Probabilidades
Si lanzas una moneda 10 veces, puede salir cara 7 veces. Pero si la lanzas 10.000 veces, es muy probable que la proporción de caras ande cerca de la mitad. Esa estabilidad cuando se repite muchas veces es lo que mide la probabilidad. Al final de la página podrás calcularla en juegos de azar, sorteos y hasta con la camionetica que llega tarde al liceo.
Azar y probabilidad
Hay que distinguir dos ideas que se suelen confundir:
-
El azar es que el resultado de una prueba concreta no se puede predecir: no sabes si la próxima tirada va a ser cara o sello.
-
La probabilidad es la medida, un número entre 0 y 1, de qué tan esperable es un suceso cuando el experimento se repite muchas veces.
El azar vale para una sola prueba; la probabilidad describe el comportamiento a largo plazo. Con una moneda no puedes predecir la próxima tirada, pero sí sabes que en muchísimas tiradas la mitad serán caras.
Experimentos aleatorios y espacio muestral
Un experimento es aleatorio si no se puede predecir su resultado aunque se repita en las mismas condiciones (tirar un dado, sortear un número). Es determinista si el resultado está determinado de antemano (el agua destilada hierve a 100 °C al nivel del mar).
El espacio muestral $E$ es el conjunto de todos los resultados posibles. Cada resultado es un suceso elemental; un suceso compuesto reúne varios.
Clasifica los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas justificando brevemente tu respuesta: a) Observar si mañana lloverá en tu ciudad. b) Medir el…
Clasifica los siguientes experimentos como aleatorios o deterministas justificando brevemente tu respuesta:
- a) Observar si mañana lloverá en tu ciudad.
- b) Medir el tiempo que tarda una piedra en caer desde un segundo piso.
- c) Anotar el número premiado en el próximo sorteo de la lotería.
- d) Saber la temperatura a la que hierve el agua destilada a nivel del mar.
Dispones de la siguiente ruleta de la fortuna dividida en ocho sectores iguales. Si la haces girar y anotas el color resultante: a) Escribe el espacio muestral $E$. b)…
Dispones de la siguiente ruleta de la fortuna dividida en ocho sectores iguales. Si la haces girar y anotas el color resultante:
- a) Escribe el espacio muestral $E$.
- b) Indica dos eventos elementales.
- c) Escribe los elementos del evento compuesto $A$: "caer en un color primario" (considerando como tales el rojo, el azul y el amarillo).
Frecuencia relativa y ley de los grandes números
Si repites un experimento $N$ veces y el suceso $A$ ocurre $f$ veces, su frecuencia relativa es $\frac{f}{N}$. Al aumentar $N$, la frecuencia relativa se estabiliza alrededor de un valor: la probabilidad de $A$.
Lanza el dado muchas veces y observa cómo las barras se acercan a la línea naranja:
Cuando no hay simetría (una chincheta, un dado trucado) no se pueden contar casos: se experimenta muchas veces y se toma la frecuencia relativa como estimación de la probabilidad.
Se ha lanzado un chinche muchas veces para observar si cae con la punta hacia arriba o hacia abajo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: | Lanzamientos |…
Se ha lanzado un chinche muchas veces para observar si cae con la punta hacia arriba o hacia abajo. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
| Lanzamientos | $50$ | $100$ | $500$ | $1000$ |
|---|---|---|---|---|
| Punta hacia arriba | $18$ | $32$ | $155$ | $312$ |
- a) Calcula la frecuencia relativa del evento "caer con la punta hacia arriba" para cada columna.
- b) Basándote en la Ley de los Grandes Números, ¿qué valor le asignarías a la probabilidad de que el chinche caiga con la punta hacia arriba?
Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo sistema de recompensas. Ha programado un cofre virtual que, al abrirse, utiliza un algoritmo para decidir el…
Un desarrollador de videojuegos está probando un nuevo sistema de recompensas. Ha programado un cofre virtual que, al abrirse, utiliza un algoritmo para decidir el premio. Según los datos de los últimos $2000$ cofres abiertos por los jugadores, se han obtenido los siguientes resultados:
-
Objeto común: $1240$ veces.
-
Objeto raro: $680$ veces.
-
Objeto legendario: $80$ veces.
- a) Calcula la probabilidad empírica (frecuencia relativa) de obtener un objeto legendario.
