Eventos simples
Antes de un partido del Nacional, alguien dice: «Tenemos 50 % de probabilidad de ganar». Otro avisa que hay 70 % de probabilidad de lluvia para el sábado en Bogotá. ¿Cómo se calculan esos números? Todo arranca igual: describir bien el experimento y contar bien sus resultados. Al final de la página vamos a usar esto para entender el sorteo de una rifa de balotas.
Experimento aleatorio y espacio muestral
Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$.
Escribe el espacio muestral asociado al experimento aleatorio consistente en extraer una bola de una urna que contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$.
En el experimento de lanzar un dado de $6$ caras, clasifica los siguientes eventos en elementales, compuestos, seguros o imposibles: $A = $ "sacar un $4$" $B = $ "sacar…
En el experimento de lanzar un dado de $6$ caras, clasifica los siguientes eventos en elementales, compuestos, seguros o imposibles:
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$A = $ "sacar un $4$"
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$B = $ "sacar un número mayor que $6$"
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$C = $ "sacar un número par"
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$D = $ "sacar un número menor que $10$"
Se lanzan al aire tres monedas equilibradas simultáneamente. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Se lanzan al aire tres monedas equilibradas simultáneamente. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Tipos de eventos
| Evento | Significado |
|---|---|
| Seguro | $A=\Omega$: ocurre siempre, $P(A)=1$ |
| Imposible | $A=\emptyset$: no ocurre nunca, $P(A)=0$ |
| Elemental | un único resultado |
| Compuesto | varios resultados a la vez |
Dos eventos pueden ser incompatibles (mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir a la vez, $A\cap B=\emptyset$) o compatibles (tienen algún resultado en común). Con un dado, «sale par» y «sale impar» son incompatibles; «sale par» y «sale mayor que 3» son compatibles (el 4 y el 6 cumplen ambos).
Hay otra idea distinta: dos eventos son independientes si saber que ocurrió uno no cambia la probabilidad del otro, y se cumple $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Por ejemplo, el resultado de tirar una moneda y el de tirar un dado son independientes. No es lo mismo que incompatibles: si $A$ y $B$ son incompatibles y ambos posibles, saber que ocurrió $A$ te asegura que $B$ no ocurrió, así que se influyen. La independencia se estudia en detalle en PROB-IND.
Se lanza un dado cúbico equilibrado con las caras numeradas del $1$ al $6$. Determina los elementos que forman el evento contrario a "sacar un número menor que $3$" y…
Se lanza un dado cúbico equilibrado con las caras numeradas del $1$ al $6$. Determina los elementos que forman el evento contrario a "sacar un número menor que $3$" y calcula su probabilidad.
Considera el experimento de extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas. Indica si los eventos $A = $ "sacar una figura" y $B = $ "sacar un oro" son…
Considera el experimento de extraer una carta de una baraja española de $40$ cartas. Indica si los eventos $A = $ "sacar una figura" y $B = $ "sacar un oro" son compatibles o incompatibles. Justifica tu respuesta.
Probabilidad clásica y evento complementario
Dos dados: tabla de casos
Cuando se lanzan dos dados, los resultados son parejas ordenadas y hay $6\cdot 6=36$ casos posibles, todos equiprobables. Una tabla de doble entrada ayuda a contar los favorables.
Frecuencia relativa
Si no se pueden contar casos equiprobables, se repite el experimento y se usa la frecuencia relativa: $\dfrac{\text{veces que ocurre el evento}}{\text{veces que se repite}}$. Cuantas más repeticiones, más se acerca a la probabilidad del modelo.
Plantear una ecuación
Si la probabilidad es conocida y falta un dato, se plantea $\dfrac{\text{favorables}}{\text{posibles}}=P$ y se despeja.
Resultados que no son equiprobables
Si las probabilidades no son iguales, se llama $p$ a una de ellas, se expresan las demás en función de $p$ y se usa que todas suman $1$.
