Aceleradores de partículas: energías y velocidades
Un televisor antiguo, un tomógrafo del hospital y el tratamiento de radioterapia contra un tumor tienen algo en común: en todos hay partículas aceleradas. ¿Cuánta energía tiene cada una? ¿Es "mucha" o "poca"? ¿Y a qué velocidad van? Vamos a ponerle números a estas preguntas.
Qué es un acelerador y cuánta energía da
Un acelerador de partículas es un aparato que usa un campo eléctrico para darle energía cinética a partículas cargadas (electrones, protones, iones). La partícula sale con mucha más energía que la que tenía al entrar.
Los hay de todos los tamaños. En el tubo de rayos catódicos de un televisor antiguo, los electrones se aceleran en unos pocos centímetros. En un acelerador lineal de uso médico (radioterapia), en un par de metros. En el LHC del CERN, en un anillo de 27 km de largo.
Para estas energías, el joule resulta incómodo: los números son diminutos. Por eso se usa el electronvolt (eV), la unidad propia de estos procesos:
$$1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$$Y sus múltiplos, que van de a mil en mil:
| Unidad | Símbolo | Equivale a |
|---|---|---|
| kiloelectronvolt | keV | $10^{3}$ eV |
| megaelectronvolt | MeV | $10^{6}$ eV |
| gigaelectronvolt | GeV | $10^{9}$ eV |
| teraelectronvolt | TeV | $10^{12}$ eV |
Valores típicos por partícula:
| Dispositivo | Energía por partícula |
|---|---|
| Tubo de rayos catódicos | 20 keV |
| Tomógrafo | 120 keV |
| Acelerador lineal médico | 6 MeV |
| LHC (CERN) | varios TeV |
Ordená de menor a mayor energía por partícula estos dispositivos, con valores típicos: tubo de rayos catódicos de un televisor antiguo: $20\ \text{keV}$; tomógrafo:…
Ordená de menor a mayor energía por partícula estos dispositivos, con valores típicos:
-
tubo de rayos catódicos de un televisor antiguo: $20\ \text{keV}$;
-
tomógrafo: $120\ \text{keV}$;
-
acelerador lineal de uso médico: $6\ \text{MeV}$.
Para eso, expresá todas las energías en eV.
Del electronvolt al joule
Pasar de eV a joule es una multiplicación por $1{,}6\times 10^{-19}$. Siempre en dos pasos: primero llevá todo a eV (con las potencias de 10), después multiplicá.
Respuesta del "tu turno": $20\times10^{3}\cdot1{,}6\times10^{-19} = 3{,}2\times 10^{-15}\ \text{J}$.
También sirve al revés. Si una partícula de carga $q$ se acelera con una diferencia de potencial $V$, gana una energía $q\cdot V$. Para una partícula con la carga de un electrón o de un protón, la energía en eV coincide numéricamente con el voltaje en volts: un electrón acelerado por $20\,000\ \text{V}$ gana $20\,000\ \text{eV} = 20\ \text{keV}$. Por eso el eV es cómoda para estos aparatos.
Un protón sale de un acelerador lineal con una energía de $6{,}25\ \text{MeV}$. Expresá esa energía en joule usando $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$.…
Un protón sale de un acelerador lineal con una energía de $6{,}25\ \text{MeV}$. Expresá esa energía en joule usando $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$. Verificá que el resultado es aproximadamente $10^{-12}\ \text{J}$.
En un tubo de rayos catódicos, un electrón de carga $1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ es acelerado por una diferencia de potencial de $20\,000\ \text{V}$. Con la idea de…
En un tubo de rayos catódicos, un electrón de carga $1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ es acelerado por una diferencia de potencial de $20\,000\ \text{V}$. Con la idea de que la energía ganada en eV coincide numéricamente con el voltaje, calculá:
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la energía del electrón en eV y en keV;
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la energía en joule.
Después, indicá si esa energía es mayor o menor que la de un electrón en un tomógrafo de $120\ \text{keV}$ y por cuántas veces.
Energía grande, energía chica
$10^{-12}\ \text{J}$ parece nada. ¿Y los "MeV"? Depende de con qué lo comparés.
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Para una partícula, 6 MeV es enorme: es millones de veces la energía de una molécula agitándose por el calor del ambiente (alrededor de $0{,}03\ \text{eV}$).
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Para un objeto cotidiano, es ínfima. Una pelota de fútbol de $0{,}4\ \text{kg}$ que se mueve a $10\ \text{m/s}$ tiene $E_c=\tfrac12\cdot0{,}4\cdot10^{2}=20\ \text{J}$. Eso son $20/10^{-12}=2\times10^{13}$ veces la energía de un protón de $6{,}25$ MeV.
La clave: las partículas son livianísimas. Un protón pesa $1{,}67\times10^{-27}\ \text{kg}$. Una energía mínima ya lo pone a una velocidad altísima.