- b) Si el desarrollador afirma que la probabilidad teórica de obtener un objeto raro o legendario es del $40\%$, ¿crees que el algoritmo está funcionando correctamente según la Ley de los Grandes Números? Razona tu respuesta comparando las probabilidades.
- c) Si un jugador abre dos cofres seguidos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos contengan un objeto común? (Asume que los eventos son independientes).
La regla de Laplace
Cuando todos los resultados son igual de probables (dado sin trucar, mazo bien mezclado, bolas iguales en un bombo):
$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}}$$Prueba con un bombo de 6 bolas rojas y 6 azules: ¿cuántas extracciones necesitas para que las frecuencias se acerquen a $\frac{1}{2}$?
En un bolso deportivo hay $6$ balones de fútbol, $4$ de baloncesto y $2$ de balonmano. Si sacamos un balón al azar para empezar el entrenamiento, calcula la probabilidad…
En un bolso deportivo hay $6$ balones de fútbol, $4$ de baloncesto y $2$ de balonmano. Si sacamos un balón al azar para empezar el entrenamiento, calcula la probabilidad de los siguientes eventos aplicando la regla de Laplace:
- a) $P(\text{balón de fútbol})$
- b) $P(\text{balón de baloncesto})$
- c) $P(\text{balón que no sea de balonmano})$
Un juego de mesa utiliza un dado con forma de dodecaedro (12 caras iguales) numerado del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de obtener: a) Un número primo. b) Un…
Un juego de mesa utiliza un dado con forma de dodecaedro (12 caras iguales) numerado del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de obtener:
- a) Un número primo.
- b) Un múltiplo de $4$.
- c) Un número mayor que $9$.
Extraemos una carta de una baraja española de $40$ naipes. Halla la probabilidad de los siguientes eventos: a) Sacar el Rey de Copas. b) Sacar un "as". c) Sacar una…
Extraemos una carta de una baraja española de $40$ naipes. Halla la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Sacar el Rey de Copas.
- b) Sacar un "as".
- c) Sacar una carta que sea del palo de Oros.
- d) Sacar una carta que sea una "figura" (Sota, Caballo o Rey).
En una lista de reproducción de un servicio de música por streaming, Lucas tiene 40 canciones de diferentes géneros: 12 son de Pop, 8 de Rock, 15 de Trap y 5 de Indie.…
En una lista de reproducción de un servicio de música por streaming, Lucas tiene 40 canciones de diferentes géneros: 12 son de Pop, 8 de Rock, 15 de Trap y 5 de Indie. Si Lucas selecciona la opción de "reproducción aleatoria", calcula la probabilidad de que la primera canción que suene:
- a) Sea de Trap.
- b) No sea de Indie.
- c) Sea de Pop o de Rock.
En un bombo de lotería hay 100 bolas numeradas del 00 al 99. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída termine en 7? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un…
En un bombo de lotería hay 100 bolas numeradas del 00 al 99.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída termine en 7?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un número comprendido entre 20 y 35 (ambos incluidos)?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un número par ni múltiplo de 10?
Propiedades de la probabilidad
Sucesos compatibles, incompatibles y complementarios
-
Dos sucesos son compatibles si pueden ocurrir a la vez (tienen algún resultado en común). Ejemplo: al tirar un dado, «salir par» y «salir mayor que 3» son compatibles: el 4 y el 6 cumplen ambos.
-
Son incompatibles (o excluyentes) si no pueden ocurrir a la vez. Ejemplo: «salir par» y «salir 5».
-
Son complementarios si son incompatibles y entre los dos cubren todo el espacio muestral. Ejemplo: «salir par» y «salir impar». El complementario de $A$ se escribe $A^c$.
Un servicio de meteorología anuncia que la probabilidad de que mañana nieve en la sierra es de $0,35$. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no nieve? b) Si el evento $A$…
Un servicio de meteorología anuncia que la probabilidad de que mañana nieve en la sierra es de $0,35$.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que no nieve?
- b) Si el evento $A$ es "que nieve", ¿cómo se llama el evento de no nieve respecto a $A$?
- c) Expresa ambas probabilidades en forma de porcentaje.
