Media y varianza
Valentina y Santiago tienen la misma nota definitiva en Matemáticas: un $3{,}8$. Valentina saca siempre notas parecidas; Santiago alterna cincos con notas que lo hacen perder la materia. La media sola no distingue estas dos situaciones: hace falta otra medida que diga cuánto se alejan los datos de ella, y entender qué le pasa a la media cuando los datos cambian.
Media aritmética con frecuencias
La moda es el valor que más se repite y la mediana es el valor central de los datos ordenados. La media es el "punto de equilibrio" de todos los datos. Si hay valores muy extremos, la media se mueve hacia ellos y la mediana casi no.
Las tres medidas se diferencian según cómo se distribuyen los datos: en una distribución simétrica coinciden o quedan muy cerca; si es asimétrica o hay valores extremos, la media se aleja de la mediana y de la moda. Cuando los datos están muy dispersos, la media sola representa peor al grupo.
Dada la siguiente lista de datos numéricos: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución.
Dada la siguiente lista de datos numéricos: $4, 6, 8, 10, 12$. Calcula la media aritmética y la varianza de la distribución.
Se ha preguntado a un grupo de personas por el número de veces que van al cine al mes. Los resultados muestran que $3$ personas van $1$ vez, $5$ personas van $2$ veces y…
Se ha preguntado a un grupo de personas por el número de veces que van al cine al mes. Los resultados muestran que $3$ personas van $1$ vez, $5$ personas van $2$ veces y $2$ personas van $3$ veces. Calcula la media de esta distribución.
Se ha realizado una encuesta a $40$ familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, obteniendo los siguientes resultados: $10$ familias no tienen mascotas, $15$…
Se ha realizado una encuesta a $40$ familias sobre el número de mascotas que tienen en casa, obteniendo los siguientes resultados: $10$ familias no tienen mascotas, $15$ familias tienen $1$ mascota, $10$ familias tienen $2$ mascotas, y $5$ familias tienen $3$ mascotas. Organiza los datos en una tabla y calcula la media, la varianza y la desviación típica.
Datos agrupados y gráficos
Cuando los datos vienen en intervalos, reemplazas cada intervalo por su marca de clase y calculas como siempre. Por ejemplo, para $[0, 10)$ la marca es $5$; para $[10, 20)$ es $15$. Si el dato está en un histograma, primero lees las frecuencias de cada barra. Si está en un gráfico circular, la frecuencia de cada sector es $N \cdot \dfrac{\text{ángulo}}{360^\circ}$. Con el resultado se arma la tabla.
El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, calcula la media de hermanos por alumno. Puedes…
El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase. A partir del gráfico, calcula la media de hermanos por alumno.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
El siguiente histograma muestra el tiempo en minutos que dedican al día varios jóvenes a leer. A partir del gráfico, extrae la tabla de frecuencias (utilizando las…
El siguiente histograma muestra el tiempo en minutos que dedican al día varios jóvenes a leer. A partir del gráfico, extrae la tabla de frecuencias (utilizando las marcas de clase) y calcula el tiempo medio de lectura.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un estudio sobre el consumo de agua diario (en litros) de cierta población, los datos se agrupan en tres intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$ y $[20, 30)$. Se sabe que…
En un estudio sobre el consumo de agua diario (en litros) de cierta población, los datos se agrupan en tres intervalos: $[0, 10)$, $[10, 20)$ y $[20, 30)$. Se sabe que las frecuencias absolutas de los dos primeros intervalos son $5$ y $f$ respectivamente, y la del tercer intervalo es $3$. Si el consumo medio aproximado es de $13,75$ litros, plantea una ecuación y halla la frecuencia $f$ desconocida.
Propiedades de la media
Las notas obtenidas por cinco alumnos en un examen de matemáticas son $5, 7, 6, 8$ y $9$. Calcula la nota media y la desviación típica.
Las notas obtenidas por cinco alumnos en un examen de matemáticas son $5, 7, 6, 8$ y $9$. Calcula la nota media y la desviación típica.
En una semana, las temperaturas máximas registradas de lunes a jueves fueron $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC y $24$ ºC. Sabiendo que la temperatura media de esos cuatro días…
En una semana, las temperaturas máximas registradas de lunes a jueves fueron $20$ ºC, $22$ ºC, $x$ ºC y $24$ ºC. Sabiendo que la temperatura media de esos cuatro días fue de $22$ ºC, halla el valor desconocido de $x$.