Un protón y un bloque de madera tienen la misma energía cinética. Sin hacer cuentas, indicá cuál de los dos se mueve a mayor velocidad y justificá tu respuesta usando la…
Un protón y un bloque de madera tienen la misma energía cinética. Sin hacer cuentas, indicá cuál de los dos se mueve a mayor velocidad y justificá tu respuesta usando la relación entre energía cinética, masa y velocidad.
Un instituto de investigación de Buenos Aires compara tres dispositivos con electrones o protones de estas energías: tubo de rayos catódicos: $20\ \text{keV}$;…
Un instituto de investigación de Buenos Aires compara tres dispositivos con electrones o protones de estas energías:
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tubo de rayos catódicos: $20\ \text{keV}$;
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tomógrafo: $120\ \text{keV}$;
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acelerador lineal: $6{,}25\ \text{MeV}$.
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Calculá cuántas veces mayor es la energía del acelerador lineal respecto de la del tubo y de la del tomógrafo.
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Expresá las tres energías en joule con $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$.
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Explicá por qué, aunque estas energías son enormes para una sola partícula, resultan minúsculas comparadas con la energía de un objeto cotidiano, por ejemplo un alfajor de $50\ \text{g}$ que cae desde $1\ \text{m}$ de altura (considerá $g = 10\ \text{m/s}^2$).
Velocidad de un protón y de un bloque
Con la misma energía cinética, ¿quién va más rápido: un protón o un bloque? La relación es
$$E_c=\tfrac12 m v^{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}$$Si la energía es igual, a menor masa, mayor velocidad. Fijate además que la masa está dentro de la raíz: para que la velocidad se reduzca a la mitad, la masa tiene que ser 4 veces mayor.
Respuesta del "tu turno": $3{,}5\times10^{7}/1{,}4\times10^{-6}\approx 2{,}5\times10^{13}$ veces. Con la misma energía, la masa tan chica del protón (unas $10^{27}$ veces menor) lo hace muchísimo más veloz.
Un protón de masa $1{,}67\times 10^{-27}\ \text{kg}$ tiene una energía cinética de $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Con la expresión clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$,…
Un protón de masa $1{,}67\times 10^{-27}\ \text{kg}$ tiene una energía cinética de $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Con la expresión clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, calculá su velocidad en $\text{m/s}$. Compará el resultado con la velocidad de la luz, $3\times 10^{8}\ \text{m/s}$, y expresalo como porcentaje de ella.
Un bloque de $1\ \text{kg}$ tiene la misma energía cinética que el protón del ejercicio anterior, $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Calculá la velocidad del bloque y compará…
Un bloque de $1\ \text{kg}$ tiene la misma energía cinética que el protón del ejercicio anterior, $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Calculá la velocidad del bloque y compará su valor con la del protón, que es de unos $3{,}5\times 10^{7}\ \text{m/s}$. Calculá cuántas veces es mayor la velocidad del protón e interpretá el resultado.
Cuándo deja de valer la fórmula clásica
$E_c=\tfrac12mv^{2}$ es una buena aproximación mientras la partícula va mucho más lenta que la luz. Hay un criterio práctico: compará la energía cinética con la energía en reposo de la partícula ($E=mc^{2}$). Para un protón, esa energía es de unos $938\ \text{MeV}$.
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Si $E_c\ll 938\ \text{MeV}$: la fórmula clásica sirve.
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Si $E_c$ es comparable o mayor: no sirve.
¿Y qué pasa si el protón sigue ganando energía? Su velocidad se acerca a $c=3\times10^{8}\ \text{m/s}$ pero nunca la alcanza: la energía sigue creciendo y la velocidad casi no cambia. Con la fórmula clásica, el doble de energía daría $\sqrt2$ veces la velocidad, y eso en un acelerador de alta energía no ocurre. En el LHC, los protones de TeV van a una velocidad apenas por debajo de $c$.
La energía en reposo de un protón es de unos $938\ \text{MeV}$. La fórmula clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$ solo es una buena aproximación si la energía cinética es…
La energía en reposo de un protón es de unos $938\ \text{MeV}$. La fórmula clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$ solo es una buena aproximación si la energía cinética es mucho menor que la energía en reposo.
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Calculá qué fracción de su energía en reposo representa la energía cinética de un protón de $6{,}25\ \text{MeV}$ y la de un protón de $1\ \text{GeV}$.
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Con esos resultados, argumentá en cuál de los dos casos es razonable usar la fórmula clásica y en cuál no.
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Explicá qué le ocurre a la velocidad de un protón que sigue ganando energía en un acelerador cuando ya se acerca a la velocidad de la luz.
Volviendo al principio: el tubo del televisor tiene 20 keV, el tomógrafo 120 keV y el acelerador médico unos 6 MeV por partícula. En joules son valores diminutos, pero para partículas livianísimas significan velocidades de miles de kilómetros por segundo.