Lanzamos un dado para juegos de rol con forma de dodecaedro (12 caras numeradas del 1 al 12). Definimos los siguientes eventos: $A = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$…
Lanzamos un dado para juegos de rol con forma de dodecaedro (12 caras numeradas del 1 al 12). Definimos los siguientes eventos:
$A = \text{"Obtener un múltiplo de 3"}$
$B = \text{"Obtener un número mayor que 7"}$
Calcula las siguientes probabilidades:
- a) $P(A)$
- b) $P(B)$
- c) $P(A \cap B)$
- d) $P(A \cup B)$
Tablas de doble entrada y condicional
Cuando los datos se cruzan según dos características, una tabla de doble entrada permite leer probabilidades contando casos. Por ejemplo, en una sección de 3.er año con 40 estudiantes:
| TikTok | Total | ||
|---|---|---|---|
| Chicos | 12 | 6 | 18 |
| Chicas | 10 | 12 | 22 |
| Total | 22 | 18 | 40 |
La probabilidad de elegir una chica es $\frac{22}{40}$ y la de elegir un chico que prefiere TikTok es $\frac{12}{40}$.
Primer acercamiento a la probabilidad condicional
Si te dicen «sabiendo que es chico», el universo se achica: ya no miras los 40, sino solo la fila de los chicos. La probabilidad de que prefiera Instagram, sabiendo que es chico, es $\frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.
Lo mismo sirve con datos de conjuntos: si de 100 personas 60 usan A, 50 usan B y 20 usan ambas, se completa una tabla con «usa / no usa» y se lee directamente.
En un salón de 3er año se realizó una encuesta sobre la red social preferida para seguir a influencers. Los resultados se muestran en la siguiente tabla: | | TikTok |…
En un salón de 3er año se realizó una encuesta sobre la red social preferida para seguir a influencers. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
| TikTok | TOTAL | ||
|---|---|---|---|
| Chicos | 12 | 6 | 18 |
| Chicas | 10 | 12 | 22 |
| TOTAL | 22 | 18 | 40 |
Si elegimos a un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Sea una chica.
- b) Prefiera Instagram.
- c) Sea un chico que prefiera TikTok.
- d) Sabiendo que es chico, prefiera Instagram.
Se ha realizado un estudio sobre el uso de redes sociales en un liceo de $300$ alumnos. Los resultados son los siguientes: $180$ alumnos usan Instagram. $130$ alumnos…
Se ha realizado un estudio sobre el uso de redes sociales en un liceo de $300$ alumnos. Los resultados son los siguientes:
-
$180$ alumnos usan Instagram.
-
$130$ alumnos usan TikTok.
-
$40$ alumnos no usan ninguna de las dos redes.
Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Use ambas redes sociales.
- b) Use Instagram pero no TikTok.
- c) Sabiendo que el alumno usa TikTok, ¿cuál es la probabilidad de que también use Instagram?
En un juego de mesa, se lanzan dos dados cúbicos de seis caras. Un jugador gana si la diferencia positiva entre las puntuaciones de los dos dados es un número primo. a)…
En un juego de mesa, se lanzan dos dados cúbicos de seis caras. Un jugador gana si la diferencia positiva entre las puntuaciones de los dos dados es un número primo.
- a) Construye una tabla de doble entrada para mostrar todas las posibles diferencias.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar el juego?
- c) ¿Es más probable obtener una diferencia que sea número primo o una diferencia que sea múltiplo de $3$? Justifica tu respuesta calculando ambas probabilidades.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Contar casos: variaciones, combinaciones y permutaciones
Para aplicar Laplace hay que contar casos favorables y posibles, y a veces son demasiados para listarlos. Para eso se usan técnicas de conteo.
El factorial de un número natural $n$ es $n! = n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1$, y se define $0! = 1$. Por ejemplo, $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.
Un examen tipo test consta de $4$ preguntas con $3$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder a…
Un examen tipo test consta de $4$ preguntas con $3$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder a todas las preguntas al azar.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente dos preguntas?
- c) Si para aprobar necesita acertar al menos $3$ preguntas, ¿qué probabilidad tiene de aprobar el examen?
En una caja de música hay $12$ púas de guitarra: $5$ son de color rojo, $4$ de color azul y $3$ de color negro. Si extraemos tres púas de la caja, una tras otra y sin…
En una caja de música hay $12$ púas de guitarra: $5$ son de color rojo, $4$ de color azul y $3$ de color negro. Si extraemos tres púas de la caja, una tras otra y sin devolución, calcula:
- a) La probabilidad de que las tres púas sean del mismo color.
