Relación superficie-volumen y regulación de la temperatura
En invierno, en la Antártida, un pingüino emperador aguanta el frío sin problemas, mientras que un colibrí tiene que comer casi sin parar para no congelarse. Los dos mantienen su cuerpo calentito, pero uno lo logra con mucho menos esfuerzo que el otro. ¿Qué tiene que ver el tamaño con eso? Al final de la página vas a poder explicarlo con números.
Homeotermos: mantener la temperatura
Los animales homeotermos (de «sangre caliente») mantienen su temperatura corporal casi constante, aunque afuera haga mucho frío o mucho calor. Los seres humanos, los perros, los pingüinos y las aves en general son homeotermos. Nuestro cuerpo ronda los $37\ \text{°C}$.
Los que no lo son (peces, ranas, lagartos, insectos) tienen una temperatura que cambia con la del ambiente. Por eso la lagartija se queda quieta al sol para «cargarse» de calor.
Mantener $37\ \text{°C}$ cuesta energía. El cuerpo produce calor con su metabolismo: reacciones químicas que usan la energía de los alimentos. Y a la vez pierde calor hacia el ambiente por conducción, convección y radiación (lo viste en la página de transferencia de calor). Para quedar en equilibrio:
El metabolismo basal es la energía por unidad de tiempo que gasta el cuerpo en reposo solo para seguir funcionando (respirar, latir, mantener la temperatura). Esa energía viene de los alimentos y suele medirse en kilocalorías (kcal); recordá que $1\ \text{kcal} \approx 4{,}18\ \text{kJ}$.
Un animal homeotermo es aquel que mantiene su temperatura corporal aproximadamente constante. Explicá con tus palabras qué significa esto y mencioná un ejemplo de animal…
Un animal homeotermo es aquel que mantiene su temperatura corporal aproximadamente constante. Explicá con tus palabras qué significa esto y mencioná un ejemplo de animal homeotermo y uno de animal que no lo sea.
Superficie y volumen de un cuerpo
El calor se pierde a través de la piel, o sea, por la superficie del cuerpo. Pero el calor se produce en todo el cuerpo, o sea, en su volumen. Por eso interesa comparar superficie y volumen.
Para estudiarlo se usan modelos simples. Un animal chiquito se puede imaginar como un cubo de arista $a$:
$$S = 6a^2 \qquad V = a^3$$Las unidades: la superficie va en $\text{cm}^2$ (o $\text{m}^2$) y el volumen en $\text{cm}^3$ (o $\text{m}^3$).
Un cubo de $2\ \text{cm}$ de arista representa, de manera simplificada, el cuerpo de un animal pequeño. Calculá su superficie total y su volumen, e indicá las unidades…
Un cubo de $2\ \text{cm}$ de arista representa, de manera simplificada, el cuerpo de un animal pequeño. Calculá su superficie total y su volumen, e indicá las unidades de cada resultado.
La relación S/V
La relación superficie-volumen es el cociente $S/V$. Dice cuánta superficie (por donde se pierde calor) hay por cada unidad de volumen (donde se produce).
Para un cubo:
$$\frac{S}{V} = \frac{6a^2}{a^3} = \frac{6}{a}$$Cuanto mayor es la arista, menor es $S/V$. Su unidad es $\text{cm}^2/\text{cm}^3 = \text{cm}^{-1}$ (o $\text{m}^{-1}$).
| Arista $a$ | $S$ | $V$ | $S/V$ |
|---|---|---|---|
| $1\ \text{cm}$ | $6\ \text{cm}^2$ | $1\ \text{cm}^3$ | $6\ \text{cm}^{-1}$ |
| $2\ \text{cm}$ | $24\ \text{cm}^2$ | $8\ \text{cm}^3$ | $3\ \text{cm}^{-1}$ |
| $4\ \text{cm}$ | $96\ \text{cm}^2$ | $64\ \text{cm}^3$ | $1{,}5\ \text{cm}^{-1}$ |
| $10\ \text{cm}$ | $600\ \text{cm}^2$ | $1.000\ \text{cm}^3$ | $0{,}6\ \text{cm}^{-1}$ |
Lo mismo pasa con cualquier forma. Para una esfera de radio $r$:
$$\frac{S}{V} = \frac{4\pi r^2}{\frac{4}{3}\pi r^3} = \frac{3}{r}$$(se simplifica $4\pi$ y $r^2$ con $r^3$). Otra vez: más grande, menor $S/V$.
Un cubo de $3\ \text{cm}$ de arista tiene una superficie de $54\ \text{cm}^2$ y un volumen de $27\ \text{cm}^3$. Calculá la relación superficie-volumen $S/V$ y escribí…
Un cubo de $3\ \text{cm}$ de arista tiene una superficie de $54\ \text{cm}^2$ y un volumen de $27\ \text{cm}^3$. Calculá la relación superficie-volumen $S/V$ y escribí qué unidad tiene ese cociente.
