El volumen y la capacidad
Valentina compra un envase de jugo de 1 L en el almacén del barrio y se pregunta: ¿cuánto «lugar» ocupa ese envase y cuánto jugo entra adentro? ¿Es lo mismo? ¿Y cómo medirías el lugar que ocupa una piedra o una llave, que no tienen una forma «linda»? Vamos a responderlo paso a paso.
Qué es el volumen
Todo cuerpo ocupa un lugar en el espacio. Ese espacio que ocupa es su volumen. Dos cuerpos no pueden ocupar el mismo lugar al mismo tiempo: si metés una piedra en un vaso con agua, el agua tiene que «hacerle lugar».
Un $1\ \text{cm}^3$ es el volumen de un cubito de $1\ \text{cm}$ de arista (más o menos, un dado chico). Medir un volumen es contar cuántos cubitos así entran en el cuerpo.
Un cubo de madera tiene $4\ \text{cm}$ de arista. Calculá su volumen y expresá el resultado en $\text{cm}^3$. Escribí la fórmula que usás antes de reemplazar los datos.
Un cubo de madera tiene $4\ \text{cm}$ de arista. Calculá su volumen y expresá el resultado en $\text{cm}^3$. Escribí la fórmula que usás antes de reemplazar los datos.
Sólidos regulares: fórmulas sencillas
Un sólido es regular si tiene una forma geométrica conocida. Entonces podés medir sus dimensiones con una regla o cinta métrica y usar una fórmula.
| Cuerpo | Fórmula |
|---|---|
| Cubo de arista $a$ | $V = a \cdot a \cdot a = a^3$ |
| Prisma rectangular (caja) | $V = \text{largo} \cdot \text{ancho} \cdot \text{alto}$ |
| Cilindro de radio $r$ y altura $h$ | $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ |
| Esfera de radio $r$ | $V = \dfrac{4}{3}\,\pi\, r^3$ |
¿Por qué se multiplica? La base tiene cierta cantidad de cuadraditos, y la altura dice cuántas «capas» iguales se apilan. Por eso en el prisma: (área de la base) · (altura).
Una caja con forma de prisma rectangular mide $10\ \text{cm}$ de largo, $5\ \text{cm}$ de ancho y $2\ \text{cm}$ de alto. Calculá su volumen e indicá la unidad en que lo…
Una caja con forma de prisma rectangular mide $10\ \text{cm}$ de largo, $5\ \text{cm}$ de ancho y $2\ \text{cm}$ de alto. Calculá su volumen e indicá la unidad en que lo expresás. Luego decí si ese valor corresponde al espacio que ocupa la caja o a la cantidad de líquido que puede contener, y por qué.
Una piscina inflable tiene forma de cilindro de $2\ \text{m}$ de diámetro y se llena con agua hasta una altura de $0{,}5\ \text{m}$. Para el cálculo usá…
Una piscina inflable tiene forma de cilindro de $2\ \text{m}$ de diámetro y se llena con agua hasta una altura de $0{,}5\ \text{m}$. Para el cálculo usá $\pi \approx 3{,}14$.
- a) Calculá el volumen de agua en $\text{m}^3$.
- b) Expresá ese volumen en litros.
- c) Si una canilla entrega $20\ \text{L}$ por minuto, ¿cuánto tiempo demora en llenarse?
Sólidos irregulares: desplazamiento de agua
¿Y una piedra, una llave o una tuerca? No hay fórmula sencilla. Entonces usamos que un cuerpo sumergido desplaza un volumen de líquido igual al suyo.
Procedimiento con una probeta:
-
Poné agua en la probeta y leé el volumen inicial ($V_i$).
-
Sumergí el cuerpo completamente, con cuidado de que no salpique.
-
Leé el volumen final ($V_f$).
-
El volumen del cuerpo es $V = V_f - V_i$.
Al leer la probeta, ubicá los ojos a la altura del nivel y leé la parte baja de la curva del agua (el menisco). Fijate también en la resolución de la probeta: si las marcas están cada $1\ \text{mL}$, no podés asegurar décimas.
Joaquín tiene una probeta con $60\ \text{mL}$ de agua. Introduce una piedra pequeña que se hunde completamente y el nivel sube hasta $85\ \text{mL}$. a) Calculá el…
Joaquín tiene una probeta con $60\ \text{mL}$ de agua. Introduce una piedra pequeña que se hunde completamente y el nivel sube hasta $85\ \text{mL}$.
- a) Calculá el volumen de la piedra y expresalo en $\text{cm}^3$.
- b) Explicá por qué este método sirve para sólidos irregulares y no se pueden aplicar fórmulas geométricas.
- c) ¿Qué pasaría con la lectura si la piedra flotara en el agua? ¿Hay que tomar alguna precaución?
Micaela quiere averiguar el volumen de una llave de metal y de una pelota de ping-pong. En una probeta de $100\ \text{mL}$ con $50\ \text{mL}$ de agua introduce la llave…
Micaela quiere averiguar el volumen de una llave de metal y de una pelota de ping-pong. En una probeta de $100\ \text{mL}$ con $50\ \text{mL}$ de agua introduce la llave y el nivel llega a $56\ \text{mL}$. Luego quiere hacer lo mismo con la pelota, que flota.
