Combinaciones
Vas a la plaza de mercado y quieres armar una bolsa con 3 frutas distintas entre 10 que hay en el puesto. Si eliges «mango, mora y banano», da lo mismo en qué orden las nombres: la bolsa es la misma. Aquí el orden no cuenta, y eso cambia la cuenta respecto a las permutaciones de $n$ tomados de $r$ (arreglos). ¿Cuántas bolsas distintas se pueden armar?
Elegir sin importar el orden
Imagina que hay que elegir 2 delegadas entre 3 amigas (Valentina, Mariana y Daniela), sin distinguir cuál va primero.
Cada grupo sin orden corresponde a $2! = 2$ parejas ordenadas. Por eso el número de grupos es la mitad: $\dfrac{6}{2} = 3$.
Dos consecuencias útiles: $C_{n,0} = C_{n,n} = 1$ y $C_{n,k} = C_{n,n-k}$ (elegir los $k$ que entran es lo mismo que elegir los $n-k$ que quedan afuera).
Problemas típicos
Muchos problemas se resuelven con una sola combinación o con un producto de ellas.
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Segmentos y diagonales: unir $n$ puntos de a dos da $C_{n,2}$ segmentos. En un polígono de $n$ lados, las diagonales son $C_{n,2}-n$ (se restan los lados).
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Grupos con partes: si eliges 2 de un grupo y 3 de otro, se multiplican: $C_{a,2}\cdot C_{b,3}$.
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Un elemento obligatorio: se lo deja fijo y se eligen los que faltan entre los restantes.
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«Al menos»: se suman los casos o se resta al total el caso contrario.
En una clase de 15 alumnos se va a elegir una comisión formada por 4 personas para organizar el viaje de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede constituir…
En una clase de 15 alumnos se va a elegir una comisión formada por 4 personas para organizar el viaje de fin de curso. ¿De cuántas formas diferentes se puede constituir dicha comisión?
¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar uniendo 7 puntos en un plano, sabiendo que no hay tres puntos que estén alineados?
¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar uniendo 7 puntos en un plano, sabiendo que no hay tres puntos que estén alineados?
Un equipo de baloncesto del colegio cuenta en su nómina con 7 jugadoras y 6 jugadores. El entrenador necesita formar un quinteto inicial mixto compuesto exactamente por…
Un equipo de baloncesto del colegio cuenta en su nómina con 7 jugadoras y 6 jugadores. El entrenador necesita formar un quinteto inicial mixto compuesto exactamente por 3 jugadoras y 2 jugadores. ¿Cuántos quintetos distintos puede formar para empezar el partido?
En una empresa tecnológica hay 12 programadores disponibles. Se necesita crear un equipo de 5 personas para desarrollar una nueva aplicación, pero la dirección ha…
En una empresa tecnológica hay 12 programadores disponibles. Se necesita crear un equipo de 5 personas para desarrollar una nueva aplicación, pero la dirección ha decidido que el programador jefe debe formar parte obligatoriamente del equipo. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden constituir bajo esta condición?
Ecuaciones y casos con «al menos»
Cuando la incógnita está dentro de un número combinatorio, se escribe con factoriales y se simplifica.
Cuando la incógnita aparece en dos combinaciones, se despeja el cociente.
Para «al menos», conviene sumar los casos posibles o usar el total menos lo que no sirve. Con 10 ingredientes y «al menos 8», se suman los casos de 8, 9 y 10: $C_{10,8} + C_{10,9} + C_{10,10}$.
Determina el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
Determina el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
En un torneo local de ajedrez participan 14 jugadores. El formato del torneo establece que cada jugador debe enfrentarse una sola vez a cada uno de los demás inscritos.…
En un torneo local de ajedrez participan 14 jugadores. El formato del torneo establece que cada jugador debe enfrentarse una sola vez a cada uno de los demás inscritos. ¿Cuántas partidas de ajedrez se jugarán en total a lo largo del campeonato?
