Suma y producto de polinomios

Completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio:

Un "streamer" cobra una parte fija de $50$ dólares por cada transmisión en vivo y, además, recibe $2$ dólares por cada nueva suscripción ($s$) y $0,5$ dólares por cada "donación" ($d$).

1. Escribe la expresión algebraica (polinomio) que representa sus ingresos totales en un día.

2. Si en una transmisión en vivo consigue $20$ suscripciones y $40$ donaciones, ¿cuánto dinero ganó en total?

Dados los polinomios $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ y $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, realiza las siguientes operaciones agrupando los términos semejantes:

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Halla el polinomio que expresa el perímetro de la siguiente figura geométrica (un "L-block" de un videojuego). Recuerda que el perímetro es la suma de todos sus lados.

En la tienda de aplicaciones "AppZ", los ingresos mensuales por la venta de una suscripción premium vienen dados por el polinomio $I(x) = 10x^2 + 50x$, donde $x$ es el número de meses desde el lanzamiento. Por otro lado, los gastos de mantenimiento se expresan como $G(x) = 2x^2 - 10x + 100$.

1. a) Halla el polinomio $B(x)$ que representa los beneficios netos de la empresa ($Beneficio = Ingresos - Gastos$).
2. b) Si la empresa decide invertir en publicidad un extra equivalente al producto de $(x + 5) \cdot (x - 2)$, que supone un gasto adicional, ¿cuál sería el nuevo polinomio de beneficios totales?

En un festival de música, la recaudación total depende del número de abonos vendidos, representado por la variable $x$. Se han determinado las siguientes funciones polinómicas:

• Ingresos por entradas: $I(x) = 3x^2 + 50x - 100$

• Gastos de logística y seguridad: $G(x) = 2x^2 - 15x + 500$

• Gastos de marketing: $M(x) = 10x + 1200$

Si el beneficio neto del festival se calcula restando todos los gastos a los ingresos, obtén el polinomio simplificado $B(x)$ que representa el beneficio. Una vez obtenido, calcula el beneficio real si se venden $x = 100$ abonos.

Realiza los siguientes productos de monomios, aplicando las propiedades de las potencias:

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Aplica la propiedad distributiva para calcular el área del siguiente rectángulo, expresando el resultado como un polinomio:

Reduce las siguientes expresiones polinómicas combinando sumas, restas y productos sencillos:

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

En una tienda de ropa, el precio de un suéter viene dado por el polinomio $P(x) = 2x^2 + 10$, donde $x$ es una variable logística. Si compramos $3x$ suéteres:

1. ¿Cuál es el polinomio que expresa el costo total de la compra?

2. Si para un valor de $x=2$, el precio de un suéter es en dólares, ¿cuánto costarán los $3x$ suéteres para ese mismo valor?

Dados los polinomios $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ y $Q(x) = -x^2 + 2x - 7$, realiza las siguientes operaciones combinadas y simplifica el polinomio resultante:

1. a) $2 \cdot P(x) + 3 \cdot Q(x)$
2. b) $P(x) - [Q(x) + (x^2 - 1)]$
3. c) $3x \cdot Q(x) + 5x^2$

Aplica la propiedad distributiva para multiplicar los siguientes polinomios y reduce los términos semejantes:

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

Una empresa que fabrica tablets ha diseñado un nuevo modelo cuya pantalla tiene las dimensiones mostradas en la siguiente figura. El borde exterior (marco) tiene una anchura constante de $2$ cm en todos sus lados.

1. a) Expresa mediante un polinomio el área total de la tablet (incluyendo el marco).
2. b) Determina el polinomio que representa el área exclusiva de la pantalla (zona sombreada).
3. c) Calcula el polinomio que representa el área del marco de la tablet.

Calcula el perímetro de la siguiente figura geométrica en función de la variable $x$, expresando el resultado como un polinomio reducido.

Un estudio de arquitectura diseña una plaza rectangular que contiene una fuente central circular y una zona ajardinada. El área total de la plaza está definida por el producto de su base $b(x) = 3x + 5$ y su altura $h(x) = 2x - 1$. Si el área de la fuente viene dada por el polinomio $F(x) = x^2 + 2x + 1$, obtén el polinomio que representa el área de la zona ajardinada (el espacio restante de la plaza).

Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas para transformarlas en un producto de un monomio por un polinomio:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Calcula el polinomio resultante de la siguiente expresión utilizando los productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por su diferencia):

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Simplifica al máximo el resultado final.

Determina el valor del coeficiente $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre polinomios:

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Una vez hallado $k$, realiza el producto $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ y escribe el polinomio resultante en forma decreciente según sus grados.

Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado al máximo, ordenando el polinomio de forma decreciente según su grado:

Ten especial cuidado con el desarrollo de la identidad notable y el signo negativo que afecta al corchete.

Desarrolla y simplifica la siguiente expresión que involucra tres variables distintas ($x$, $y$, $z$). Este tipo de expresiones son comunes en fórmulas de física y modelos de datos:

Representa el resultado final como un polinomio reducido. ¿Qué observas respecto a los términos cruzados (como $xy$ o $xz$)?

Dados los polinomios $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ y $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ sabiendo que al sumarlos se obtiene el polinomio identidad $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Justifica tu respuesta comparando los coeficientes de los términos del mismo grado.

Considera dos polinomios cualesquiera, $A(x)$ de grado $n$ y $B(x)$ de grado $m$. Si sabemos que el grado del producto $A(x) \cdot B(x)$ es $7$ y que el grado de la expresión $(A(x) + B(x))^2$ es $8$, ¿cuáles son los grados individuales de $A(x)$ y $B(x)$? Razona tu respuesta basándote en las propiedades del grado de la suma y el producto de polinomios.

Encuentra el polinomio $P(x)$ de segundo grado tal que cumpla las siguientes tres condiciones simultáneamente:

1. Su coeficiente principal es $3$.

2. Carece de término independiente.

3. Al multiplicarlo por el binomio $(x - 2)$, el coeficiente del término de grado $2$ del producto resultante es igual a $-4$.

Una empresa de mensajería utiliza cajas cuyas dimensiones (en cm) están en progresión aritmética y dependen de una variable $x$:

• Ancho: $x - 2$

• Largo: $x + 1$

• Alto: $x + 4$

Halla el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja. Posteriormente, halla el polinomio $S(x)$ que representa el área total de las seis caras de la caja. Simplifica ambas expresiones.