Operaciones con números enteros
Thiago juega a un videojuego de supervivencia. Arranca con $150$ puntos de energía, pierde $25$ por cada hora en una cueva y gana $40$ por cada cristal que encuentra. Si pasa $4$ horas y junta $3$ cristales, ¿con cuánta energía termina? Para saberlo necesitás sumar, restar, multiplicar y combinar todo en el orden correcto, también cuando aparecen números negativos. Vamos paso a paso.
Opuesto y valor absoluto
Antes de operar, un repaso rápido de dos ideas que vas a usar todo el tiempo.
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El opuesto de $a$ se escribe $-a$. El opuesto de $5$ es $-5$; el opuesto de $-5$ es $-(-5) = 5$. Por eso $-a$ no siempre es negativo: si $a = -3$, entonces $-a = 3$.
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El valor absoluto de $a$, escrito $|a|$, es su distancia al $0$ en la recta: $|a| = a$ si $a$ es positivo, $|a| = -a$ si $a$ es negativo, y $|0| = 0$.
Calcula el valor absoluto de los siguientes números y ordénalos de menor a mayor: $|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$
Calcula el valor absoluto de los siguientes números y ordénalos de menor a mayor:
$|-12|, |+5|, |0|, |-3|, |+1|$
Sumar y restar enteros
En Bariloche, a las 7 de la mañana el termómetro marca $-5\,^\circ\text{C}$. Al mediodía sube $12\,^\circ\text{C}$ y a la noche baja $9\,^\circ\text{C}$. Mirá la recta: sumar es avanzar hacia la derecha; restar, retroceder hacia la izquierda.
Observa la siguiente recta numérica y los movimientos realizados por un saltamontes partiendo desde el punto $0$. Indica el número entero que corresponde a cada posición…
Observa la siguiente recta numérica y los movimientos realizados por un saltamontes partiendo desde el punto $0$. Indica el número entero que corresponde a cada posición final tras realizar los saltos representados.
- a) ¿A qué número llega tras el primer salto de $+4$?
- b) ¿En qué número aterriza finalmente tras el segundo movimiento?
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro marcaba $-5^{\circ}C$ a las siete de la mañana. Al mediodía, la temperatura subió $12^{\circ}C$ y, al llegar la…
En una estación de esquí de Sierra Nevada, el termómetro marcaba $-5^{\circ}C$ a las siete de la mañana. Al mediodía, la temperatura subió $12^{\circ}C$ y, al llegar la noche, volvió a bajar $9^{\circ}C$. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro al final del día? Escribe la operación completa usando números enteros.
Un repartidor entra en un edificio y aparca su furgoneta en el segundo sótano (planta $-2$). Realiza los siguientes trayectos: 1. Sube 5 plantas para entregar un…
Un repartidor entra en un edificio y aparca su furgoneta en el segundo sótano (planta $-2$). Realiza los siguientes trayectos:
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Sube 5 plantas para entregar un paquete.
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Baja 4 plantas para recoger otra caja.
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Sube 7 plantas para la última entrega.
Calcula en qué planta se encuentra el repartidor al terminar su trabajo. Ayúdate del siguiente esquema, donde se indica la planta de salida; puedes ir marcando en él cada trayecto.
En una cuenta bancaria de un joven ahorrador, se registran los siguientes movimientos en una semana: un ingreso de $45$ pesos, un pago con tarjeta de $-12$ pesos, una…
En una cuenta bancaria de un joven ahorrador, se registran los siguientes movimientos en una semana: un ingreso de $45$ pesos, un pago con tarjeta de $-12$ pesos, una transferencia recibida de $20$ pesos y tres cargos automáticos de suscripciones de $-9$ pesos cada uno.
Si al comenzar la semana el saldo era de $-15$ pesos, ¿cuál es el saldo final? Escribe el proceso utilizando una suma de números positivos y negativos.
Quitar paréntesis con un signo delante
Si un paréntesis va precedido de $+$, los signos de adentro quedan igual. Si va precedido de $-$, todos los signos de adentro cambian.
Quita los paréntesis y calcula el resultado final de las siguientes expresiones: a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$ b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$ c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$
Quita los paréntesis y calcula el resultado final de las siguientes expresiones:
- a) $+(+7) + (-3) - (+5) =$
- b) $-(-4) - (+8) + (-2) =$
- c) $+(-10) - (-6) - (-1) =$
Multiplicar y dividir: de dónde sale la regla de los signos
Con naturales, multiplicar es sumar varias veces: $3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4$. Con enteros, ¿cuánto da $(-6) \cdot (-7)$? En lugar de aprender la regla de memoria, la deducimos usando que la propiedad distributiva sigue valiendo en los enteros.
Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando correctamente la regla de los signos: a) $(+6) \cdot (-3) =$ b) $(-20) : (-5) =$ c) $(-8) \cdot (-4) =$…
Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando correctamente la regla de los signos:
- a) $(+6) \cdot (-3) =$
- b) $(-20) : (-5) =$
- c) $(-8) \cdot (-4) =$
- d) $(+35) : (-7) =$
Resuelve la siguiente pirámide numérica de multiplicación. El valor de cada casilla es el producto de los dos números enteros situados justo debajo.
Resuelve la siguiente pirámide numérica de multiplicación. El valor de cada casilla es el producto de los dos números enteros situados justo debajo.
Potencias y raíces en los enteros
Una potencia es una multiplicación repetida, así que el signo sale de la regla anterior: con base negativa, el resultado es negativo si el exponente es impar y positivo si es par.
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ y $(-2)^4 = 16$.
La raíz deshace la potencia. Con índice impar existe siempre: $\sqrt[3]{-8} = -2$ porque $(-2)^3 = -8$. Con índice par, la raíz de un negativo no existe en los enteros: ningún número elevado al cuadrado da $-16$.
Los múltiplos y divisores también se extienden: $-12$ es múltiplo de $4$ porque $-12 = 4 \cdot (-3)$, y sus divisores son $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.
Operaciones combinadas: paréntesis, corchetes y llaves
Cuando hay paréntesis dentro de corchetes dentro de llaves, se resuelve siempre de adentro hacia afuera. Dentro de cada nivel: primero potencias y raíces, después multiplicaciones y divisiones, y al final sumas y restas.
Las operaciones combinadas sirven para modelar problemas: escribís una sola expresión que cuenta toda la historia. Por ejemplo, la energía de Thiago al principio es $150 - 4 \cdot 25 + 3 \cdot 40$.
Calcula el resultado de estas operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones: a) $10 + 2 \cdot (-3) =$ b) $(-15) : 3 - 4 =$ c) $8 - (-10) : 2 =$ d)…
Calcula el resultado de estas operaciones combinadas respetando la jerarquía de las operaciones:
- a) $10 + 2 \cdot (-3) =$
- b) $(-15) : 3 - 4 =$
- c) $8 - (-10) : 2 =$
- d) $(-5) \cdot (-2) + (-6) =$
En un videojuego de supervivencia, un jugador comienza con $150$ puntos de energía. Por cada hora que pasa explorando cuevas oscuras, pierde $25$ puntos, pero por cada…
En un videojuego de supervivencia, un jugador comienza con $150$ puntos de energía. Por cada hora que pasa explorando cuevas oscuras, pierde $25$ puntos, pero por cada "cristal de luz" que recolecta, gana $40$ puntos.
Si el jugador pasa $4$ horas en las cuevas y logra recolectar $3$ cristales, escribe una expresión con números enteros que represente su energía final y calcúlala.
Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y prestando especial atención a los signos: a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$…
Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas respetando la jerarquía y prestando especial atención a los signos:
- a) $-5 \cdot [ -3 + 2 \cdot (4 - 7) ]$
- b) $( -12 + 16 ) : ( 1 - 5 ) - 3 \cdot ( -2 )$
Un batiscafo de investigación oceanográfica se encuentra sumergido a $-450$ metros respecto al nivel del mar. Realiza una maniobra en tres etapas: 1. Desciende una…
Un batiscafo de investigación oceanográfica se encuentra sumergido a $-450$ metros respecto al nivel del mar. Realiza una maniobra en tres etapas:
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Desciende una distancia equivalente a la tercera parte de su profundidad actual.
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Asciende $120$ metros para evitar una corriente térmica.
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Desciende el doble de lo que ascendió en el paso anterior.
¿A qué profundidad se encuentra el batiscafo tras finalizar la maniobra? Exprésalo mediante una operación combinada de números enteros.
Escribe una expresión matemática que utilice al menos una multiplicación, una división, una suma y unos paréntesis, de tal manera que el resultado final sea $-10$.
Escribe una expresión matemática que utilice al menos una multiplicación, una división, una suma y unos paréntesis, de tal manera que el resultado final sea $-10$.
Resuelve la siguiente operación combinada prestando especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis, corchetes y llaves:…
Resuelve la siguiente operación combinada prestando especial atención a la jerarquía de las operaciones y al uso de los paréntesis, corchetes y llaves:
$15 - \{ -3 \cdot [8 - (12 - 15) \cdot (-2)] + (-18) : (5 - 11) \}$
Una empresa tecnológica que cotiza en bolsa comenzó la semana con un valor por acción de $45$ pesos. Durante los cinco días laborables, sufrió las siguientes variaciones…
Una empresa tecnológica que cotiza en bolsa comenzó la semana con un valor por acción de $45$ pesos. Durante los cinco días laborables, sufrió las siguientes variaciones diarias:
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Lunes: sube $3$ pesos.
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Martes: baja el doble de lo que subió el lunes.
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Miércoles: pierde $4$ pesos.
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Jueves: recupera la mitad de lo perdido entre martes y miércoles.
