Triángulos rectángulos
¿Cómo sabes cuánto mide una torre de la antena en Monserrate sin trepar a la punta, o qué ancho tiene el río Magdalena sin cruzarlo? Con una cinta métrica no alcanza, pero con triángulos rectángulos semejantes sí. En esta página armas las herramientas (los teoremas de la altura y del cateto) y las usas para medir lo que no se puede medir de forma directa.
La altura sobre la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la altura que baja desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa lo parte en dos triángulos rectángulos más pequeños. Los dos tienen los mismos ángulos que el triángulo grande, así que los tres son semejantes. Los segmentos en que queda dividida la hipotenusa se llaman proyecciones de los catetos.
Como el triángulo $AHC$ es semejante al $CHB$, sus lados son proporcionales: $\dfrac{h}{m} = \dfrac{n}{h}$. Multiplicando en cruz queda el teorema de la altura.
En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de…
En un tejado a dos aguas que forma un ángulo recto en su vértice superior, la altura trazada desde dicho vértice divide la base (hipotenusa) en dos segmentos de $2\text{ m}$ y $8\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la altura máxima del tejado.
Las dos cuerdas principales que sujetan el mástil central de una carpa desde la parte superior hasta el suelo forman un ángulo recto entre sí. El mástil mide…
Las dos cuerdas principales que sujetan el mástil central de una carpa desde la parte superior hasta el suelo forman un ángulo recto entre sí. El mástil mide $4\text{ m}$ de altura y una de las cuerdas se ancla a $3,2\text{ m}$ de la base del mástil. ¿A qué distancia de la base se ancla la otra cuerda?
El teorema del cateto
Ahora comparamos el triángulo grande $ABC$ con el $AHC$. Tienen el ángulo recto y comparten el ángulo en $A$, así que son semejantes. La hipotenusa del grande es $m+n$ y la del chico es el cateto $c$. Igualando razones de lados: $\dfrac{m+n}{c} = \dfrac{c}{m}$, de donde sale $c^2 = m\,(m+n)$.
Si sumas las dos fórmulas, $b^2 + c^2 = (m+n)(m+n) = (m+n)^2$. Es el teorema de Pitágoras, que sale solo de la semejanza.
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de…
Una rampa de skate tiene un perfil de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La base horizontal (hipotenusa) mide $10\text{ m}$ y la proyección del tramo de subida sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud del tramo de subida.
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un…
En una estructura metálica con forma de triángulo rectángulo, un pilar vertical (altura sobre la hipotenusa) divide a la viga inferior (hipotenusa) en dos partes. Si un lado inclinado (cateto) mide $5\text{ m}$ y la viga inferior total mide $10\text{ m}$, ¿cuánto mide la proyección de ese lado sobre la viga inferior?
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la…
En una clase de dibujo técnico, un alumno traza un triángulo rectángulo con una hipotenusa de $13\text{ cm}$ y catetos de $5\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. Luego, traza la altura relativa a la hipotenusa. Utiliza el teorema del cateto para calcular cuánto miden las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Reconstruir todo el triángulo
Con tres datos bien elegidos, los dos teoremas permiten conocer los seis elementos del triángulo: $m$, $n$, $h$, los dos catetos y la hipotenusa. Se trata de ir aplicando el teorema que tenga una sola incógnita.
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de…
La fachada de un edificio moderno tiene un ventanal en forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del ventanal respecto a la base es de $4,8\text{ m}$ y la proyección del lado menor sobre la base es de $3,6\text{ m}$. Calcula la longitud de los dos catetos y de la hipotenusa.
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno…
En un museo, un cuadro rectangular está enmarcado por un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa, de manera que la altura sobre la hipotenusa coincide con uno de los lados del cuadro. Si las proyecciones de los catetos sobre la base miden $16\text{ cm}$ y $9\text{ cm}$, y el cuadro ocupa exactamente el rectángulo formado por la altura y la proyección menor, ¿cuál es el área del cuadro?
