Leyes de Fourier, Newton y Stefan para el intercambio de calor
En una casa de la Patagonia, en pleno invierno, la estufa está al máximo y aun así el calor se escapa. Mientras tanto, el mate se mantiene caliente horas en el termo y se enfría enseguida en la mesa. ¿Por qué se pierde calor tan rápido en un caso y tan despacio en el otro? ¿Y cómo se puede calcular cuánto se pierde? En esta página vas a usar tres leyes sencillas para responder esas preguntas.
Tres formas de transferir calor
El calor siempre pasa del cuerpo más caliente al más frío. Puede hacerlo de tres maneras:
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Conducción: el calor viaja a través de un material sólido, de partícula en partícula, sin que el material se mueva. Ejemplo: la cuchara de metal que se calienta en la olla.
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Convección: el calor lo lleva un fluido (aire o líquido) que se mueve. Ejemplo: el aire caliente que sube desde una estufa, o el viento que enfría tu cara.
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Radiación: el calor viaja como ondas electromagnéticas y no necesita ningún material. Ejemplo: el Sol que te calienta la cara en un día frío, o una estufa de cuarzo.
En los tres casos el dato que importa es la potencia térmica: cuánta energía se transfiere por cada segundo. Se escribe $\frac{\Delta Q}{\Delta t}$ y se mide en watts ($1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$).
En el diseño de estas leyes, lo que hacemos es usarlas, no deducirlas. Cada una dice de qué depende la potencia y con qué cantidades crece.
Nombrá los tres mecanismos de transferencia de calor y asociá cada uno con la ley que lo describe (Fourier, Newton o Stefan). Dá un ejemplo cotidiano de cada mecanismo,…
Nombrá los tres mecanismos de transferencia de calor y asociá cada uno con la ley que lo describe (Fourier, Newton o Stefan). Dá un ejemplo cotidiano de cada mecanismo, como el mate caliente, una estufa o el Sol.
Conducción: ley de Fourier
Pensá en una pared. Si adentro hace $20\ °\text{C}$ y afuera $0\ °\text{C}$, el calor atraviesa la pared por conducción. ¿De qué depende cuánto pasa por segundo?
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De la diferencia de temperatura $\Delta T$ entre las dos caras: más diferencia, más calor.
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Del área $A$: más superficie, más calor.
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Del espesor $e$: una pared más gruesa deja pasar menos.
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Del material: cada uno conduce distinto. Eso lo mide la conductividad térmica $k$.
El porqué de la fórmula: más diferencia de temperatura empuja más calor; más área da más "caminos"; más espesor es un camino más largo y el calor tarda más en cruzar. Los materiales con $k$ chico (lana de vidrio, telgopor, aire quieto) son aislantes; los de $k$ grande (cobre, aluminio) son conductores.
Una pared de ladrillo tiene un área de $10\ \text{m}^2$ y un espesor de $0{,}20\ \text{m}$. La conductividad térmica del ladrillo es $k = 0{,}8\ \text{W/(m·K)}$. Adentro…
Una pared de ladrillo tiene un área de $10\ \text{m}^2$ y un espesor de $0{,}20\ \text{m}$. La conductividad térmica del ladrillo es $k = 0{,}8\ \text{W/(m·K)}$. Adentro la temperatura es de $20\ °\text{C}$ y afuera de $0\ °\text{C}$. Calculá la potencia térmica que se conduce a través de la pared con la ley de Fourier:
$$\frac{\Delta Q}{\Delta t} = k\,A\,\frac{\Delta T}{e}$$Una ventana de vidrio de $1{,}5\ \text{m}^2$ y $5\ \text{mm}$ de espesor separa un ambiente a $22\ °\text{C}$ del exterior a $2\ °\text{C}$. La conductividad del vidrio…
Una ventana de vidrio de $1{,}5\ \text{m}^2$ y $5\ \text{mm}$ de espesor separa un ambiente a $22\ °\text{C}$ del exterior a $2\ °\text{C}$. La conductividad del vidrio es $k = 0{,}8\ \text{W/(m·K)}$. Considerá que las caras del vidrio están a las temperaturas del ambiente y del exterior.
- a) Calculá la potencia térmica conducida por la ventana.
- b) Calculá la energía perdida en $1$ hora, en $\text{kJ}$.
- c) Si el espesor se duplicara, ¿qué le pasaría a la potencia conducida?
Convección: ley de Newton del enfriamiento
Cuando un cuerpo está en contacto con aire o agua en movimiento, el fluido se calienta junto a la superficie, se lleva el calor y llega fluido nuevo. Cuanto más se mueve el fluido, más rápido se lleva el calor. Eso lo mide el coeficiente de convección $h$.
El porqué: la potencia crece con el área en contacto y con la diferencia de temperatura. $h$ es grande si el fluido se mueve mucho: con viento (o un ventilador), $h$ aumenta y te enfriás más rápido. Por eso la sensación térmica baja cuando sopla el viento patagónico.
| Situación | $h$ aproximado ($\text{W/(m}^2\text{·K)}$) |
|---|---|
| Aire quieto | $5$ a $10$ |
| Aire con viento fuerte | $30$ a $100$ |
| Agua en movimiento | $500$ o más |
Una placa metálica de $0{,}5\ \text{m}^2$ está a $60\ °\text{C}$ y el aire que la rodea está a $20\ °\text{C}$. El coeficiente de convección es…
Una placa metálica de $0{,}5\ \text{m}^2$ está a $60\ °\text{C}$ y el aire que la rodea está a $20\ °\text{C}$. El coeficiente de convección es $h = 10\ \text{W/(m}^2\text{·K)}$. Usá la ley de Newton del enfriamiento, $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = h\,A\,\Delta T$, para calcular la potencia térmica que la placa cede al aire.