- b) La probabilidad de que la primera sea roja, la segunda azul y la tercera negra, en ese orden exacto.
- c) La probabilidad de que al menos una de las púas extraídas sea negra.
Experimentos compuestos
En experimentos de varias etapas se usa un diagrama de árbol con las probabilidades en las ramas:
-
La probabilidad de un camino es el producto de las probabilidades de sus ramas.
-
Si varios caminos llevan al suceso, se suman.
Cuando el experimento es simple, como lanzar una moneda y una ruleta, el espacio muestral se arma combinando cada resultado de la primera etapa con cada uno de la segunda.
Con reposición y sin reposición
-
Con reposición (se devuelve lo extraído): las etapas son independientes y las probabilidades de las ramas no cambian.
-
Sin reposición: al sacar, cambian las cantidades; en la segunda etapa hay un elemento menos (y uno menos del tipo que salió).
Etapas que dependen una de otra
A veces la probabilidad de la segunda etapa depende de lo que pasó en la primera (por ejemplo, un jugador que juega mejor después de ganar). Las ramas de la segunda etapa llevan entonces probabilidades distintas según la rama de la que salen, y se multiplica igual a lo largo del camino.
Repetir una prueba varias veces: «exactamente k éxitos»
Cuando se repite la misma prueba $n$ veces de forma independiente (preguntas contestadas al azar, tiros de una moneda), el árbol crece mucho, pero la idea es la misma:
-
Todos los caminos con la misma cantidad de éxitos tienen la misma probabilidad (se multiplican los mismos factores, solo en otro orden).
-
Se cuentan cuántos caminos hay con $k$ éxitos: son las formas de elegir en qué pruebas ocurren (listándolos o con $C_{n,k}$).
-
Se multiplica la cantidad de caminos por la probabilidad de uno.
Si cada prueba tiene probabilidad $p$ de éxito y $1-p$ de fracaso, un camino con $k$ éxitos y $n-k$ fracasos vale $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$, y hay $C_{n,k}$ caminos. Para «al menos uno», conviene el complementario: $1 - P(\text{ninguno})$.
Lanzamos al aire dos monedas de $1$ dólar y observamos el resultado de las caras superiores. a) Dibuja el diagrama de árbol para este experimento. b) Escribe el espacio…
Lanzamos al aire dos monedas de $1$ dólar y observamos el resultado de las caras superiores.
- a) Dibuja el diagrama de árbol para este experimento.
- b) Escribe el espacio muestral completo.
- c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos «cruces»?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Se lanza una moneda y una ruleta dividida en 5 sectores iguales numerados del 1 al 5. a) Escribe el espacio muestral de este experimento compuesto. b) ¿Cuál es la…
Se lanza una moneda y una ruleta dividida en 5 sectores iguales numerados del 1 al 5.
- a) Escribe el espacio muestral de este experimento compuesto.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener "Cara" y un número par?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener "Cruz" y un número menor que 5?
En un bolso deportivo hay 5 franelas blancas y 3 franelas negras. Si extraemos dos franelas al azar y de forma consecutiva sin devolver la primera al bolso, calcula la…
En un bolso deportivo hay 5 franelas blancas y 3 franelas negras. Si extraemos dos franelas al azar y de forma consecutiva sin devolver la primera al bolso, calcula la probabilidad de que:
- a) Ambas sean blancas.
- b) Sean de distinto color.
- c) La segunda sea negra, sabiendo que la primera fue blanca.
Un estudiante ha comprobado que el autobús para ir al liceo llega tarde 4 de cada 10 días por culpa del tráfico. Si para ir al liceo debe tomar dos autobuses diferentes…
Un estudiante ha comprobado que el autobús para ir al liceo llega tarde 4 de cada 10 días por culpa del tráfico. Si para ir al liceo debe tomar dos autobuses diferentes que funcionan de manera independiente, calcula:
- a) La probabilidad de que ambos autobuses lleguen a su hora.
- b) La probabilidad de que al menos uno de los dos autobuses llegue tarde.