La media de las edades de un grupo de $15$ amigos es actualmente de $16$ años. ¿Cuál será la media de sus edades dentro de $4$ años? Justifica tu respuesta aplicando las…
La media de las edades de un grupo de $15$ amigos es actualmente de $16$ años. ¿Cuál será la media de sus edades dentro de $4$ años? Justifica tu respuesta aplicando las propiedades de la media aritmética.
En un test rápido de $3$ preguntas, se ha registrado el número de aciertos de un grupo de personas. Se sabe que $4$ personas tuvieron $0$ aciertos, $x$ personas tuvieron…
En un test rápido de $3$ preguntas, se ha registrado el número de aciertos de un grupo de personas. Se sabe que $4$ personas tuvieron $0$ aciertos, $x$ personas tuvieron $1$ acierto, $5$ personas tuvieron $2$ aciertos y $1$ persona tuvo $3$ aciertos. Si la media de aciertos del grupo es de $1,2$, determina cuántas personas tuvieron exactamente $1$ acierto.
Un profesor calculó que la nota media de sus $20$ alumnos en un examen era de $6,5$. Sin embargo, al revisar las correcciones, se dio cuenta de que anotó por error un…
Un profesor calculó que la nota media de sus $20$ alumnos en un examen era de $6,5$. Sin embargo, al revisar las correcciones, se dio cuenta de que anotó por error un $3$ a un alumno que en realidad había sacado un $8$. Calcula cuál es la nota media correcta sin necesidad de volver a sumar todas las notas individualmente.
Dados los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, demuestra algebraicamente que la suma de sus desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Es decir,…
Dados los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, demuestra algebraicamente que la suma de sus desviaciones respecto a la media aritmética siempre es igual a cero. Es decir, demuestra paso a paso que $\sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x}) = 0$.
Varianza y desviación estándar
Coeficiente de variación
Para comparar la dispersión de variables con unidades distintas (peso en kg, altura en cm) se usa
$$CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\cdot 100\,\%$$Un $CV$ mayor significa más dispersión relativa. Ciclistas: $\frac{7}{70}=10\,\%$; gimnastas: $\frac{6}{50}=12\,\%$. Los gimnastas son relativamente más dispersos aunque su $\sigma$ sea menor.
En un estudio estadístico con $N = 10$ datos, se sabe que la suma de todos los datos es $\sum x_i = 50$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la…
En un estudio estadístico con $N = 10$ datos, se sabe que la suma de todos los datos es $\sum x_i = 50$ y la suma de sus cuadrados es $\sum x_i^2 = 300$. Calcula la varianza de la distribución.
Un grupo de atletas tiene un peso medio de $70$ kg con una desviación típica de $7$ kg. Otro grupo de gimnastas tiene un peso medio de $50$ kg con una desviación típica…
Un grupo de atletas tiene un peso medio de $70$ kg con una desviación típica de $7$ kg. Otro grupo de gimnastas tiene un peso medio de $50$ kg con una desviación típica de $6$ kg. Calcula el coeficiente de variación de ambos grupos e indica cuál de los dos tiene un peso más disperso en términos relativos.
El tiempo (en minutos) que tardan $50$ estudiantes en llegar al colegio desde sus casas se agrupa en la siguiente tabla de frecuencias: $[0, 10)$: $10$ estudiantes…
El tiempo (en minutos) que tardan $50$ estudiantes en llegar al colegio desde sus casas se agrupa en la siguiente tabla de frecuencias:
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$[0, 10)$: $10$ estudiantes
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$[10, 20)$: $25$ estudiantes
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$[20, 30)$: $15$ estudiantes
Calcula el tiempo promedio que tardan en llegar al colegio y la desviación estándar de la distribución.
Para comparar la dispersión de dos variables distintas en un mismo grupo de personas, se midió el peso y la altura. El peso medio es de $65$ kg con una desviación típica…
Para comparar la dispersión de dos variables distintas en un mismo grupo de personas, se midió el peso y la altura. El peso medio es de $65$ kg con una desviación típica de $5$ kg. La altura media es de $170$ cm con una desviación típica de $10$ cm. ¿Qué variable presenta mayor dispersión relativa? Justifica tu respuesta.
La media aritmética de dos números positivos desconocidos es $5$ y su varianza es $4$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las fórmulas de la media y la…
La media aritmética de dos números positivos desconocidos es $5$ y su varianza es $4$. Plantea un sistema de ecuaciones utilizando las fórmulas de la media y la varianza, y determina cuáles son esos dos números.