Calculá la relación $S/V$ de dos cubos que representan animales de distinto tamaño: uno de $1\ \text{cm}$ de arista y otro de $4\ \text{cm}$ de arista. Compará los…
Calculá la relación $S/V$ de dos cubos que representan animales de distinto tamaño: uno de $1\ \text{cm}$ de arista y otro de $4\ \text{cm}$ de arista. Compará los resultados y explicá cuál de los dos pierde calor más rápido en relación con su volumen, justificando con lo que calculaste.
Una esfera de radio $r$ tiene superficie $S = 4\pi r^2$ y volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Mostrá que $S/V = 3/r$ y calculá $S/V$ para dos esferas de radio…
Una esfera de radio $r$ tiene superficie $S = 4\pi r^2$ y volumen $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Mostrá que $S/V = 3/r$ y calculá $S/V$ para dos esferas de radio $2\ \text{cm}$ y de radio $10\ \text{cm}$. Indicá qué ocurre con la relación al aumentar el radio.
Tamaño y consumo de energía
Juntemos las dos ideas. El calor perdido es aproximadamente proporcional a la superficie. La masa (y la energía que el cuerpo tiene que reponer) es proporcional al volumen. Entonces, el calor perdido por unidad de masa es proporcional a $S/V$.
Resultado: un animal chico pierde más calor por kilogramo que uno grande, y para compensarlo tiene que producir más calor por kilogramo. O sea, tiene un metabolismo basal mayor por unidad de masa y necesita comer más, en proporción a su peso.
Un ratón come cada día una fracción importante de su propia masa. Un elefante, una fracción mucho menor. En kcal por kilo de masa, el ratón gasta muchísimo más.
Un ratón y un elefante son ambos homeotermos. Sin hacer cuentas, explicá cuál de los dos tiene mayor relación superficie-volumen y por qué eso hace que el ratón deba…
Un ratón y un elefante son ambos homeotermos. Sin hacer cuentas, explicá cuál de los dos tiene mayor relación superficie-volumen y por qué eso hace que el ratón deba comer, en proporción a su masa, mucho más que el elefante para mantener su temperatura corporal.
Dos animales homeotermos con forma aproximada de cubo tienen aristas de $5\ \text{cm}$ (animal A) y $20\ \text{cm}$ (animal B). Calculá el cociente $S/V$ de cada uno y…
Dos animales homeotermos con forma aproximada de cubo tienen aristas de $5\ \text{cm}$ (animal A) y $20\ \text{cm}$ (animal B). Calculá el cociente $S/V$ de cada uno y suponé que el calor perdido es proporcional a la superficie, mientras que la masa, y por lo tanto la energía almacenada, es proporcional al volumen. Concluí qué animal necesita consumir más energía por cada kilogramo de masa y relacioná tu conclusión con el metabolismo basal y con la energía que aportan los alimentos, medida en kilocalorías.
Mecanismos de regulación y adaptaciones
Los seres vivos no solo dependen del tamaño: tienen mecanismos para regular el calor que ganan o pierden.
Para perder menos calor (frío):
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Pelaje, plumas y grasa: son aislantes; frenan la conducción y la convección hacia el aire.
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Acurrucarse: reduce la superficie expuesta, o sea, baja la $S/V$ efectiva. Los bebés se abrigan y se acurrucan por lo mismo: tienen $S/V$ alta.
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Tiritar: las contracciones musculares producen calor.
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Cuerpo grande y compacto, con $S/V$ baja.
Para perder más calor (calor):
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Transpiración y evaporación: al evaporarse, el agua se lleva energía de la piel (nosotros sudamos, los perros jadean).
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Superficies grandes y finas: extremidades u orejas grandes, con muchos vasos sanguíneos.
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Cuerpo pequeño o alargado, con $S/V$ alta.
Las plantas también se adaptan: hojas lobuladas o con mucha superficie para disipar calor, o hojas chicas y cerosas donde hay que ahorrar agua.
Un pingüino emperador, que vive en la Antártida, tiene un cuerpo grande y compacto, mientras que un zorro del desierto tiene un cuerpo pequeño y orejas muy grandes.…
Un pingüino emperador, que vive en la Antártida, tiene un cuerpo grande y compacto, mientras que un zorro del desierto tiene un cuerpo pequeño y orejas muy grandes. Analizá ambos casos usando la relación superficie-volumen: explicá cómo cada característica ayuda a regular la temperatura en su ambiente y por qué un animal de clima frío tiende a ser más grande que sus parientes de clima cálido.
Volvé al principio: el pingüino es grande y compacto, con $S/V$ baja, y pierde poco calor por kilo; el colibrí es chiquito, con $S/V$ muy alta, y necesita producir mucho calor y comer casi todo el tiempo.