Notación científica

Calcula el valor de las siguientes potencias. Presta mucha atención al uso de los paréntesis y al signo de la base, ya que es uno de los errores más comunes en este tema.

1. a) $2^4$
2. b) $(-2)^4$
3. c) $-2^4$
4. d) $(-3)^3$
5. e) $-3^3$
6. f) $5^0$

Observa la siguiente imagen que representa geométricamente la diferencia entre $2^2$ y $2^3$. ¿Podrías dibujar en tu cuaderno cómo se representaría $3^2$?

Utiliza las propiedades de las potencias para simplificar las siguientes expresiones y dejarlas como una única potencia. No hace falta que calcules el resultado final, solo expresa la potencia resultante.

Recuerda que:

• Para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes.

• Para dividir potencias de la misma base, restamos los exponentes.

• Para elevar una potencia a otra potencia, multiplicamos los exponentes.

1. a) $3^5 \cdot 3^2$
2. b) $7^8 : 7^3$
3. c) $(2^3)^4$
4. d) $x^4 \cdot x \cdot x^2$
5. e) $\frac{5^7}{5^2}$
6. f) $(10^2)^3 \cdot 10^4$

Transforma las siguientes potencias de exponente negativo en fracciones con exponente positivo, y viceversa. Calcula el valor final cuando sea posible.

Este ejercicio te ayudará a manejar con soltura la propiedad $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. a) $2^{-3}$
2. b) $5^{-2}$
3. c) $\frac{1}{3^2}$
4. d) $10^{-1}$
5. e) $\frac{1}{2^{-4}}$
6. f) $(\frac{2}{3})^{-2}$

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Si alguna es falsa, escribe la expresión correcta en tu cuaderno.

1. a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$
2. b) $3^{-2} = -9$
3. c) $(5^2)^3 = 5^6$
4. d) $\frac{a^5}{a^5} = 0$
5. e) $4^2 \cdot 3^2 = 12^2$

Simplifica las siguientes expresiones utilizando las propiedades de las potencias y expresa el resultado final como una única potencia de exponente positivo.

1. a) $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^7}$
2. b) $(5^3 \cdot 5^{-4})^{-2}$
3. c) $\frac{2^4 \cdot (2^3)^2}{2^{-2}}$

En nuestro día a día, y especialmente en la tecnología, utilizamos números muy grandes. Escribe en notación científica las siguientes cantidades relacionadas con las redes sociales e internet.

Recuerda que la notación científica tiene la forma $a \cdot 10^n$, donde $1 \le a < 10$.

1. a) Número de visualizaciones del video más visto del mes: 12.500.000 visualizaciones.
2. b) Cantidad de bytes en un Terabyte (TB): 1.000.000.000.000 bytes.
3. c) Número aproximado de usuarios de una red social: 2.900.000.000 usuarios.
4. d) Tu edad en segundos (aproximadamente, calculando 14 años): 441.500.000 segundos.

Ahora vamos a trabajar con lo muy pequeño. La biología y la física utilizan la notación científica para medir cosas que no podemos ver a simple vista.

Escribe en notación científica las siguientes medidas:

1. a) El diámetro de un glóbulo rojo: 0,0000075 metros.
2. b) El tamaño aproximado de un virus de la gripe: 0,00000012 metros.
3. c) La masa de un grano de polvo fino: 0,00000067 gramos.
4. d) El tiempo que tarda la luz en recorrer un metro: 0,0000000033 segundos.

Observa la imagen para visualizar la escala microscópica:

Convierte los siguientes números dados en notación científica a su forma decimal (número estándar).

1. a) $3,5 \cdot 10^4$
2. b) $1,2 \cdot 10^6$
3. c) $5,4 \cdot 10^{-3}$
4. d) $8,9 \cdot 10^{-5}$

En el estudio de las ciencias naturales nos encontramos con longitudes extremadamente grandes y extremadamente pequeñas. A continuación se presentan cuatro longitudes reales, todas expresadas en metros:

• Diámetro del virus de la gripe: $0,00000012$ m

• Grosor de un cabello humano: $0,00007$ m

• Diámetro de la Tierra: $12742000$ m

• Distancia de la Tierra al Sol: $149600000000$ m

Tu tarea consiste en:

1. a) Escribir cada una de las longitudes en notación científica.

