = 450\text{ g}$, redondeada a las decenas de gramo, y su volumen por inmersión en una probeta, resultando $V = 180\text{ cm}^3$, redondeado también a las decenas de $\text{cm}^3$.

1. a) Antes de realizar cálculos exhaustivos, realiza una estimación a primer orden de la cota superior del error relativo porcentual de la densidad aplicando las propiedades de propagación de errores relativos en un cociente.
2. b) Escribe los intervalos de valores posibles en los que se encuentran la masa real y el volumen real. A partir de ellos, determina el intervalo exacto $[\rho_{\min}, \rho_{\max}]$ para la densidad y halla el error relativo porcentual máximo respecto al valor nominal $\rho_{\text{nom}} = \frac{450}{180} = 2{,}5\text{ g/cm}^3$.
3. c) Compara la estimación inicial del apartado a) con el valor obtenido en el apartado b) y juzga si la regla a primer orden es suficientemente representativa en este caso.

La Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registra las precipitaciones caídas en la cuenca de un embalse cuya superficie se estima en $A = 650\text{ km}^2$, redondeada a las decenas de $\text{km}^2$. Durante un episodio de tormentas, los pluviómetros marcan una precipitación media de $p = 84\text{ mm}$, redondeada a las unidades de milímetro ($1\text{ mm} = 1\text{ L/m}^2 = 10^{-3}\text{ m}^3/\text{m}^2$). El volumen total de agua caída se modeliza como $V = A \cdot p$.

1. a) Expresa la superficie en $\text{m}^2$, la precipitación en $\text{m}$ y calcula el volumen nominal de agua caída en hectómetros cúbicos ($1\text{ hm}^3 = 10^6\text{ m}^3$).
2. b) Determina el intervalo de valores posibles del volumen real de agua $[V_{\min}, V_{\max}]$ en $\text{hm}^3$ atendiendo a las cotas de error por redondeo de las medidas originales.
3. c) Un portavoz de la confederación hidrográfica afirma ante los medios: «Podemos asegurar con certeza matemática que la cuenca ha recibido como mínimo $54\text{ hm}^3$ de agua». Justifica analíticamente si dicha afirmación es verdadera o si existe la posibilidad de que haya entrado un volumen menor.

Se fabrica una pieza esférica de acero macizo para un rodamiento industrial. El calibre digital utilizado indica que el radio es $r = 12,5$ mm, con un margen de error instrumental de $\pm 0,1$ mm. Calcula el volumen nominal de la esfera y demuestra analíticamente cuál es el máximo error absoluto y el máximo error relativo que se propaga al cálculo del volumen.

Una entidad financiera calcula los intereses diarios de una cuenta utilizando redondeo a dos cifras decimales en cada operación diaria, mientras que una segunda entidad guarda internamente todos los decimales y solo redondea a dos cifras el saldo total al final del mes (considera un mes de 30 días). Si el interés diario exacto generado en la cuenta es de $1,234$ dólares, calcula el error absoluto total acumulado que diferencia a ambos métodos al finalizar el mes.

En un proyecto de topografía, se miden los dos catetos de un terreno con forma de triángulo rectángulo, obteniendo $c_1 = 30,0$ m y $c_2 = 40,0$ m. La precisión del instrumento topográfico garantiza un error relativo menor del $1\%$ en cada longitud lineal medida. Determina la longitud nominal de la hipotenusa $h$ y acota el error absoluto y el error relativo máximo que se puede cometer al calcularla indirectamente.

Demuestra algebraicamente que si dos números reales y positivos $x$ e $y$ se aproximan mediante $x_0$ e $y_0$ con un error relativo menor que $\varepsilon$ en ambos casos, entonces el error relativo del producto $x \cdot y$ está acotado aproximadamente por $2\varepsilon$ (puedes despreciar los términos de orden superior a $\varepsilon$, es decir, los términos que contengan $\varepsilon^2$).

La ley de gravitación universal viene dada por la expresión $F = G \frac{m_1 m_2}{d^2}$. Si en un experimento medimos las masas $m_1, m_2$ y la distancia $d$ cometiendo un error relativo máximo del $2\%$ en cada una de las tres magnitudes, y consideramos la constante $G$ como un valor matemático exacto, determina de forma justificada la cota del error relativo máximo que se cometerá al calcular la fuerza $F$.