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a…
En un diseño arquitectónico, el perfil de un techo es un triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide a la hipotenusa en dos segmentos que están en proporción $9:16$. Si la altura mide $6\text{ m}$, calcula el perímetro total del triángulo que forma el techo.
Cuando aparece una ecuación
A veces los datos no dan las proyecciones sino una relación entre ellas ("una es $4$ más que la otra") o entre un cateto y su proyección. Entonces se llama $x$ a una incógnita, se plantea un teorema y queda una ecuación que se resuelve con la fórmula cuadrática.
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro…
Un terreno agrícola tiene forma de triángulo rectángulo. La proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es $4\text{ dam}$ mayor que la proyección del otro cateto. Si la altura relativa a la hipotenusa mide $4,8\text{ dam}$, plantea una ecuación de segundo grado y calcula la longitud total de la hipotenusa.
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los…
El diseño de una vela de windsurf tiene forma de triángulo rectángulo. Se sabe que el borde inferior (hipotenusa) mide $5\text{ m}$ y que el borde de fuga (uno de los catetos) mide $1,2\text{ m}$ más que su proyección sobre la hipotenusa. Determina las dos posibles longitudes que puede tener el borde de fuga utilizando el teorema del cateto.
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos…
Un puente atirantado tiene un pilar principal que forma un ángulo recto con los dos tirantes más largos. La longitud total del tablero entre los anclajes de estos tirantes (hipotenusa) es de $125\text{ m}$. Si uno de los tirantes mide $25\text{ m}$ más que el otro, determina la altura del pilar principal (altura sobre la hipotenusa).
Otra forma de calcular la altura
Si conoces los dos catetos, no hace falta hallar las proyecciones. El área del triángulo se puede calcular de dos maneras: con los catetos como base y altura, y con la hipotenusa $a$ como base y $h$ como altura:
$$\frac{b \cdot c}{2} = \frac{a \cdot h}{2} \quad\Rightarrow\quad h = \frac{b \cdot c}{a}$$Este resultado, junto con los teoremas anteriores, permite demostrar relaciones entre los lados. Por ejemplo, de $h = \dfrac{bc}{a}$ sale $h^2 = \dfrac{b^2c^2}{a^2}$, y como $a^2 = b^2 + c^2$:
$$\frac{1}{h^2} = \frac{a^2}{b^2c^2} = \frac{b^2 + c^2}{b^2c^2} = \frac{1}{c^2} + \frac{1}{b^2}$$Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una…
Un diseñador industrial crea una pieza plana en forma de triángulo rectángulo cuyos catetos miden $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. Para reforzar la pieza, coloca una varilla recta perpendicular a la hipotenusa que pasa por el vértice del ángulo recto (es decir, la altura). A su vez, desde el pie de esta altura traza otra varilla perpendicular al cateto mayor. ¿Cuánto mide esta última varilla?
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los…
Demuestra que en cualquier triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos ($\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}$). Posteriormente, verifica esta relación calculando la altura de ambas formas en un triángulo de catetos $10\text{ cm}$ y $24\text{ cm}$.
¿Cuándo dos triángulos rectángulos son semejantes?
Dos triángulos rectángulos ya tienen un ángulo igual: el recto. Por eso alcanza con que se cumpla una de estas condiciones:
-
los dos catetos de uno son proporcionales a los dos catetos del otro;
-
la hipotenusa y un cateto de uno son proporcionales a los del otro;
-
tienen un ángulo agudo igual.
Si la razón de semejanza es $k$, las longitudes se multiplican por $k$, las áreas por $k^2$ y los volúmenes por $k^3$.
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de…
Un carpintero corta dos cuñas de madera en forma de triángulo rectángulo. La primera tiene catetos de $15\text{ cm}$ y $20\text{ cm}$. La segunda tiene una hipotenusa de $50\text{ cm}$ y un cateto de $30\text{ cm}$. Comprueba matemáticamente si ambas cuñas son semejantes.
Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el…
Dos señales de tráfico con forma de triángulo rectángulo son semejantes. El cateto menor de la señal pequeña mide $30\text{ cm}$ y su área es de $600\text{ cm}^2$. Si el cateto menor de la señal grande mide $60\text{ cm}$, ¿cuál es el área de la señal grande?
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal…
Una pirámide recta de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base a un tercio de su altura (midiendo desde el vértice). Si el área de la sección transversal obtenida es de $15\text{ cm}^2$, ¿cuál es el volumen de la pirámide original si su altura total es de $18\text{ cm}$?
El método del espejo
Para medir algo muy alto puedes apoyar un espejo en el piso. La luz se refleja con el mismo ángulo con que llega, así que el rayo que une tus ojos con el espejo y el que sube hasta lo alto del objeto forman dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual. Son semejantes.
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el…
Para medir la altura de un aerogenerador, una ingeniera coloca un espejo plano en el suelo a $12\text{ m}$ de la base de la torre. Ella retrocede $1,5\text{ m}$ desde el espejo hasta que ve el punto más alto del aerogenerador reflejado exactamente en el centro del espejo. Si los ojos de la ingeniera están a $1,6\text{ m}$ del suelo, calcula la altura del aerogenerador.
Triángulos escondidos: billar y cuadrado inscrito
Muchas figuras esconden dos triángulos rectángulos con un ángulo igual. Una vez que los encuentras, el problema se resuelve con una proporción.
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la…
En una mesa de billar, una bola debe golpear la banda y rebotar hacia un agujero, formando dos triángulos rectángulos semejantes. La bola está a $20\text{ cm}$ de la banda y el agujero a $60\text{ cm}$ de la misma banda. Si la distancia horizontal paralela a la banda entre la bola y el agujero es de $100\text{ cm}$, ¿a qué distancia horizontal desde la posición inicial de la bola debe producirse el impacto en la banda?
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del…
En una pieza de joyería, se inscribe un cuadrado de lado $x$ dentro de un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ mm}$ y $8\text{ mm}$, de modo que el vértice del ángulo recto del triángulo coincide con un vértice del cuadrado y el vértice opuesto del cuadrado descansa sobre la hipotenusa. Calcula el valor de $x$ utilizando semejanza de triángulos.
Pliegues y cables cruzados
Hay problemas que parecen de otro tema y se resuelven con semejanza. Dos ejemplos clásicos: doblar una hoja y tender dos cables.
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea…
Una hoja de papel rectangular de $8\text{ cm}$ de ancho y $15\text{ cm}$ de largo se dobla de modo que dos vértices opuestos coinciden. El pliegue formado es una línea recta. Calcula la longitud de dicho pliegue basándote en la semejanza de triángulos rectángulos que se forman.
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se…
En un estudio de estática, dos postes verticales de alturas $a = 120\text{ cm}$ y $b = 80\text{ cm}$ están separados una distancia $d$. Desde la base de cada poste se tira un cable tenso hasta la cima del otro poste. Los cables se cruzan a una altura $h$. Demuestra mediante semejanza de triángulos que la altura $h$ a la que se cruzan no depende de la distancia $d$ y calcula su valor.
Medir el ancho de un río: el método del jalón
Para medir el ancho de un río sin cruzarlo, se arman dos triángulos rectángulos semejantes desde una sola orilla: uno grande, que llega hasta un árbol de la otra orilla, y uno chico que sí se puede medir entero.
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la…
Un topógrafo quiere calcular la anchura de un río. Para ello, se sitúa en una orilla y observa un árbol en la orilla opuesta. Camina $30\text{ m}$ a lo largo de la orilla (perpendicularmente a la visual inicial) y coloca un jalón. Luego camina otros $6\text{ m}$ en la misma dirección, gira $90^\circ$ alejándose del río y camina $4\text{ m}$ hasta que ve el jalón alineado con el árbol. ¿Cuál es la anchura del río?
Volvamos al principio: para medir una torre basta con un espejo en el piso y una cinta métrica para las distancias horizontales, y para un río alcanza con un jalón y dos triángulos semejantes.