1. b) Ordenarlas de menor a mayor.

Ordena los siguientes números de menor a mayor. Para ello, fíjate bien en el exponente de la potencia de 10. Si los exponentes son iguales, compara el número decimal.

$$ 3,2 \cdot 10^5 \quad ; \quad 1,5 \cdot 10^6 \quad ; \quad 8,9 \cdot 10^4 \quad ; \quad 3,1 \cdot 10^5 $$

Utiliza el símbolo $<$ para escribir la respuesta final.

Un influencer está analizando las estadísticas de sus redes sociales para ver el crecimiento de su audiencia.

• En Instagram tiene $1,25 \cdot 10^5$ seguidores.

• En TikTok tiene $8,4 \cdot 10^4$ seguidores.

• En YouTube tiene $2,1 \cdot 10^5$ suscriptores.

1. a) Calcula el número total de seguidores sumando las tres plataformas. Expresa el resultado en notación científica.
2. b) Si espera que su audiencia total crezca un $10\%$ el próximo mes, ¿cuántos seguidores tendrá en total?

La velocidad de la luz en el vacío es, aproximadamente, $3 \cdot 10^8$ m/s. Una nave espacial envía una señal de radio desde Marte a la Tierra. Si en ese momento la distancia entre ambos planetas es de $2,25 \cdot 10^8$ km:

1. a) Expresa la distancia en metros usando notación científica.
2. b) Calcula cuánto tiempo (en segundos) tarda la señal en llegar a la Tierra.
3. c) Expresa ese tiempo en minutos.

(Recuerda que la velocidad $v$, el espacio $e$ y el tiempo $t$ se relacionan mediante $e = v \cdot t$).

Una molécula de agua ($H_2O$) está formada por dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno. Las masas de estos átomos son aproximadamente:

• Masa átomo Hidrógeno: $1,67 \cdot 10^{-24}$ g

• Masa átomo Oxígeno: $2,66 \cdot 10^{-23}$ g

1. a) Para poder sumar las masas, expresa la masa del átomo de oxígeno como un número multiplicado por $10^{-24}$.
2. b) Calcula la masa total de una sola molécula de agua ($2 \times \text{Hidrógeno} + 1 \times \text{Oxígeno}$). Expresa el resultado final en notación científica.

Un servicio de almacenamiento en la nube ofrece a sus usuarios 2 TB (Terabytes) de espacio. Sabiendo que las equivalencias aproximadas en el sistema informático son:

• $1 \text{ TB} = 10^{12} \text{ bytes}$

• $1 \text{ GB} = 10^9 \text{ bytes}$

• $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$

Si un usuario tiene una colección de fotos donde cada foto ocupa una media de 4 MB:

1. a) ¿Cuántos bytes totales de almacenamiento tiene disponible el usuario? Expresalo en notación científica.
2. b) ¿Cuántas fotos aproximadamente puede guardar en su nube antes de llenarla?

El cuerpo humano contiene aproximadamente $3,7 \cdot 10^{13}$ células. Se estima que cada célula tiene una masa media de $2 \cdot 10^{-9}$ gramos.

1. a) Calcula la masa total de las células de una persona en gramos.
2. b) Convierte el resultado anterior a kilogramos.
3. c) Si una bacteria pesa $10$ veces menos que una célula humana, ¿cuál es la masa de una bacteria en notación científica?

Un embalse cúbico tiene una arista de $4 \cdot 10^2$ metros.

1. a) Calcula el volumen del embalse en metros cúbicos ($m^3$) y expresa el resultado en notación científica.
2. b) Sabiendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, calcula la capacidad total del embalse en litros, expresada también en notación científica.
3. c) Si el embalse está lleno solo al $50\%$, ¿cuántos litros de agua contiene?