Se quiere preparar una disolución química en la que la masa del soluto debe ser $m = 15,00$ g y el volumen del disolvente $V = 250$ ml. La balanza del laboratorio tiene una precisión garantizada de $\pm 0,01$ g y la probeta volumétrica tiene un margen de error de $\pm 1$ ml. Calcula la concentración nominal $C = \frac{m}{V}$ expresada en g/ml e indica el intervalo estricto de valores reales entre los que se encuentra dicha concentración.

Aproximamos el valor irracional de $\sqrt{10}$ utilizando la fracción racional $\frac{19}{6}$. Calcula el error absoluto cometido con esta aproximación. A continuación, encuentra una fracción con denominador menor que $20$ que proporcione una aproximación mejor (es decir, con un error absoluto estrictamente menor) y demuestra analíticamente que lo es.

Un algoritmo informático aproxima la función exponencial en valores cercanos a cero mediante el polinomio de Taylor de segundo grado: $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$. Si evaluamos dicho algoritmo en $x = 0,1$, calcula el error absoluto y el error relativo porcentual de esta aproximación comparado con el valor que proporciona la calculadora científica para $e^{0,1}$. ¿Cuántas cifras significativas correctas garantiza esta aproximación polinómica?

Para calcular la resistencia interna $r$ de una batería se utiliza la relación física $r = \frac{V_0 - V_1}{I}$. Se miden la tensión en circuito abierto $V_0 = 12{,}4\text{ V}$, la tensión bajo carga $V_1 = 11{,}9\text{ V}$ y la corriente suministrada $I = 2{,}0\text{ A}$, todas redondeadas a la última cifra mostrada (décimas).

Para estimar la incertidumbre del resultado nominal $r_{\text{nom}} = 0{,}25\ \Omega$, se proponen dos vías de cálculo:

• Método 1 (Aproximación lineal a primer orden): Se calcula la cota de error absoluto del numerador como $\Delta(V_0 - V_1) = \Delta V_0 + \Delta V_1$, y se suma su error relativo con el error relativo del denominador: $\varepsilon_r \approx \frac{\Delta V_0 + \Delta V_1}{V_0 - V_1} + \frac{\Delta I}{I}$.

• Método 2 (Aritmética rigurosa de intervalos): Se evalúan los extremos posibles de la fracción: $r_{\max} = \frac{(V_0)_{\max} - (V_1)_{\min}}{I_{\min}}$ y $r_{\min} = \frac{(V_0)_{\min} - (V_1)_{\max}}{I_{\max}}$.

1. a) Aplica numéricamente ambos métodos y determina la cota de error relativo porcentual que arroja cada uno respecto al valor nominal.
2. b) Compara los dos métodos y argumenta cuál de ellos ofrece una cota estricta y segura, explicando la causa de la discrepancia numérica entre ambos.
3. c) Observa que los voltajes de partida tienen un error relativo menor al $0{,}5\%$, pero el error relativo final de la resistencia supera el $20\%$. Explica qué fenómeno numérico ha provocado este disparo del error al restar magnitudes cercanas.

En un proyecto del sector aeroespacial se diseña un panel solar circular plano. Con incidencia solar perpendicular fija, la potencia eléctrica generada se modeliza mediante $P = k \cdot R^2$, donde $k = 1360\text{ W/m}^2$ es una constante conocida con total exactitud y $R$ es el radio del panel en metros. Se necesita que la potencia nominal sea de $P_{\text{nom}} = 3060\text{ W}$.

1. a) Calcula el radio nominal $R$ necesario para el panel.
2. b) El pliego técnico exige que el error relativo porcentual en la potencia no exceda en ningún caso el $1{,}2\%$. Empleando la cota de propagación a primer orden para potencias ($|n|\varepsilon_R$), determina la tolerancia máxima admisible (cota de error absoluto, en milímetros) que puede concederse al mecanizado del radio $R$.
3. c) Si el radio real es $R(1+\delta)$ con un error relativo positivo $\delta > 0$, demuestra algebraicamente que el error relativo real en la potencia siempre es estrictamente mayor que la aproximación lineal $2\delta$. Con la cota de tolerancia obtenida en el apartado b) (es decir, $\delta = 0{,}6\%$), calcula el error que comete la propia fórmula de primer orden respecto al error relativo real.