Representación de funciones
Valentina pide un taxi por aplicación en Bogotá y ve en pantalla la tarifa: un banderazo y una cantidad fija por kilómetro. Esa misma información se puede dar como una fórmula, como una tabla o como una gráfica. Son tres representaciones de la misma función, y saber pasar de una a otra es tan importante como calcular con la fórmula. Al final de la página verás cuántos datos necesitas para reconstruir una función a partir de su gráfica.
De la tabla a la gráfica
Antes de tabular hay que saber dónde existe la función. Eso se llama su dominio: los valores de $x$ para los que se puede calcular $f(x)$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical…
El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.
Funciones lineales
Un taxista cobra un banderazo de $12\,000$ pesos y $6\,000$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del…
Un taxista cobra un banderazo de $12\,000$ pesos y $6\,000$ pesos por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con los kilómetros recorridos.
Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su intercepto con el eje Y y su expresión algebraica.
Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su intercepto con el eje Y y su expresión algebraica.
Parábolas y polinomiales
Traslaciones de la parábola
La parábola $y=(x-h)^2+k$ es la parábola base $y=x^2$ desplazada $h$ unidades a la derecha y $k$ hacia arriba (si son negativos, a la izquierda o hacia abajo). Su vértice es $(h, k)$ y el vector de traslación es $(h; k)$.
El parámetro $a$ en $y=a(x-h)^2+k$ cambia la forma: si $|a|>1$ la parábola se estira verticalmente (más cerrada); si $0<|a|<1$ se comprime (más abierta); si $a<0$ se refleja y abre hacia abajo. Por ejemplo, $y=3x^2$ es más cerrada que $y=x^2$, y $y=-\dfrac{1}{2}x^2$ es más abierta y abre hacia abajo.
Polinomiales de grado 3
Con un polinomio de grado mayor ya no hay una fórmula única del vértice. Se usa una tabla de valores o un programa como GeoGebra.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica…
A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.
Optimizar con el vértice
Cuando una situación se modela con una cuadrática, el vértice responde la pregunta «¿cuánto conviene hacer para ganar lo máximo (o gastar lo mínimo)?».
El beneficio de la venta de camisetas de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -8\,000x^2 + 480\,000x - 4\,000\,000$, donde $x$ es el…
El beneficio de la venta de camisetas de la fiesta de fin de año, en pesos, viene dado por la función $B(x) = -8\,000x^2 + 480\,000x - 4\,000\,000$, donde $x$ es el número de camisetas vendidas en cientos. ¿Cuántas camisetas deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe…
Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?
Funciones racionales (proporcionalidad inversa)
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.
El alquiler de un bus para una excursión escolar cuesta $2\,400\,000$ pesos. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos…
El alquiler de un bus para una excursión escolar cuesta $2\,400\,000$ pesos. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se retiran $5$ alumnos, escribe la nueva función de costo por alumno y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una…
Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.
La función inversa de una racional
Para hallar $f^{-1}$ se escribe $y=f(x)$, se despeja $x$ y se intercambian los nombres de las variables. Las asíntotas de $f$ y de $f^{-1}$ se intercambian entre sí.
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las…
Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.
Funciones exponenciales
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que…
En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.
Se invierten $20\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital…
Se invierten $20\,000\,000$ pesos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y…
La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?
Funciones logarítmicas
Si el argumento es $x-a$, el dominio exige $x-a>0$, es decir $x>a$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la…
El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.
Funciones definidas por partes
Para leer una gráfica a trozos, identifica cada tramo, halla su fórmula (pendiente e intercepto si es recta) y escribe el intervalo donde vale.
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$,…
Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.
El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida a trozos: una cuota fija de $40\,000$ pesos que incluye los primeros…
El costo mensual de la factura del agua en un municipio se calcula mediante una función definida a trozos: una cuota fija de $40\,000$ pesos que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $2\,000$ pesos por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $4\,800$ pesos por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función de costo $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.
Valor absoluto como función a trozos
$|u|=u$ si $u\ge 0$ y $|u|=-u$ si $u<0$. Para quitar el valor absoluto, hay que saber dónde la expresión de adentro es negativa.
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era…
Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.
Funciones periódicas
Para $f(t)=D+A\operatorname{sen}(Bt)$: el valor máximo es $D+|A|$, el mínimo es $D-|A|$ y el periodo es $T=\dfrac{2\pi}{B}$.
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por…
La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?
De la gráfica a la fórmula
Vuelve al principio: la tarifa del taxi es una función lineal, $C(x)=mx+b$, con el cobro inicial como $b$ y el precio por kilómetro como $m$; con dos datos de la tarifa ya queda determinada.
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura…
La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de…
La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.