Radiación: ley de Stefan-Boltzmann
Todo cuerpo emite radiación, por estar a cierta temperatura. Cuanto más caliente, más emite, y mucho más: la potencia depende de la cuarta potencia de la temperatura absoluta.
Dos cosas importantes:
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La temperatura va en kelvin: $T\ (\text{K}) = T\ (°\text{C}) + 273$. Con grados Celsius la fórmula da cualquier cosa (con $0\ °\text{C}$ daría que no irradia, y no es cierto).
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Potencia neta: el entorno también irradia hacia el cuerpo. Lo que se pierde es la diferencia entre lo que emite y lo que recibe.
El porqué del exponente 4: no lo demostramos, pero tiene una consecuencia muy práctica. Si $T$ se duplica, $T^4$ se multiplica por $2^4 = 16$.
| Si $T$ se multiplica por | La potencia irradiada se multiplica por |
|---|---|
| $2$ | $2^4 = 16$ |
| $3$ | $3^4 = 81$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{16}$ |
Un cuerpo negro de $2\ \text{m}^2$ de superficie está a una temperatura de $500\ \text{K}$. Usá la ley de Stefan-Boltzmann, $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \sigma\,A\,T^4$,…
Un cuerpo negro de $2\ \text{m}^2$ de superficie está a una temperatura de $500\ \text{K}$. Usá la ley de Stefan-Boltzmann, $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \sigma\,A\,T^4$, con $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{·K}^4)$.
- a) Calculá la potencia que irradia.
- b) Si la temperatura se duplicara a $1.000\ \text{K}$, ¿por cuánto se multiplicaría la potencia irradiada? Justificá sin repetir todo el cálculo.
Una estufa tiene una superficie de $0{,}4\ \text{m}^2$ a $400\ \text{K}$ en una habitación cuyas paredes están a $300\ \text{K}$. Suponé que se comporta como un cuerpo…
Una estufa tiene una superficie de $0{,}4\ \text{m}^2$ a $400\ \text{K}$ en una habitación cuyas paredes están a $300\ \text{K}$. Suponé que se comporta como un cuerpo negro y que la potencia neta irradiada es
$$\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \sigma\,A\,(T^4 - T_0^4)$$con $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{·K}^4)$. Calculá la potencia neta que irradia la estufa al ambiente.
Comparar mecanismos y capas de aislante
En una situación real suelen actuar varios mecanismos a la vez. Para saber cuál es el primordial, calculás la potencia de cada uno con las mismas unidades y comparás: el mayor es el que predomina.
Pared con dos capas
Cuando el calor atraviesa dos materiales pegados, en régimen estacionario (las temperaturas ya no cambian) la potencia es la misma en las dos capas. Lo que se reparte entre ellas es la diferencia total de temperatura: $\Delta T_{\text{total}} = \Delta T_1 + \Delta T_2$.
Despejando $\Delta T = \frac{P\,e}{k\,A}$ en cada capa y sumando, queda:
$$P = \frac{A\,\Delta T_{\text{total}}}{\dfrac{e_1}{k_1} + \dfrac{e_2}{k_2}}$$Cada término $e/k$ mide cuánto "se opone" la capa al paso del calor. La capa con $e/k$ más grande se queda con la mayor parte de la caída de temperatura.
Una persona de $1{,}6\ \text{m}^2$ de superficie corporal tiene la piel a $33\ °\text{C}$ y está en una habitación con aire y paredes a $20\ °\text{C}$. Considerá:…
Una persona de $1{,}6\ \text{m}^2$ de superficie corporal tiene la piel a $33\ °\text{C}$ y está en una habitación con aire y paredes a $20\ °\text{C}$. Considerá:
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Convección con el aire: $h = 5\ \text{W/(m}^2\text{·K)}$.
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Radiación hacia las paredes, comportándose como cuerpo negro: $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \text{W/(m}^2\text{·K}^4)$, usando temperaturas en kelvin.
- a) Calculá la potencia perdida por convección.
- b) Calculá la potencia neta perdida por radiación.
- c) Compará ambos valores e indicá qué mecanismo predomina. Explicá qué cambiaría si hubiera viento.
Una casa de la Patagonia tiene una pared de $12\ \text{m}^2$ formada por una capa de ladrillo de $0{,}15\ \text{m}$ ($k = 0{,}8\ \text{W/(m·K)}$) y, pegada a ella, una…
Una casa de la Patagonia tiene una pared de $12\ \text{m}^2$ formada por una capa de ladrillo de $0{,}15\ \text{m}$ ($k = 0{,}8\ \text{W/(m·K)}$) y, pegada a ella, una capa de lana de vidrio de $0{,}05\ \text{m}$ ($k = 0{,}04\ \text{W/(m·K)}$). Adentro hay $20\ °\text{C}$ y afuera $-5\ °\text{C}$. Considerá régimen estacionario.
- a) Calculá la potencia perdida si la pared fuera solo de ladrillo.
- b) Calculá la potencia perdida con las dos capas, recordando que en régimen estacionario la potencia es la misma en ambas capas y que la diferencia total de temperatura se reparte entre ellas.
- c) Calculá la temperatura en la interfaz entre el ladrillo y la lana de vidrio y argumentá por qué conviene colocar aislante aunque sea de poco espesor.
Volvé al principio: el mate dura en el termo porque tiene paredes dobles con vacío y superficies plateadas: casi no hay conducción, ni convección, y la radiación se refleja. En la casa patagónica, una capa de lana de vidrio ($k$ muy chico) reduce muchísimo la conducción y la estufa ya no pelea contra una pérdida tan grande.