Laplace sirve también cuando contar es más cómodo con el contrario («al menos un 7» es todo menos «ningún 7») o cuando los resultados son áreas de una figura: la probabilidad es la parte de la superficie que corresponde al evento. Por ejemplo, en una diana de radios $10$ cm y $20$ cm, la probabilidad de caer en el círculo pequeño es $\dfrac{\pi\cdot 10^2}{\pi\cdot 20^2}=\dfrac14$.
En una caja de herramientas hay $12$ tornillos, $8$ tuercas y $5$ clavos. Si se extrae una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea una tuerca.
En una caja de herramientas hay $12$ tornillos, $8$ tuercas y $5$ clavos. Si se extrae una pieza al azar, calcula la probabilidad de que sea una tuerca.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de obtener un caballo.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Calcula la probabilidad de obtener un caballo.
Una ruleta de feria está dividida en $8$ sectores circulares iguales, numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que, al girarla, la flecha se detenga en un…
Una ruleta de feria está dividida en $8$ sectores circulares iguales, numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que, al girarla, la flecha se detenga en un número múltiplo de $3$.
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados y se anota la suma de las puntuaciones obtenidas en las caras superiores. Calcula la probabilidad de que la suma…
Se lanzan simultáneamente dos dados cúbicos equilibrados y se anota la suma de las puntuaciones obtenidas en las caras superiores. Calcula la probabilidad de que la suma sea exactamente $8$.
En una fábrica de componentes electrónicos, un control de calidad inspecciona un lote de $500$ piezas. Tras la revisión, se han encontrado $15$ piezas defectuosas. Si un…
En una fábrica de componentes electrónicos, un control de calidad inspecciona un lote de $500$ piezas. Tras la revisión, se han encontrado $15$ piezas defectuosas. Si un cliente elige una pieza al azar de ese lote, ¿cuál es la probabilidad de que funcione correctamente?
Un jugador de baloncesto ha lanzado $80$ tiros libres durante la temporada, encestando $64$ de ellos. Utilizando la frecuencia relativa como estimación de la…
Un jugador de baloncesto ha lanzado $80$ tiros libres durante la temporada, encestando $64$ de ellos. Utilizando la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que falle su próximo tiro libre?
En un refugio de animales, el $40\%$ de los perros son de tamaño grande, el $35\%$ son de tamaño mediano y el resto son de tamaño pequeño. Si se selecciona un perro al…
En un refugio de animales, el $40\%$ de los perros son de tamaño grande, el $35\%$ son de tamaño mediano y el resto son de tamaño pequeño. Si se selecciona un perro al azar para un paseo, calcula la probabilidad de que no sea de tamaño mediano.
En una urna hay $x$ bolas rojas y $6$ bolas blancas. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola roja al azar es $\frac{2}{5}$, plantea una ecuación y determina…
En una urna hay $x$ bolas rojas y $6$ bolas blancas. Si se sabe que la probabilidad de extraer una bola roja al azar es $\frac{2}{5}$, plantea una ecuación y determina el número total de bolas que hay en la urna.
Una diana circular está formada por tres círculos concéntricos de radios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ y $30\text{ cm}$. Si un dardo impacta al azar en cualquier punto…
Una diana circular está formada por tres círculos concéntricos de radios $10\text{ cm}$, $20\text{ cm}$ y $30\text{ cm}$. Si un dardo impacta al azar en cualquier punto de la diana (garantizando que siempre acierta dentro del círculo mayor), calcula la probabilidad de que caiga en la corona circular intermedia (la zona comprendida entre el radio de $10\text{ cm}$ y el de $20\text{ cm}$).
Para acceder a una caja fuerte, se debe introducir un código numérico de $3$ cifras (desde el $000$ hasta el $999$). Un ladrón, que no conoce la clave, prueba un número…
Para acceder a una caja fuerte, se debe introducir un código numérico de $3$ cifras (desde el $000$ hasta el $999$). Un ladrón, que no conoce la clave, prueba un número al azar. Calcula la probabilidad de que el código introducido tenga las tres cifras idénticas.