Las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en un trabajo son proporcionales a su esfuerzo y vienen dadas por las expresiones $a$, $2a$ y $3a$ (donde $a > 0$).…
Las calificaciones obtenidas por tres estudiantes en un trabajo son proporcionales a su esfuerzo y vienen dadas por las expresiones $a$, $2a$ y $3a$ (donde $a > 0$). Sabiendo que la desviación típica de estas tres notas es exactamente $\sqrt{\frac{2}{3}}$, calcula el valor del parámetro $a$ y la media de las calificaciones.
En una pequeña empresa de $5$ trabajadores, $4$ de ellos cobran exactamente $4\,000\,000$ pesos al mes, mientras que el gerente cobra $24\,000\,000$ pesos. Calcula la…
En una pequeña empresa de $5$ trabajadores, $4$ de ellos cobran exactamente $4\,000\,000$ pesos al mes, mientras que el gerente cobra $24\,000\,000$ pesos. Calcula la media y la desviación típica de los $5$ sueldos. A la vista de los resultados numéricos obtenidos, explica razonadamente si la media aritmética es una medida representativa para este conjunto de datos.
El siguiente diagrama circular representa los resultados de una encuesta realizada a $40$ personas sobre el número de veces que hacen deporte a la semana (variable…
El siguiente diagrama circular representa los resultados de una encuesta realizada a $40$ personas sobre el número de veces que hacen deporte a la semana (variable $x_i$). Sabiendo que el círculo completo equivale a $360^\circ$ y observando la amplitud de cada sector, deduce las frecuencias absolutas de cada valor y calcula la varianza de la distribución.
La varianza ante cambios lineales
Los salarios mensuales de los trabajadores de una pequeña empresa tienen una media de $4\,800\,000$ pesos y una desviación típica de $600\,000$ pesos. Para el próximo…
Los salarios mensuales de los trabajadores de una pequeña empresa tienen una media de $4\,800\,000$ pesos y una desviación típica de $600\,000$ pesos. Para el próximo año, la dirección decide aplicar un aumento del $10\%$ a todos los sueldos y, además, añadir un plus fijo de $200\,000$ pesos. Calcula la nueva media y la nueva desviación típica de los salarios.
La temperatura máxima diaria en una ciudad durante un mes tiene una media de $25$ ºC y una desviación típica de $2$ ºC. Si convertimos estas temperaturas a grados…
La temperatura máxima diaria en una ciudad durante un mes tiene una media de $25$ ºC y una desviación típica de $2$ ºC. Si convertimos estas temperaturas a grados Fahrenheit mediante la fórmula $F = 1,8 \cdot C + 32$, calcula el coeficiente de variación en grados Fahrenheit y compáralo numéricamente con el coeficiente de variación original en grados Celsius. ¿Cambia la dispersión relativa al cambiar de escala?
Media y varianza de dos grupos reunidos
En un colegio, el grupo 4°A tiene $20$ estudiantes con una nota promedio en Matemáticas de $6$. El grupo 4°B tiene $30$ estudiantes con una nota promedio de $7$. Si…
En un colegio, el grupo 4°A tiene $20$ estudiantes con una nota promedio en Matemáticas de $6$. El grupo 4°B tiene $30$ estudiantes con una nota promedio de $7$. Si calculamos la nota de todos los estudiantes de ambos grupos en conjunto, ¿cuál será la nota promedio global?
Un grupo de $10$ chicos tiene una altura media de $160$ cm y una varianza de $20$ cm$^2$. Un grupo de $10$ chicas tiene una altura media de $150$ cm y una varianza de…
Un grupo de $10$ chicos tiene una altura media de $160$ cm y una varianza de $20$ cm$^2$. Un grupo de $10$ chicas tiene una altura media de $150$ cm y una varianza de $15$ cm$^2$. Calcula la varianza conjunta de los $20$ estudiantes. (Pista: calcula primero la media global y luego la suma de los cuadrados total empleando las fórmulas de la varianza de cada grupo).
Vuelve al principio: Valentina y Santiago tienen ambos media $3{,}8$, pero la varianza de Valentina es cercana a $0$ (notas muy agrupadas) y la de Santiago es alta (grandes distancias al cuadrado respecto de la media). La desviación estándar $\sigma$ permite medir y comparar esa regularidad.