Procesadores simbólicos y de geometría dinámica
Sofía resuelve en su celular la ecuación $2x^2 - 5x - 3 = 0$ y la app le responde $x = 3$ y $x = -\tfrac{1}{2}$, sin decimales. Su calculadora del liceo, en cambio, solo le da números aproximados. ¿Qué hace distinto a ese programa? ¿Y podemos creerle siempre sin revisar? Al final de la página lo respondemos.
Calculadora numérica y procesador simbólico
Una calculadora simple trabaja con números: te entrega aproximaciones como $1{,}4142136$. Un procesador simbólico (CAS, Computer Algebra System) trabaja con expresiones: puede mantener $\sqrt{2}$ tal cual, factorizar, desarrollar, simplificar y resolver ecuaciones dejando el resultado exacto.
| Operación | Calculadora numérica | Procesador simbólico |
|---|---|---|
| $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$ | $0{,}5$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\sqrt{8}$ | $2{,}828427\ldots$ | $2\sqrt{2}$ |
| $(x+3)^2$ | no puede | $x^2 + 6x + 9$ |
| $x^2 - 9$ | no puede | $(x-3)(x+3)$ |
| $2x - 6 = 0$ | no puede | $x = 3$ |
Fíjate en que las últimas filas tienen letras: la calculadora simple no sabe qué hacer con una $x$ sin valor.
Explica qué es un procesador simbólico (o sistema de álgebra computacional, CAS) y en qué se diferencia de una calculadora que solo entrega resultados numéricos…
Explica qué es un procesador simbólico (o sistema de álgebra computacional, CAS) y en qué se diferencia de una calculadora que solo entrega resultados numéricos aproximados. Da un ejemplo de una operación que un procesador simbólico puede hacer y una calculadora simple no.
Graficar funciones
Un graficador convierte una expresión en una curva. Para $f(x) = x^2 - 4$ se escribe en el programa algo como f(x) = x^2 - 4 (el símbolo ^ es la potencia; la multiplicación se escribe con * o con espacio). No hace falta depender de un menú concreto: casi todos los programas (por ejemplo GeoGebra) funcionan igual.
Antes de mirar el dibujo, conviene predecir dónde cortará los ejes:
-
Eje $y$: se hace $x = 0$, luego $f(0) = -4$. Corta en $(0, -4)$.
-
Eje $x$: se hace $f(x) = 0$, luego $x^2 = 4$ y $x = 2$ o $x = -2$. Corta en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$.
Quieres graficar la función $f(x) = x^2 - 4$ en un software de graficación. Escribe cómo ingresarías la expresión en el programa e indica en qué puntos esperas que la…
Quieres graficar la función $f(x) = x^2 - 4$ en un software de graficación. Escribe cómo ingresarías la expresión en el programa e indica en qué puntos esperas que la gráfica corte al eje $x$ y al eje $y$, justificando tu respuesta.
Resolver y verificar: álgebra más gráfica
Los dos mundos se conectan: las soluciones de $f(x) = 0$ son las abscisas de los puntos donde la gráfica corta al eje $x$ (los ceros de la función).
Intersección de dos funciones
Si graficas $f$ y $g$ en el mismo plano, el punto donde se cruzan cumple $f(x) = g(x)$: es la solución del sistema de ambas ecuaciones. Con las rectas $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = -x + 7$:
$2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$, y $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$.
El punto es $(2, 5)$: el único valor de $x$ en que ambas funciones entregan el mismo resultado.
Un procesador simbólico entrega, para la ecuación $2x^2 - 5x - 3 = 0$, las soluciones $x = 3$ y $x = -\tfrac{1}{2}$. a) Verifica con cálculo propio que ambos valores…
Un procesador simbólico entrega, para la ecuación $2x^2 - 5x - 3 = 0$, las soluciones $x = 3$ y $x = -\tfrac{1}{2}$.
- a) Verifica con cálculo propio que ambos valores satisfacen la ecuación.
- b) Explica qué representan geométricamente esas soluciones en la gráfica de $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$.
- c) Describe cómo comprobarías el resultado usando el graficador del mismo programa.
Se grafican en un mismo plano las funciones $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = -x + 7$. a) Describe cómo usarías el software para encontrar el punto donde las rectas se…
Se grafican en un mismo plano las funciones $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = -x + 7$.
- a) Describe cómo usarías el software para encontrar el punto donde las rectas se intersectan.
- b) Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y resuélvelo con papel y lápiz para verificar lo que muestra el programa.
- c) Explica qué significa ese punto en el contexto de las dos funciones.
Deslizadores y familias de funciones
Un deslizador es un número que puedes variar con el mouse. Si defines $b$ con un deslizador y grafican $f(x) = x^2 + bx + 1$, obtienes toda una familia de parábolas y ves el efecto de $b$ en tiempo real.