En un sorteo se extrae una bola de un bombo que contiene $100$ bolas numeradas del $1$ al $100$. Calcula la probabilidad de que el número de la bola extraída contenga al…
En un sorteo se extrae una bola de un bombo que contiene $100$ bolas numeradas del $1$ al $100$. Calcula la probabilidad de que el número de la bola extraída contenga al menos un dígito $7$.
Un dado de seis caras está trucado de forma que la probabilidad de que salga una cara par es el doble de la probabilidad de que salga una cara impar. Sabiendo que todas…
Un dado de seis caras está trucado de forma que la probabilidad de que salga una cara par es el doble de la probabilidad de que salga una cara impar. Sabiendo que todas las caras pares tienen la misma probabilidad entre sí, y lo mismo ocurre con las caras impares, calcula la probabilidad exacta de sacar un $6$.
Probabilidad de la unión
Antes de calcular probabilidades, hay que saber operar con eventos como conjuntos. La unión $A\cup B$ reúne los resultados que están en $A$ o en $B$ (o en ambos). La intersección $A\cap B$ reúne solo los resultados que están en los dos a la vez.
El ejemplo siguiente usa solo lo que está explicado en esta sección.
Dado el espacio muestral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ y los eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determina los elementos que forman los eventos…
Dado el espacio muestral $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ y los eventos $A = \{2, 4, 6, 8\}$ y $B = \{1, 2, 3, 4\}$, determina los elementos que forman los eventos $A \cup B$ y $A \cap B$.
Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un evento $A$ es $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilidad de que ocurra un evento $B$ es $P(B) = \frac{3}{10}$ y la probabilidad…
Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un evento $A$ es $P(A) = \frac{9}{20}$, la probabilidad de que ocurra un evento $B$ es $P(B) = \frac{3}{10}$ y la probabilidad de que ocurran ambos a la vez es $P(A \cap B) = \frac{1}{10}$, calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos eventos.
Se introducen en una urna fichas con cada una de las letras de la palabra $ESPECTACULO$. Si se extrae una ficha al azar, calcula la probabilidad de que la letra extraída…
Se introducen en una urna fichas con cada una de las letras de la palabra $ESPECTACULO$. Si se extrae una ficha al azar, calcula la probabilidad de que la letra extraída sea una vocal o la letra $C$.
En una clase de $30$ alumnos, $18$ practican natación, $15$ practican tenis y $5$ no practican ninguno de los dos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcula la…
En una clase de $30$ alumnos, $18$ practican natación, $15$ practican tenis y $5$ no practican ninguno de los dos deportes. Si se elige un alumno al azar, calcula la probabilidad de que practique ambos deportes simultáneamente.
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando las propiedades de…
Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{3}$ y $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$. Utilizando las propiedades de la probabilidad, calcula la probabilidad del evento contrario de la intersección, es decir, $P(\overline{A \cap B})$.
Una encuesta realizada a $200$ clientes de una cafetería revela que $120$ toman café, $90$ toman tostadas y $40$ no toman ninguna de las dos cosas. Si se elige un…
Una encuesta realizada a $200$ clientes de una cafetería revela que $120$ toman café, $90$ toman tostadas y $40$ no toman ninguna de las dos cosas. Si se elige un cliente al azar, calcula la probabilidad de que el cliente tome café pero NO tome tostadas.
Se dispone de dos eventos $A$ y $B$ incompatibles de un mismo experimento aleatorio. Sabiendo que la probabilidad de que no ocurra $A$ es $P(\overline{A}) = 0,7$ y la…
Se dispone de dos eventos $A$ y $B$ incompatibles de un mismo experimento aleatorio. Sabiendo que la probabilidad de que no ocurra $A$ es $P(\overline{A}) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos es $P(A \cup B) = 0,8$, calcula la probabilidad de que ocurra el evento $B$.
Vuelve al principio: en una bolsa con $100$ balotas numeradas del $1$ al $100$, la probabilidad de que salga un número par es $\dfrac{50}{100}=\dfrac12$ y la de que no salga es $1-\dfrac12=\dfrac12$. Con la probabilidad clásica, el complemento y la unión, cualquier probabilidad se reduce a contar bien los casos.