Ejercicios: Aceleradores de partículas: energías y velocidades

Ordená de menor a mayor energía por partícula estos dispositivos, con valores típicos:

• tubo de rayos catódicos de un televisor antiguo: $20\ \text{keV}$;

• tomógrafo: $120\ \text{keV}$;

• acelerador lineal de uso médico: $6\ \text{MeV}$.

Para eso, expresá todas las energías en eV.

Un protón sale de un acelerador lineal con una energía de $6{,}25\ \text{MeV}$. Expresá esa energía en joule usando $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$. Verificá que el resultado es aproximadamente $10^{-12}\ \text{J}$.

Un protón y un bloque de madera tienen la misma energía cinética. Sin hacer cuentas, indicá cuál de los dos se mueve a mayor velocidad y justificá tu respuesta usando la relación entre energía cinética, masa y velocidad.

Un protón de masa $1{,}67\times 10^{-27}\ \text{kg}$ tiene una energía cinética de $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Con la expresión clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$, calculá su velocidad en $\text{m/s}$. Compará el resultado con la velocidad de la luz, $3\times 10^{8}\ \text{m/s}$, y expresalo como porcentaje de ella.

Un bloque de $1\ \text{kg}$ tiene la misma energía cinética que el protón del ejercicio anterior, $1\times 10^{-12}\ \text{J}$. Calculá la velocidad del bloque y compará su valor con la del protón, que es de unos $3{,}5\times 10^{7}\ \text{m/s}$. Calculá cuántas veces es mayor la velocidad del protón e interpretá el resultado.

En un tubo de rayos catódicos, un electrón de carga $1{,}6\times 10^{-19}\ \text{C}$ es acelerado por una diferencia de potencial de $20\,000\ \text{V}$. Con la idea de que la energía ganada en eV coincide numéricamente con el voltaje, calculá:

1. la energía del electrón en eV y en keV;

2. la energía en joule.

Después, indicá si esa energía es mayor o menor que la de un electrón en un tomógrafo de $120\ \text{keV}$ y por cuántas veces.

Un instituto de investigación de Buenos Aires compara tres dispositivos con electrones o protones de estas energías:

• tubo de rayos catódicos: $20\ \text{keV}$;

• tomógrafo: $120\ \text{keV}$;

• acelerador lineal: $6{,}25\ \text{MeV}$.

• Calculá cuántas veces mayor es la energía del acelerador lineal respecto de la del tubo y de la del tomógrafo.

• Expresá las tres energías en joule con $1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$.

• Explicá por qué, aunque estas energías son enormes para una sola partícula, resultan minúsculas comparadas con la energía de un objeto cotidiano, por ejemplo un alfajor de $50\ \text{g}$ que cae desde $1\ \text{m}$ de altura (considerá $g = 10\ \text{m/s}^2$).

La energía en reposo de un protón es de unos $938\ \text{MeV}$. La fórmula clásica $E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}$ solo es una buena aproximación si la energía cinética es mucho menor que la energía en reposo.

1. Calculá qué fracción de su energía en reposo representa la energía cinética de un protón de $6{,}25\ \text{MeV}$ y la de un protón de $1\ \text{GeV}$.

2. Con esos resultados, argumentá en cuál de los dos casos es razonable usar la fórmula clásica y en cuál no.

3. Explicá qué le ocurre a la velocidad de un protón que sigue ganando energía en un acelerador cuando ya se acerca a la velocidad de la luz.