Ejercicios: Procesadores simbólicos y de geometría dinámica

Explica qué es un procesador simbólico (o sistema de álgebra computacional, CAS) y en qué se diferencia de una calculadora que solo entrega resultados numéricos aproximados. Da un ejemplo de una operación que un procesador simbólico puede hacer y una calculadora simple no.

Quieres graficar la función $f(x) = x^2 - 4$ en un software de graficación. Escribe cómo ingresarías la expresión en el programa e indica en qué puntos esperas que la gráfica corte al eje $x$ y al eje $y$, justificando tu respuesta.

En un software de geometría dinámica construyes un triángulo y luego arrastras uno de sus vértices con el mouse. Explica qué ocurre con la figura y qué propiedades de la construcción se mantienen. Indica además en qué se diferencia esto de dibujar el triángulo en papel.

Un procesador simbólico entrega, para la ecuación $2x^2 - 5x - 3 = 0$, las soluciones $x = 3$ y $x = -\tfrac{1}{2}$.

1. a) Verifica con cálculo propio que ambos valores satisfacen la ecuación.
2. b) Explica qué representan geométricamente esas soluciones en la gráfica de $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$.
3. c) Describe cómo comprobarías el resultado usando el graficador del mismo programa.

En un software de geometría dinámica quieres construir un triángulo $ABC$, marcar el punto medio de cada lado, trazar las tres medianas y marcar el punto donde se cortan (el baricentro).

1. a) Describe, paso a paso, las herramientas que usarías.
2. b) Indica qué conjetura podrías formular al arrastrar los vértices y observar el punto de intersección.
3. c) Explica por qué el hecho de que las tres medianas sigan pasando por un mismo punto al mover la figura es una evidencia importante.

Se grafican en un mismo plano las funciones $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = -x + 7$.

1. a) Describe cómo usarías el software para encontrar el punto donde las rectas se intersectan.
2. b) Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y resuélvelo con papel y lápiz para verificar lo que muestra el programa.
3. c) Explica qué significa ese punto en el contexto de las dos funciones.

En un graficador, defines un deslizador $b$ y la familia de parábolas $f(x) = x^2 + bx + 1$.

1. a) Describe cómo cambia la posición del vértice al mover el deslizador y escribe la expresión de la coordenada $x$ del vértice en función de $b$.
2. b) Usando el discriminante $b^2 - 4$, determina para qué valores de $b$ la parábola corta al eje $x$ en dos puntos, en uno solo o en ninguno.
3. c) Argumenta cómo el deslizador te permite descubrir estos resultados antes de calcularlos, y por qué igual es necesario justificarlos con álgebra.

Un grupo usa geometría dinámica para investigar la suma de los ángulos interiores de cuadriláteros. Construyen varios cuadriláteros, miden sus ángulos con el programa y siempre obtienen una suma muy cercana a $360^\circ$.

1. a) Formula la conjetura que se desprende de estas observaciones.
2. b) Explica por qué estas mediciones no constituyen una demostración.
3. c) Propón cómo usarías una diagonal para justificar la conjetura, apoyándote en la suma de los ángulos interiores de un triángulo, y analiza qué papel cumple cada herramienta (software y razonamiento) en el descubrimiento y en la prueba.