En una pizzería permiten a los clientes diseñar sus propias pizzas. Disponen de 10 ingredientes diferentes para añadir sobre la base de tomate y queso. La oferta…
En una pizzería permiten a los clientes diseñar sus propias pizzas. Disponen de 10 ingredientes diferentes para añadir sobre la base de tomate y queso. La oferta especial del día incluye una pizza con al menos 8 ingredientes. ¿Cuántas pizzas distintas se pueden pedir acogiéndose a esta oferta?
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria y halla el valor del número natural $x$: $3 \cdot C_{x, 4} = 5 \cdot C_{x, 2}$
Resuelve la siguiente ecuación combinatoria y halla el valor del número natural $x$:
$3 \cdot C_{x, 4} = 5 \cdot C_{x, 2}$
Una delegación estudiantil de 6 personas debe formarse a partir de un grupo compuesto por 8 chicas y 7 chicos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir la…
Una delegación estudiantil de 6 personas debe formarse a partir de un grupo compuesto por 8 chicas y 7 chicos. ¿De cuántas maneras distintas se puede elegir la delegación si las normas exigen que haya una mayoría estricta de chicas en el grupo?
El triángulo de Pascal
Si calculas $C_{n,k}$ para cada $n$ y todos los valores de $k$, y los colocas en filas, aparece un patrón: cada número es la suma de los dos que tiene encima.
En la fila $n$, el elemento en la posición $k$ (empezando en $0$) es $C_{n,k}$. La fila $n=4$ es $1, 4, 6, 4, 1$.
Calcula los valores de $C_{8,3}$ y $C_{8,5}$. A la vista de los resultados numéricos, ¿qué propiedad fundamental de los números combinatorios se comprueba?
Calcula los valores de $C_{8,3}$ y $C_{8,5}$. A la vista de los resultados numéricos, ¿qué propiedad fundamental de los números combinatorios se comprueba?
Aplica directamente las propiedades del triángulo de Pascal (o de Tartaglia) para calcular la suma $\binom{9}{4} + \binom{9}{5}$ sin necesidad de desarrollar los…
Aplica directamente las propiedades del triángulo de Pascal (o de Tartaglia) para calcular la suma $\binom{9}{4} + \binom{9}{5}$ sin necesidad de desarrollar los factoriales de cada término por separado.
Demuestra algebraicamente, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales y reduciendo a común denominador, que se cumple la siguiente identidad…
Demuestra algebraicamente, utilizando la definición de número combinatorio mediante factoriales y reduciendo a común denominador, que se cumple la siguiente identidad para cualquier par de números naturales $n$ y $k$ (con $k < n$):
$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$
El binomio de Newton
¿Por qué aparecen combinaciones al desarrollar $(a+b)^4$? Al multiplicar $(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$, el coeficiente de cada término (por ejemplo $a^2b^2$) es el número de formas de elegir de cuáles de los 4 factores sale la $b$: una combinación.
Desarrolla completamente la expresión $(x + 2)^4$ aplicando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla completamente la expresión $(x + 2)^4$ aplicando la fórmula del binomio de Newton.
Calcula el quinto término del desarrollo del binomio $(2a - b)^6$, considerando que los términos se ordenan según las potencias decrecientes de $a$.
Calcula el quinto término del desarrollo del binomio $(2a - b)^6$, considerando que los términos se ordenan según las potencias decrecientes de $a$.
Halla el coeficiente numérico del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(3x - \frac{1}{2})^5$.
Halla el coeficiente numérico del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(3x - \frac{1}{2})^5$.
En el desarrollo del binomio $(kx - 2)^5$, se sabe que el coeficiente numérico correspondiente al término de grado 3 es $-1080$. Plantea la ecuación correspondiente y…
En el desarrollo del binomio $(kx - 2)^5$, se sabe que el coeficiente numérico correspondiente al término de grado 3 es $-1080$. Plantea la ecuación correspondiente y determina el valor del parámetro $k$.
Considera el polinomio $P(x)$ que resulta de desarrollar la expresión $(4x - 3)^7$. Sin necesidad de calcular cada uno de los términos del desarrollo de forma individual…
Considera el polinomio $P(x)$ que resulta de desarrollar la expresión $(4x - 3)^7$. Sin necesidad de calcular cada uno de los términos del desarrollo de forma individual mediante el binomio de Newton, razona y calcula cuál es la suma de todos los coeficientes de dicho polinomio.
