Regla de Laplace
En la kermés de la escuela hay una bolsa con 5 bolitas rojas y 3 azules, y ganás un alfajor si sacás una roja. ¿Conviene más apostar a la roja o a la azul? A simple vista parece la roja, pero con matemática podemos decirlo con un número exacto.
Casos favorables y casos posibles
Cuando todos los resultados de una experiencia son igualmente probables (un dado sin trucar, cartas de un mazo bien mezclado, bolitas idénticas salvo el color), se puede usar la regla de Laplace:
$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}}$$Probá con distintas cantidades de bolas y mirá cómo las frecuencias se acercan a la probabilidad calculada:
Se lanza un dado correcto. Calculá la probabilidad de cada evento: a) Sacar un $3$. b) Sacar un número par. c) Sacar un número mayor que $4$. d) No sacar un $6$.
Se lanza un dado correcto. Calculá la probabilidad de cada evento:
a) Sacar un $3$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un número mayor que $4$.
d) No sacar un $6$.
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de: a) Sacar bola roja. b) Sacar bola verde. c)…
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar.
Calcula la probabilidad de:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea: a) De oros. b) Un as. c) Una figura (sota, caballo o rey). d) El rey de…
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea:
a) De oros.
b) Un as.
c) Una figura (sota, caballo o rey).
d) El rey de copas.
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) No sea blanca. b) Sea blanca o azul. c) Sea…
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) No sea blanca.
b) Sea blanca o azul.
c) Sea amarilla.
d) No sea amarilla.
Contar casos favorables
Muchas veces el trabajo está en contar bien. Hay que listar los resultados que cumplen la condición sin olvidarse ninguno ni repetirlos.
Para sucesos con «o» (por ejemplo, «de oros o rey») hay que fijarse en los casos que cumplen las dos condiciones a la vez: si los sumás dos veces, te pasás.
Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El $5$. b) Un múltiplo de $3$. c) Un…
Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El $5$.
b) Un múltiplo de $3$.
c) Un número mayor que $5$.
d) Un número menor que $9$.
Se escriben las letras de la palabra PROBABILIDAD en tarjetas y se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) Una vocal. b) La letra B. c) Una consonante.
Se escriben las letras de la palabra PROBABILIDAD en tarjetas y se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una vocal.
b) La letra B.
c) Una consonante.
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea: a) De oros o una figura. b) De copas o un as. c) Ni figura ni as. d) Del…
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea:
a) De oros o una figura.
b) De copas o un as.
c) Ni figura ni as.
d) Del palo de bastos o una carta numerada menor que $4$ (el as cuenta como $1$).
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado: a) Contenga…
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado:
a) Contenga la cifra $7$.
b) Sea múltiplo de $10$.
c) Empiece por la cifra $1$.
d) Tenga sus tres cifras iguales.
El suceso contrario
Asigná su probabilidad a cada suceso y explicá por qué: a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$. b) Al lanzar un dado, sacar un $8$. c) Al extraer una carta…
Asigná su probabilidad a cada suceso y explicá por qué:
a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$.
b) Al lanzar un dado, sacar un $8$.
c) Al extraer una carta de un mazo español, que sea de oros, copas, espadas o bastos.
En una clase de $2.º$ año hay $14$ chicas y $16$ chicos. Se elige una persona al azar para leer en voz alta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? b) ¿Y de…
En una clase de $2.º$ año hay $14$ chicas y $16$ chicos. Se elige una persona al azar para leer en voz alta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica?
b) ¿Y de que sea un chico?
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros? b) Si $P(A) = 0,35$, ¿cuánto vale la probabilidad…
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros?
b) Si $P(A) = 0,35$, ¿cuánto vale la probabilidad del evento contrario de $A$?
c) En una urna solo hay bolas rojas, azules y verdes. Si la probabilidad de sacar bola roja es $\frac{2}{7}$ y la de sacar bola azul es $\frac{3}{7}$, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola verde?
Laplace en experiencias compuestas
Con dos dados, dos monedas o una moneda y un dado, primero se cuentan todos los casos posibles con una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol, y recién después se aplica Laplace.
Con tres monedas, el diagrama de árbol ordena los casos: cada moneda duplica las ramas y quedan $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ resultados.
Se lanzan una moneda y un dado. Calculá la probabilidad de obtener: a) Cara y un $6$. b) Cruz y un número impar. c) Cara y un número menor que $5$.
Se lanzan una moneda y un dado. Calculá la probabilidad de obtener:
a) Cara y un $6$.
b) Cruz y un número impar.
c) Cara y un número menor que $5$.
Se lanzan dos monedas. Calculá la probabilidad de obtener: a) Dos caras. b) Una cara y una cruz, en cualquier orden. c) Alguna cara. d) Ninguna cara.
Se lanzan dos monedas. Calculá la probabilidad de obtener:
a) Dos caras.
b) Una cara y una cruz, en cualquier orden.
c) Alguna cara.
d) Ninguna cara.
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. Ayúdate de una tabla de doble entrada para calcular: a) $P(\text{suma } 7)$ b) $P(\text{suma mayor que } 9)$ c)…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. Ayúdate de una tabla de doble entrada para calcular:
a) $P(\text{suma } 7)$
b) $P(\text{suma mayor que } 9)$
c) $P(\text{suma par})$
d) $P(\text{suma distinta de } 7)$
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calculá la probabilidad de obtener: a) Exactamente dos caras. b) Alguna cruz. c) Tres resultados iguales. d)…
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calculá la probabilidad de obtener:
a) Exactamente dos caras.
b) Alguna cruz.
c) Tres resultados iguales.
d) Exactamente una cara.
