Concepto de número natural

En el sistema de numeración decimal, el valor de una cifra depende de la posición que ocupa. Considera el número de seguidores de un famoso streamer, que es exactamente $452\,807$. Escribe su descomposición polinómica utilizando potencias de $10$.

En un videojuego de estrategia, el número de recursos de madera acumulados por un jugador se expresa mediante la siguiente descomposición polinómica:

$4 \cdot 10^6 + 2 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 9 \cdot 10^0$

Escribe el número de recursos en el Sistema de Numeración Decimal e indica qué valor representa la cifra $2$ dentro de dicho número (unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar, etc.).

Escribe con cifras y utilizando potencias de $10$ los siguientes números:

1. a) Ocho millones trescientas mil unidades.
2. b) Treinta y dos mil millones de unidades.
3. c) Una centena de millar.

Observa la siguiente recta numérica donde se han representado varios puntos. Indica qué número natural corresponde a cada una de las letras etiquetadas.

Ordena de menor a mayor los siguientes números naturales utilizando los símbolos $<$ o $>$ según corresponda:

Razona si las siguientes afirmaciones sobre el conjunto de los números naturales son verdaderas o falsas:

1. a) Entre dos números naturales cualesquiera, siempre existe otro número natural.
2. b) El sistema de numeración decimal es posicional porque el valor de una cifra depende del lugar que ocupa.
3. c) Cualquier número natural se puede expresar como una suma de potencias de base $10$ distintas (sin repetir ninguna).
4. d) El número romano VV es una forma válida de escribir el número decimal $10$.

Los números naturales pueden representarse mediante formas rectangulares. Por ejemplo, el número $12$ se puede representar como un rectángulo de $3 \times 4$ o de $2 \times 6$.

1. a) Dibuja todas las formas rectangulares posibles (excluyendo la de una sola fila) para el número $18$.
2. b) ¿Qué relación tienen las dimensiones de esos rectángulos con los divisores del número $18$?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Los números triangulares ($T_n$) se pueden visualizar como puntos formando un triángulo equilátero. Una propiedad fascinante es que la suma de dos números triangulares consecutivos siempre da como resultado un cuadrado perfecto ($C_n$).

En la figura puedes ver cómo se colocan los puntos de $T_4$ y de $T_5$.

Sabiendo que la fórmula para hallar el enésimo número triangular es $T_n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$, demuestra gráficamente y mediante cálculo numérico que la suma del cuarto número triangular ($T_4$) y el quinto número triangular ($T_5$) es igual al quinto número cuadrado ($C_5$), es decir, al número de puntos de un cuadrado de $5 \times 5$.

1. a) Haz el dibujo: coloca los puntos de $T_5$ y de $T_4$ de modo que, juntos, formen un cuadrado de $5 \times 5$ puntos (usa dos colores distintos).

1. b) Calcula $T_4$, $T_5$ y $C_5 = 5^2$ con las fórmulas y comprueba que $T_4 + T_5 = C_5$.

Un coleccionista de arte quiere organizar su galería de forma que sus $144$ cuadros formen un cuadrado perfecto. Sin embargo, decide comprar más cuadros para que la galería sea un rectángulo donde el largo sea el doble que el ancho.

¿Cuál es el número mínimo de cuadros adicionales que debe comprar para formar ese rectángulo si quiere que el ancho sea mayor que el lado del cuadrado original?

Se quiere diseñar un jardín botánico circular. El presupuesto permite comprar suficientes semillas para cubrir una superficie de $31.400$ metros cuadrados.

1. a) Si utilizamos el valor aproximado de $\pi \approx 3,14$, ¿cuál será el radio del jardín?
2. b) La municipalidad decide que el jardín debe estar rodeado por un cerco cuadrado cuyo lado sea exactamente igual al diámetro del jardín circular. ¿Cuántos metros de cerco se necesitan?
3. c) ¿Cuál es el área del terreno cuadrado que queda fuera del círculo pero dentro del cerco?