Factorización y regla de Ruffini
Una cooperativa cafetera del Eje Cafetero modela su producción con el polinomio $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$. Escrito así, se ve de un vistazo cuándo vale cero: cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Pero si te lo dan desarrollado, esa información queda escondida. ¿Cómo se recupera? Factorizando, y una herramienta central para hacerlo es la regla de Ruffini (división sintética).
Factor común y productos notables
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de menor grado. Estos son los casos de factorización que debes conocer. Siempre se empieza igual: la factorización por factor común (el m.c.d. de los coeficientes y, de cada letra, el menor exponente con el que aparece). Después, si lo que queda es un producto notable (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados), se reconoce y se factoriza.
Otros casos de factorización
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):…
Factoriza los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con…
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos,…
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.
Regla de Ruffini
Para polinomios de grado 3 o más, el factor común y los productos notables no suelen alcanzar. La regla de Ruffini divide $P(x)$ entre $(x-a)$ trabajando solo con los coeficientes: da el cociente (un grado menos) y el resto.
Dividir entre un binomio como $(2x-3)$
Ruffini funciona con divisores de la forma $(x-a)$, con coeficiente principal $1$. Si el divisor es $(2x-3)$, sacas factor común el $2$: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$. Entonces divides entre $\left(x-\frac32\right)$ con Ruffini y después corriges el cociente.
Si $P(x)=\left(x-\frac32\right)\cdot C(x)+R$, entonces $P(x)=(2x-3)\cdot\dfrac{C(x)}{2}+R$. Es decir: el cociente de Ruffini se divide por $2$ (el coeficiente de $x$ en el divisor) y el resto no cambia.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indica claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el residuo de la división.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utiliza la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Puedes utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.
Teorema del resto y teorema del factor
Antes de armar la tabla de Ruffini con un candidato, conviene saber si vale la pena. Para eso sirve el teorema del resto (se usa sin demostrar).
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$.
Candidatos a raíz: dónde buscar
Probar números al azar no es un buen método. El teorema de Gauss dice dónde buscar.
Los candidatos no son garantía: hay que probarlos con $P(a)$ o con Ruffini. El método es: listar candidatos, probar hasta encontrar una raíz, dividir para bajar el grado y repetir con el cociente.
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio…
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el vagón se encuentra a ras de suelo ($H(t) = 0$).
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del residuo o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una…
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprueba mediante el teorema del residuo o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factoriza el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra…
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el…
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar completamente es repetir factor común, productos notables y Ruffini hasta que los factores sean de grado $1$ o de grado $2$ sin raíces reales. Si una raíz aparece más de una vez, es múltiple.
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son…
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma…
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir,…
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Expresa el polinomio final de forma desarrollada.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la…
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.
Vuelve al principio: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ se anula en $0$, $-5$ y $4$ porque está factorizado; para un polinomio desarrollado, Gauss y Ruffini te llevan a esa misma forma.