Combinaciones con repetición
Hasta ahora los $n$ elementos eran todos distintos y no se repetían. ¿Y si hay que elegir varias unidades de un surtido de tipos, pudiendo repetir? Por ejemplo, una copa de 3 bolas entre 5 sabores de helado.
Lo mismo sirve para repartir objetos idénticos entre personas: repartir $k$ entradas entre $n$ amigos es $CR_{n,k}$.
Si cada receptor debe recibir al menos un mínimo, primero se entrega ese mínimo y se reparte lo que sobra.
En una heladería artesanal ofrecen 5 sabores distintos de helado. Si deseas comprar una tarrina en la que caben 3 bolas de helado, pudiendo repetir el mismo sabor varias…
En una heladería artesanal ofrecen 5 sabores distintos de helado. Si deseas comprar una tarrina en la que caben 3 bolas de helado, pudiendo repetir el mismo sabor varias veces, ¿de cuántas formas distintas puedes configurar tu tarrina?
Se van a repartir 10 entradas idénticas para un festival de música entre 4 amigos. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las entradas si no hay ninguna restricción…
Se van a repartir 10 entradas idénticas para un festival de música entre 4 amigos. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las entradas si no hay ninguna restricción sobre el número de pases que puede recibir cada uno (incluso pudiendo alguno quedarse sin entradas)?
Un profesor de arte quiere repartir 18 marcadores idénticos entre los 5 grupos de trabajo de su clase. Para asegurar que todos los grupos puedan realizar la actividad,…
Un profesor de arte quiere repartir 18 marcadores idénticos entre los 5 grupos de trabajo de su clase. Para asegurar que todos los grupos puedan realizar la actividad, establece la condición de que cada grupo debe recibir al menos 2 marcadores. ¿De cuántas formas diferentes puede realizar el reparto completo?
Problemas combinados
Los problemas difíciles mezclan ideas: casos que se solapan, puntos alineados, caminos en una cuadrícula.
Si hay una intersección prohibida, se restan los caminos que pasan por ella (que se calculan como producto: caminos de A a C por caminos de C a B).
Un polígono convexo tiene 15 lados. Utilizando el concepto de combinaciones para contar los segmentos entre vértices, determina cuántas diagonales se pueden trazar en…
Un polígono convexo tiene 15 lados. Utilizando el concepto de combinaciones para contar los segmentos entre vértices, determina cuántas diagonales se pueden trazar en este polígono.
En una cuadrícula que representa las calles de un barrio (de $6 \times 4$ manzanas), un repartidor debe ir desde el punto de origen A hasta el punto de destino B…
En una cuadrícula que representa las calles de un barrio (de $6 \times 4$ manzanas), un repartidor debe ir desde el punto de origen A hasta el punto de destino B desplazándose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debido a unas obras, la intersección marcada con el punto C está completamente cerrada al tráfico. ¿Cuántos caminos distintos puede tomar el repartidor para llegar a su destino respetando la restricción?
Se extraen 5 cartas simultáneamente de una baraja española tradicional de 40 cartas. ¿De cuántas formas distintas se puede obtener una mano que contenga exactamente tres…
Se extraen 5 cartas simultáneamente de una baraja española tradicional de 40 cartas. ¿De cuántas formas distintas se puede obtener una mano que contenga exactamente tres reyes y exactamente dos cartas del palo de oros? Ten en cuenta que el rey de oros es una carta que pertenece a ambas categorías, lo que te obligará a distinguir casos.
En un plano se han dibujado 12 puntos en total. Al analizarlos, se observa que exactamente 5 de ellos están alineados sobre una misma recta, mientras que de los…
En un plano se han dibujado 12 puntos en total. Al analizarlos, se observa que exactamente 5 de ellos están alineados sobre una misma recta, mientras que de los restantes no hay tres que estén alineados. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando exclusivamente estos 12 puntos como vértices?
Vuelve al principio: las bolsas de 3 frutas elegidas entre 10 son $C_{10,3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ bolsas distintas.