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Viernes: sube el triple de la variación del lunes.
¿Cuál es el valor final de la acción al cierre del viernes? Expresa todo el proceso mediante una única operación con números enteros.
Un dron submarino de exploración se encuentra sumergido a una profundidad de $-150$ metros respecto al nivel del mar. Realiza los siguientes movimientos: 1. Asciende…
Un dron submarino de exploración se encuentra sumergido a una profundidad de $-150$ metros respecto al nivel del mar. Realiza los siguientes movimientos:
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Asciende $80$ metros para evitar una corriente.
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Desciende el triple de lo que acaba de ascender.
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Vuelve a ascender la mitad de la profundidad a la que se encontraba tras el segundo movimiento.
Calcula la profundidad final del dron y exprésalo con una operación combinada que incluya valores absolutos para las distancias recorridas.
Simplifica la siguiente expresión eliminando paréntesis y utilizando las propiedades del valor absoluto y el opuesto:…
Simplifica la siguiente expresión eliminando paréntesis y utilizando las propiedades del valor absoluto y el opuesto:
$- | -8 + 3 \cdot (-2) | - [ - ( - 10 ) + ( - 4 ) \cdot ( - 3 ) ]$
En un rascacielos muy alto, un operario de mantenimiento se encuentra en el sótano $-4$. Sube $12$ plantas para arreglar un aire acondicionado. Después, baja el doble de…
En un rascacielos muy alto, un operario de mantenimiento se encuentra en el sótano $-4$. Sube $12$ plantas para arreglar un aire acondicionado. Después, baja el doble de plantas de las que subió inicialmente. Finalmente, sube el valor absoluto de la planta en la que se encuentra en ese momento para llegar a su última tarea.
¿En qué planta termina el operario su jornada laboral?
Propiedad distributiva y factor común
La propiedad también se usa al revés: si todos los términos tienen un factor repetido, lo sacás como factor común y te ahorrás cuentas.
Aplica la propiedad distributiva para resolver las siguientes expresiones de dos formas distintas (operando primero el paréntesis y distribuyendo el factor): a)…
Aplica la propiedad distributiva para resolver las siguientes expresiones de dos formas distintas (operando primero el paréntesis y distribuyendo el factor):
- a) $-3 \cdot ( 8 - 12 )$
- b) $5 \cdot [ -4 + ( -6 ) ]$
- c) $( -10 + 2 ) \cdot ( -4 )$
Utiliza la propiedad distributiva de forma inversa (sacar factor común) para calcular de la manera más rápida y sencilla posible el resultado de la siguiente expresión:…
Utiliza la propiedad distributiva de forma inversa (sacar factor común) para calcular de la manera más rápida y sencilla posible el resultado de la siguiente expresión:
$(-12) \cdot 35 + (-12) \cdot (-18) + (-12) \cdot 33$
Una vez extraído el factor común, resuelve el paréntesis y obtén el resultado final.
Términos desconocidos: operaciones inversas
Para hallar un número que falta, deshacés las operaciones en orden inverso, usando la inversa de cada una: la inversa de sumar es restar, la de multiplicar es dividir. Siempre hacés lo mismo en los dos lados de la igualdad; no se «pasan términos».
La misma idea sirve para completar pirámides de sumas: cada casilla es la suma de las dos de abajo. Si te falta un número de la base, usás la resta como inversa. Por ejemplo, si arriba hay $-5$ y abajo a la izquierda $-3$, la casilla de al lado vale $-5 - (-3) = -2$.
Completa los huecos con el número entero correspondiente para que las igualdades sean ciertas: a) $-15 + ( \square ) = -32$ b) $4 \cdot ( \square ) = -36$ c)…
Completa los huecos con el número entero correspondiente para que las igualdades sean ciertas:
- a) $-15 + ( \square ) = -32$
- b) $4 \cdot ( \square ) = -36$
- c) $( \square ) : (-3) = +12$
- d) $-10 - ( \square ) = -4$
Completa los huecos vacíos en esta pirámide de números enteros sabiendo que el valor de cada casilla es igual a la suma de los dos números que tiene justo debajo. Debes…
Completa los huecos vacíos en esta pirámide de números enteros sabiendo que el valor de cada casilla es igual a la suma de los dos números que tiene justo debajo. Debes calcular primero las casillas de la base para poder completar el resto.
Calcula el valor que debe tener la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad. Muestra todos los pasos intermedios de tu razonamiento:…
Calcula el valor que debe tener la incógnita $x$ para que se cumpla la siguiente igualdad. Muestra todos los pasos intermedios de tu razonamiento:
$24 : \{ -2 \cdot [x - (12 - 17)] \} = -3$
Volvé al principio: si Thiago pasa $4$ horas en las cuevas y junta $3$ cristales, su energía final es $150 - 4 \cdot 25 + 3 \cdot 40 = 150 - 100 + 120 = 170$ puntos.