Para entrar a un juego de la fiesta del colegio tenés que tirar un dado y sacar más puntos que el «guardián», que tira otro dado antes que vos. a) Construí una tabla de…
Para entrar a un juego de la fiesta del colegio tenés que tirar un dado y sacar más puntos que el «guardián», que tira otro dado antes que vos.
a) Construí una tabla de doble entrada con los $36$ enfrentamientos posibles.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entres al juego?
c) ¿Cuál es la probabilidad de empatar con el guardián?
d) Si la regla fuera «sacar al menos el doble de puntos que el guardián», ¿cuál sería la probabilidad de entrar?
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es…
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es $\frac{1}{3}$».
a) Explica por qué su razonamiento es incorrecto.
b) Escribe el espacio muestral correcto, teniendo en cuenta el orden de nacimiento, y calcula la probabilidad correcta.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una chica?
Tablas de doble entrada con datos
La tabla de doble entrada también sirve para ordenar datos de un grupo. Se elige un caso al azar y la probabilidad es la cantidad que cumple la condición sobre el total de la tabla.
Los alumnos de una escuela que practican deporte extraescolar se distribuyen así: | | fútbol | natación | tenis | |---|---|---|---| | $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ | $4$ |…
Los alumnos de una escuela que practican deporte extraescolar se distribuyen así:
| fútbol | natación | tenis | |
|---|---|---|---|
| $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ | $4$ |
| $1.º$-$2.º$ Secundaria | $16$ | $4$ | $15$ |
Se elige un alumno al azar. Calculá la probabilidad de que:
a) Sea de Primaria.
b) Practique natación.
c) Sea de Primaria y juegue al tenis.
d) Sabiendo que es de Secundaria, practique tenis.
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso. a) Construye…
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso.
a) Construye una tabla de doble entrada (chicas/chicos frente a todo aprobado/algún suspenso).
b) Si elegimos a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y haya aprobado todo?
c) Sabiendo que la persona elegida tiene algún suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Se lanzan dos dados y se anota el producto de los puntos. a) Construye la tabla de doble entrada con los $36$ productos. b) Calcula la probabilidad de que el producto…
Se lanzan dos dados y se anota el producto de los puntos.
a) Construye la tabla de doble entrada con los $36$ productos.
b) Calcula la probabilidad de que el producto sea par.
c) Calcula la probabilidad de que el producto sea múltiplo de $5$.
d) Calcula la probabilidad de que el producto sea mayor que $20$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Laplace con ruletas de sectores desiguales
Si una ruleta no tiene sectores iguales, cada región ya no es «un caso»: usamos su ángulo como medida del espacio que ocupa, porque el ángulo sí es proporcional a la probabilidad.
Lo mismo vale para otras situaciones «continuas»: la aguja de las horas de un reloj, que da una vuelta de $12$ horas, se trata igual (cada hora ocupa $30^\circ$, o sea $\frac{1}{12}$ de la vuelta). Y un gráfico circular se lee igual: cada porción es su porcentaje.
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector verde. c) Un…
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector verde.
c) Un sector que no sea amarillo.
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector amarillo. c)…
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector amarillo.
c) El sector azul o el verde.
d) Un sector que no sea rojo.
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora: a) Entre las $3$ y las $4$. b) Anterior a las $6$. c)…
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora:
a) Entre las $3$ y las $4$.
b) Anterior a las $6$.
c) Posterior a las $10$.
d) Entre las $2$ y las $8$.
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) De fresa. b) De limón o de menta. c) Que no sea de…
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar.
Calcula la probabilidad de que sea:
a) De fresa.
b) De limón o de menta.
c) Que no sea de manzana.
d) De naranja.
Casos que cambian: sacar sin reponer y agregar elementos
A veces la experiencia modifica lo que queda. Si sacás una carta y no la devolvés, el total baja en uno para la segunda extracción. Y si se agregan elementos a una urna, cambian los casos posibles.
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea: a) Múltiplo de $4$. b) Múltiplo de $5$. c) Múltiplo de $4$ y de $5$. d) Múltiplo de $4$ o…
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Múltiplo de $4$.
b) Múltiplo de $5$.
c) Múltiplo de $4$ y de $5$.
d) Múltiplo de $4$ o de $5$.
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación…
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación y resuélvela.
Se extraen dos cartas de una baraja española de $40$ cartas, sin devolver la primera al mazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea de oros? b) Si la…
Se extraen dos cartas de una baraja española de $40$ cartas, sin devolver la primera al mazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea de oros?
b) Si la primera carta fue de oros, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también lo sea?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de oros?
d) ¿Y la de que ninguna de las dos sea de oros?
Un dado tetraédrico tiene sus caras numeradas $1$, $2$, $2$ y $3$, y otro dado tetraédrico, $2$, $3$, $3$ y $4$. Se lanzan los dos y se anota el producto. a) Construye…
Un dado tetraédrico tiene sus caras numeradas $1$, $2$, $2$ y $3$, y otro dado tetraédrico, $2$, $3$, $3$ y $4$. Se lanzan los dos y se anota el producto.
a) Construye la tabla de doble entrada con los $16$ productos posibles.
b) Calcula la probabilidad de que el producto sea par.
c) Calcula la probabilidad de que el producto sea $6$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Volvé al principio: en la bolsa hay $5+3=8$ casos posibles, así que $P(\text{roja}) = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$ y $P(\text{azul}) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$. Como $0{,}625 > 0{,}375$, conviene apostar a la roja.