Razones y proporciones

Calcula el valor de la razón de cada par de cantidades e interpreta el resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerezas cuestan $\$10,50$.

1. b) Una grava ciclista recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.

1. c) Una botella contiene $2\ \text{L}$ y un bidón, $25\ \text{L}$.

Dos varillas metálicas miden $8\ \text{dm}$ y $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcula la razón entre la longitud de la primera y la de la segunda, y simplifícala.

1. b) Calcula la razón entre la segunda y la primera.

1. c) ¿Cómo son entre sí las dos razones obtenidas? ¿Ocurre siempre?

Un mapa de carreteras está dibujado a escala $1 : 300.000$.

1. a) Explica el significado de esa razón.

1. b) ¿Qué distancia real representan $5\ \text{cm}$ del mapa?

1. c) Dos pueblos distan $21\ \text{km}$ en la realidad. ¿A qué distancia están en el mapa?

Una lanzadora de jabalina entrena con una señal situada a $60\ \text{m}$ y tarda $4,8\ \text{s}$ en recorrer esa distancia en su carrera de impulso.

1. a) Calcula la razón entre la distancia y el tiempo, en $\text{m/s}$.

1. b) Exprésala en $\text{km/h}$.

1. c) ¿Es correcto calcular la razón entre $60\ \text{m}$ y $4,8\ \text{s}$ sin fijarse en las unidades? ¿Por qué hay que indicarlas siempre al interpretar una razón?

Comprueba, calculando el producto de extremos y el producto de medios, si los siguientes pares de razones forman una proporción:

1. a) $\frac{6}{4}$ y $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ y $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2,5}{4}$ y $\frac{5}{8}$

Con los números $3$, $6$, $4$ y $8$, forma:

1. a) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los extremos.

1. b) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los medios.

1. c) Comprueba en ambas que el producto de extremos es igual al producto de medios.

Halla el cuarto proporcional en cada caso:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$

1. b) $\frac{5}{x} = \frac{15}{21}$

1. c) $\frac{8}{6} = \frac{20}{x}$

Halla el valor de $x$ en estas proporciones:

1. a) $\frac{x}{2,4} = \frac{7}{4,8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1,5}{4,5} = \frac{x}{13,5}$

Halla el medio proporcional en cada caso, es decir, el valor positivo de $x$ que cumple la proporción continua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Una alumna afirma lo siguiente:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, entonces también se cumple $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque solo he cambiado el orden de los números.»

1. a) Comprueba si la primera igualdad es una proporción verdadera.

1. b) Comprueba si la segunda igualdad también es cierta. ¿Ha acertado?

1. c) La regla correcta dice que en una proporción se pueden permutar los medios o permutar los extremos. Aplícala a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ y escribe dos proporciones equivalentes verdaderas.

Un carpintero fabrica marcos cuya parte decorativa central es un cuadrado. Para que el marco guarde la misma proporción en todos los tamaños, el lado $x$ del cuadrado debe ser el medio proporcional entre el ancho interior y el ancho exterior del marco.

1. a) Para un marco con ancho interior de $9\ \text{cm}$ y ancho exterior de $25\ \text{cm}$, plantea la proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ y halla el lado del cuadrado.

1. b) Comprueba que las dos razones valen lo mismo.

1. c) Si el ancho interior es de $8\ \text{cm}$ y el cuadrado decorativo mide $12\ \text{cm}$ de lado, ¿cuál es el ancho exterior del marco?

Dos comarcas vinícolas comparan su producción. La comarca A cosecha $4.500\ \text{t}$ de uva en $1.800\ \text{ha}$ de viñedo; la comarca B, $6.240\ \text{t}$ en $2.400\ \text{ha}$.

1. a) Calcula la razón entre la producción y la superficie en cada comarca, con su unidad.

1. b) ¿Cuál de las dos obtiene mayor rendimiento por hectárea?

1. c) Si la comarca A aumentara su superficie a $2.000\ \text{ha}$ manteniendo el rendimiento, ¿qué producción esperaría?

El Partenón de Atenas se diseñó buscando la proporción áurea: la razón entre el lado mayor y el menor de sus rectángulos es aproximadamente $\frac{8}{5} = 1,6$.

1. a) Una ventana mide $1,92\ \text{m}$ de alto y $1,20\ \text{m}$ de ancho. Calcula la razón entre sus lados. ¿Está en proporción áurea?

1. b) Otra ventana mide $2\ \text{m}$ de alto. ¿Cuánto debe medir de ancho para que la razón entre el alto y el ancho sea $1,6$?

1. c) Mide en tu casa tres rectángulos cotidianos (una puerta, un libro, una pantalla) y comprueba si alguno se acerca a la proporción áurea.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa, suponiendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción verdadera. Justifícalo usando el producto de extremos y medios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»

Se quiere construir un cuadrado que tenga exactamente el mismo área que un rectángulo de $9\ \text{cm}$ por $16\ \text{cm}$, como se muestra en la figura.

1. a) Si el lado del cuadrado es $x$, plantea la ecuación $x^2 = 9 \cdot 16$.

1. b) Reescribe la ecuación como una proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{16}$. ¿Qué es $x$ respecto a $9$ y $16$?

1. c) Calcula $x$ y comprueba que las áreas coinciden.

1. d) ¿Cuál sería el lado del cuadrado equivalente a un rectángulo de $5\ \text{cm}$ por $45\ \text{cm}$?

Tarea de decisión. Una tienda de electrónica anuncia tres monitores como «panorámicos 16:9», es decir, con una razón entre el ancho y el alto de $\frac{16}{9} \approx 1,78$. Las medidas reales del panel de cada modelo son:

• Modelo 1: $53\ \text{cm}$ de ancho y $30\ \text{cm}$ de alto.

• Modelo 2: $62\ \text{cm}$ de ancho y $34\ \text{cm}$ de alto.

• Modelo 3: $71\ \text{cm}$ de ancho y $40\ \text{cm}$ de alto.

1. a) Calcula la razón ancho/alto de cada modelo con dos decimales.

1. b) ¿Qué modelos cumplen de verdad la proporción 16:9 (admite un error de $0,02$)?

1. c) Un cliente quiere colocar el monitor en un hueco de $65\ \text{cm}$ de ancho y $38\ \text{cm}$ de alto. ¿Qué modelo, de los que cumplen la proporción, cabe en el hueco? Justifica tu decisión con cálculos.