Al mover $b$ observarás que el vértice se desplaza: su coordenada $x$ es $-\dfrac{b}{2}$. Y la parábola corta al eje $x$ según el discriminante $\Delta = b^2 - 4$:
| Condición | Cortes con el eje $x$ |
|---|---|
| $b^2 - 4 > 0$, es decir $b < -2$ o $b > 2$ | dos puntos |
| $b^2 - 4 = 0$, es decir $b = \pm 2$ | uno solo (toca en el vértice) |
| $b^2 - 4 < 0$, es decir $-2 < b < 2$ | ninguno |
En un graficador, defines un deslizador $b$ y la familia de parábolas $f(x) = x^2 + bx + 1$. a) Describe cómo cambia la posición del vértice al mover el deslizador y…
En un graficador, defines un deslizador $b$ y la familia de parábolas $f(x) = x^2 + bx + 1$.
- a) Describe cómo cambia la posición del vértice al mover el deslizador y escribe la expresión de la coordenada $x$ del vértice en función de $b$.
- b) Usando el discriminante $b^2 - 4$, determina para qué valores de $b$ la parábola corta al eje $x$ en dos puntos, en uno solo o en ninguno.
- c) Argumenta cómo el deslizador te permite descubrir estos resultados antes de calcularlos, y por qué igual es necesario justificarlos con álgebra.
Geometría dinámica
En el papel, un triángulo dibujado es un triángulo. En un software de geometría dinámica (como GeoGebra) construyes la figura con relaciones: "este punto es el punto medio de ese lado", "esta recta es perpendicular a aquella". Al arrastrar un vértice con el mouse, la figura se deforma, pero se conservan todas las propiedades de la construcción.
Por ejemplo, si construyes un triángulo y arrastras un vértice:
-
Los lados y los ángulos cambian de medida.
-
Sigue siendo un triángulo, con tres lados y vértices unidos.
-
Se mantienen las relaciones que construiste (medios, perpendiculares, paralelas).
Conjetura: las tres medianas de cualquier triángulo se cortan en un solo punto. Que esto se cumpla en cientos de triángulos arrastrados es una evidencia fuerte: no depende de un dibujo particular. Aun así, es una evidencia y no una demostración.
En un software de geometría dinámica construyes un triángulo y luego arrastras uno de sus vértices con el mouse. Explica qué ocurre con la figura y qué propiedades de la…
En un software de geometría dinámica construyes un triángulo y luego arrastras uno de sus vértices con el mouse. Explica qué ocurre con la figura y qué propiedades de la construcción se mantienen. Indica además en qué se diferencia esto de dibujar el triángulo en papel.
En un software de geometría dinámica quieres construir un triángulo $ABC$, marcar el punto medio de cada lado, trazar las tres medianas y marcar el punto donde se cortan…
En un software de geometría dinámica quieres construir un triángulo $ABC$, marcar el punto medio de cada lado, trazar las tres medianas y marcar el punto donde se cortan (el baricentro).
- a) Describe, paso a paso, las herramientas que usarías.
- b) Indica qué conjetura podrías formular al arrastrar los vértices y observar el punto de intersección.
- c) Explica por qué el hecho de que las tres medianas sigan pasando por un mismo punto al mover la figura es una evidencia importante.
Del descubrimiento a la justificación
Un equipo mide los ángulos de muchos cuadriláteros y siempre obtiene una suma cercana a $360^\circ$. Conjetura: la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es $360^\circ$.
Esas mediciones no son una demostración: son finitas, aproximadas y no cubren todos los cuadriláteros. Para justificar, usamos razonamiento:
Cada herramienta cumple un papel: el software descubre (explora, propone conjeturas, descarta ideas falsas) y el razonamiento prueba (garantiza que vale siempre).
Un grupo usa geometría dinámica para investigar la suma de los ángulos interiores de cuadriláteros. Construyen varios cuadriláteros, miden sus ángulos con el programa y…
Un grupo usa geometría dinámica para investigar la suma de los ángulos interiores de cuadriláteros. Construyen varios cuadriláteros, miden sus ángulos con el programa y siempre obtienen una suma muy cercana a $360^\circ$.
- a) Formula la conjetura que se desprende de estas observaciones.
- b) Explica por qué estas mediciones no constituyen una demostración.
- c) Propón cómo usarías una diagonal para justificar la conjetura, apoyándote en la suma de los ángulos interiores de un triángulo, y analiza qué papel cumple cada herramienta (software y razonamiento) en el descubrimiento y en la prueba.
Vuelve al principio: el programa de Sofía entrega $x = 3$ y $x = -\tfrac12$ porque es un procesador simbólico, que trabaja con expresiones exactas. Aun así, ella puede (y debe) reemplazar los valores en la ecuación y mirar la gráfica para confirmar que el resultado es correcto.