- a) Calculá el volumen de la llave.
- b) Explicá por qué el procedimiento anterior no sirve directamente para la pelota y proponé una forma de medir su volumen por desplazamiento.
- c) Si la pelota es una esfera de $4\ \text{cm}$ de diámetro, ¿podrías calcular su volumen con una fórmula? Indicá cuál es y planteá el cálculo con $\pi \approx 3{,}14$, sin necesidad de hacer toda la operación si no querés.
Volumen y capacidad
Los dos conceptos se parecen pero no son lo mismo:
Una botella de $1{,}5\ \text{L}$ tiene capacidad de $1{,}5\ \text{L}$. Si está llena hasta la mitad, su capacidad sigue siendo la misma, pero el volumen de refresco que contiene es de $0{,}75\ \text{L}$. Además, el vidrio o plástico de la botella también tiene su propio volumen, distinto de lo que cabe adentro.
Por eso, una caja que por fuera mide $10 \times 5 \times 2\ \text{cm}$ ocupa $100\ \text{cm}^3$, pero su capacidad es algo menor porque las paredes tienen espesor. En los ejercicios, salvo que diga otra cosa, suponé paredes muy finas.
El volumen se suele expresar en $\text{cm}^3$ o $\text{m}^3$ y la capacidad en L o mL, pero ambas son medidas de espacio, así que se pueden expresar en cualquiera de las unidades.
Agustín dice: «Una botella de $1{,}5\ \text{L}$ de refresco tiene un volumen de $1{,}5\ \text{L}$, pero también podríamos decir que su capacidad es…
Agustín dice: «Una botella de $1{,}5\ \text{L}$ de refresco tiene un volumen de $1{,}5\ \text{L}$, pero también podríamos decir que su capacidad es $1.500\ \text{cm}^3$». Analizá la afirmación.
- a) ¿Es correcto usar litros y centímetros cúbicos para esta botella? Justificá.
- b) Si la botella está llena hasta la mitad, ¿cambia su capacidad? ¿Y el volumen de refresco que contiene? Explicá.
Una heladera tiene en su interior forma de prisma de $50\ \text{cm}$ de ancho, $60\ \text{cm}$ de profundidad y $140\ \text{cm}$ de alto. Facundo dice que «caben unos…
Una heladera tiene en su interior forma de prisma de $50\ \text{cm}$ de ancho, $60\ \text{cm}$ de profundidad y $140\ \text{cm}$ de alto. Facundo dice que «caben unos $420$ litros». Su hermana Martina dice que en realidad la capacidad útil es menor, porque dentro hay estantes, cajones y el motor ocupa lugar.
- a) Calculá el volumen del prisma en $\text{cm}^3$ y expresalo en litros.
- b) ¿Quién tiene razón? Argumentá diferenciando volumen del recipiente, capacidad y espacio realmente disponible.
- c) Si los estantes y cajones ocupan $60\ \text{L}$, calculá la capacidad útil y explicá cómo cambiaría tu respuesta anterior.
Equivalencias entre unidades
Las equivalencias que tenés que saber:
| Equivalencia | Se lee |
|---|---|
| $1\ \text{mL} = 1\ \text{cm}^3$ | un mililitro es un centímetro cúbico |
| $1\ \text{L} = 1000\ \text{mL}$ | un litro tiene mil mililitros |
| $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$ | un litro es un cubo de 10 cm de arista |
| $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$ | un metro cúbico son mil litros |
¿Por qué $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$? Un cubo de $10\ \text{cm}$ de arista tiene $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\ \text{cm}^3$, y ese cubo es $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$.
Los gases también ocupan volumen, pero cambia con la temperatura y la presión; por eso, al comparar lecturas de gases hay que decir en qué condiciones se midieron. Con líquidos y sólidos, en cambio, el efecto es muy chico en este nivel.
Completá las equivalencias escribiendo el valor que falta: a) $1\ \text{L} = \ldots\ \text{mL}$ b) $1\ \text{mL} = \ldots\ \text{cm}^3$ c)…
Completá las equivalencias escribiendo el valor que falta:
- a) $1\ \text{L} = \ldots\ \text{mL}$
- b) $1\ \text{mL} = \ldots\ \text{cm}^3$
- c) $1\ \text{m}^3 = \ldots\ \text{L}$
Además, explicá en una frase la diferencia entre volumen y capacidad.
Una piscina inflable tiene forma de cilindro de $2\ \text{m}$ de diámetro y se llena con agua hasta una altura de $0{,}5\ \text{m}$. Para el cálculo usá…
Una piscina inflable tiene forma de cilindro de $2\ \text{m}$ de diámetro y se llena con agua hasta una altura de $0{,}5\ \text{m}$. Para el cálculo usá $\pi \approx 3{,}14$.
- a) Calculá el volumen de agua en $\text{m}^3$.
- b) Expresá ese volumen en litros.
- c) Si una canilla entrega $20\ \text{L}$ por minuto, ¿cuánto tiempo demora en llenarse?
Volvé al principio: el envase de 1 L de jugo tiene una capacidad de $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$; el volumen que ocupa el envase por fuera es algo mayor, porque incluye el cartón. Y para la piedra o la llave, el truco es medir cuánta agua desplazan.