En un torneo de videojuegos, un jugador tiene una probabilidad de $0,6$ de ganar la primera partida. Si gana la primera, su confianza aumenta y la probabilidad de ganar…
En un torneo de videojuegos, un jugador tiene una probabilidad de $0,6$ de ganar la primera partida. Si gana la primera, su confianza aumenta y la probabilidad de ganar la segunda es de $0,7$. Sin embargo, si pierde la primera, la probabilidad de ganar la segunda baja a $0,3$.
Ayúdate de un diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que:
- a) Gane las dos partidas.
- b) Gane al menos una de las dos partidas.
Dos equipos de E-sports, los "Pixels" y los "Lag-Killers", juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (gana el primero que consiga dos victorias). Por…
Dos equipos de E-sports, los "Pixels" y los "Lag-Killers", juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (gana el primero que consiga dos victorias). Por estadísticas previas, sabemos que en cada partida individual, los "Pixels" tienen una probabilidad de ganar de $P(P) = 0,6$, mientras que los "Lag-Killers" tienen $P(L) = 0,4$. No hay posibilidad de empate.
Utiliza un diagrama de árbol para calcular:
- a) La probabilidad de que los "Pixels" ganen el torneo en solo dos partidas.
- b) La probabilidad de que el torneo se decida en la tercera partida.
- c) La probabilidad total de que los "Lag-Killers" remonten y ganen el torneo.
En un proyecto de reforestación escolar, tenemos dos maceteros con semillas. El macetero $A$ contiene $4$ semillas de roble y $6$ de pino. El macetero $B$ contiene $5$…
En un proyecto de reforestación escolar, tenemos dos maceteros con semillas. El macetero $A$ contiene $4$ semillas de roble y $6$ de pino. El macetero $B$ contiene $5$ semillas de roble y $3$ de pino.
Realizamos el siguiente experimento: extraemos una semilla al azar del macetero $A$ y la pasamos al macetero $B$ sin mirarla. Luego, extraemos una semilla del macetero $B$.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que la semilla extraída de $B$ sea de roble?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas semillas extraídas (la que pasamos de $A$ a $B$ y la de $B$) sean de la misma especie?
Un examen tipo test consta de $4$ preguntas con $3$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder a…
Un examen tipo test consta de $4$ preguntas con $3$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder a todas las preguntas al azar.
- a) ¿Cuál es la probabilidad de que no acierte ninguna pregunta?
- b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente dos preguntas?
- c) Si para aprobar necesita acertar al menos $3$ preguntas, ¿qué probabilidad tiene de aprobar el examen?
En una caja de música hay $12$ púas de guitarra: $5$ son de color rojo, $4$ de color azul y $3$ de color negro. Si extraemos tres púas de la caja, una tras otra y sin…
En una caja de música hay $12$ púas de guitarra: $5$ son de color rojo, $4$ de color azul y $3$ de color negro. Si extraemos tres púas de la caja, una tras otra y sin devolución, calcula:
- a) La probabilidad de que las tres púas sean del mismo color.
- b) La probabilidad de que la primera sea roja, la segunda azul y la tercera negra, en ese orden exacto.
- c) La probabilidad de que al menos una de las púas extraídas sea negra.
Probabilidad geométrica
Por ejemplo, en un cuadrado de lado $10$ m con un círculo de radio $3$ m adentro, la probabilidad de caer en el círculo es $\frac{\pi \cdot 3^2}{10^2} = \frac{9\pi}{100} \approx 0{,}28$.
Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes en una zona rural. El área de aterrizaje es un cuadrado de $10$ metros de lado. Debido a la imprecisión…
Una empresa de mensajería utiliza drones para entregar paquetes en una zona rural. El área de aterrizaje es un cuadrado de $10$ metros de lado. Debido a la imprecisión del sensor de viento, el paquete puede caer en cualquier punto del cuadrado con la misma probabilidad. Dentro de ese cuadrado, se ha pintado un círculo de seguridad de $3$ metros de radio. Si el paquete cae fuera del círculo, el dron debe aterrizar de nuevo por seguridad.
- a) Calcula la probabilidad de que un paquete caiga dentro del círculo de seguridad en el primer intento.
- b) Si el dron realiza dos entregas independientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas caiga fuera del círculo? (Usa $\pi \approx 3,14$).
Resumen
Vuelve al principio: con pocas tiradas la moneda puede dar 7 caras de 10, pero con muchísimas la frecuencia se acerca a $\frac{1}{2}$, que es su probabilidad.