La sonda espacial Voyager 1 es el objeto creado por el ser humano que más lejos ha llegado. Imagina que se encuentra a una distancia aproximada de $2,3 \cdot 10^{10}$ kilómetros de la Tierra.

Si la sonda envía una señal de radio hacia nosotros, y sabiendo que las señales viajan a la velocidad de la luz ($3 \cdot 10^5$ km/s):

1. a) Calcula cuánto tiempo (en segundos) tarda la señal en llegar a la Tierra. Expresa el resultado en notación científica.
2. b) Convierte ese tiempo a horas y exprésalo como un número decimal redondeado a dos cifras decimales.

En el mundo de la informática, las unidades de almacenamiento crecen rápidamente. Un servidor de datos tiene una capacidad total de almacenamiento de 4 Petabytes.

Sabiendo que:

• $1 \text{ Petabyte (PB)} = 10^{15} \text{ bytes}$

• Una fotografía de alta calidad ocupa una media de $8 \text{ Megabytes (MB)}$, donde $1 \text{ MB} = 10^6 \text{ bytes}$.

Calcula cuántas fotografías de alta calidad caben en dicho servidor. Expresa el resultado final en notación científica.

El cuerpo humano de un adulto medio tiene aproximadamente $3,72 \cdot 10^{13}$ células. Si asumimos que, en promedio, una célula humana tiene una masa de $1,8 \cdot 10^{-9}$ gramos:

1. a) Calcula la masa total de todas las células en gramos.
2. b) Convierte el resultado a kilogramos.
3. c) Si una persona pesa 75 kg, ¿qué porcentaje aproximado de su peso total corresponde a la masa celular calculada? (Nota: el resto sería agua extracelular, minerales óseos, etc.).

Tenemos un depósito cúbico gigante destinado a almacenar agua para riego. La arista de este depósito mide $2^5$ metros.

1. a) Expresa el volumen del depósito en metros cúbicos utilizando una única potencia de base 2.
2. b) Sabiendo que $1 \text{ m}^3 = 1000 \text{ litros}$, expresa la capacidad total del depósito en litros utilizando notación científica.
3. c) Si el depósito está lleno hasta la mitad, ¿cuántos litros contiene? Expresa el resultado como potencia de base 2 multiplicada por una potencia de base 10.

Realiza las siguientes operaciones combinadas con notación científica sin usar la calculadora para los pasos intermedios. Debes ajustar los exponentes para poder sumar o restar y aplicar las propiedades para multiplicar o dividir. Expresa el resultado final en notación científica correctamente normalizada.

$$ \frac{(3,2 \cdot 10^{-4}) + (1,8 \cdot 10^{-3})}{2 \cdot 10^{-2}} \cdot (4 \cdot 10^6) $$

Reto del tema. Una hoja de papel tiene un grosor aproximado de $10^{-4}$ metros. Imagina que pudiéramos doblar la hoja por la mitad tantas veces como quisiéramos.

1. a) Escribe una expresión en forma de potencia que indique el grosor del mazo de papel tras realizar $n$ dobleces.

1. b) Si lográsemos doblar la hoja 42 veces (algo físicamente imposible, pero matemáticamente calculable), ¿cuál sería el grosor del mazo en kilómetros? Expresa el resultado en notación científica.

1. c) Compara el resultado con la distancia media de la Tierra a la Luna ($3,84 \cdot 10^5$ km). ¿El grosor del mazo superaría esta distancia?

Simplifica la siguiente expresión algebraica utilizando las propiedades de las potencias. Debes descomponer las bases en factores primos, operar y expresar el resultado final como una fracción irreducible con exponentes positivos. No es necesario calcular el valor numérico final, solo la potencia simplificada.

$$ \frac{15^{-2} \cdot 4^3 \cdot (-3)^4}{(-10)^2 \cdot (2^{-2})^{-3} \cdot 9^{-1}} $$

Halla el valor de $x$ en la siguiente ecuación exponencial utilizando las propiedades de las potencias. Para ello, expresa todos los números como potencias de la misma base (base 3).

$$ \frac{3^x \cdot 9^2}{27^{-1}} = \left( \frac{1}{3} \right)^{-5} $$