Regla de Laplace
En la bolsa del equipo de fútbol del centro escolar hay 5 bolas rojas y 3 azules para sortear quién saca primero. Si sacás una al azar, ¿qué es más fácil que salga, una roja o una azul? Lo notás a simple vista, pero con Matemática podés decirlo con un número exacto.
Casos favorables y casos posibles
Cuando todos los resultados de una experiencia son igual de probables (un dado sin trucar, las cartas de una baraja, bolas idénticas salvo el color), se puede usar la regla de Laplace:
$$P(A) = \frac{\text{número de casos favorables a } A}{\text{número de casos posibles}}$$Probá con distintas cantidades de bolas y mirá cómo las frecuencias se acercan a la probabilidad calculada:
Se lanza un dado justo. Calculá la probabilidad de cada evento: a) Sacar un $3$. b) Sacar un número par. c) Sacar un número mayor que $4$. d) No sacar un $6$.
Se lanza un dado justo. Calculá la probabilidad de cada evento:
a) Sacar un $3$.
b) Sacar un número par.
c) Sacar un número mayor que $4$.
d) No sacar un $6$.
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de: a) Sacar bola roja. b) Sacar bola verde. c)…
De la bolsa de la figura, que contiene $5$ bolas rojas y $3$ verdes, se extrae una bola al azar.
Calcula la probabilidad de:
a) Sacar bola roja.
b) Sacar bola verde.
c) Sacar bola amarilla.
En una sección de $2.º$ grado hay $14$ chicas y $16$ chicos. Se elige una persona al azar para leer en voz alta. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica? b) ¿Y…
En una sección de $2.º$ grado hay $14$ chicas y $16$ chicos. Se elige una persona al azar para leer en voz alta.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica?
b) ¿Y de que sea un chico?
El suceso contrario
Asigná su probabilidad a cada evento y explicá por qué: a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$. b) Al lanzar un dado, sacar un $8$. c) Al extraer una carta…
Asigná su probabilidad a cada evento y explicá por qué:
a) Al lanzar un dado, sacar un número menor que $7$.
b) Al lanzar un dado, sacar un $8$.
c) Al extraer una carta de una baraja española, que sea de oros, copas, espadas o bastos.
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros? b) Si $P(A) = 0.35$, ¿cuánto vale la probabilidad…
a) Si la probabilidad de sacar oros en una baraja española es $\frac{1}{4}$, ¿cuál es la probabilidad de no sacar oros?
b) Si $P(A) = 0.35$, ¿cuánto vale la probabilidad del evento complementario de $A$?
c) En una urna solo hay bolas rojas, azules y verdes. Si la probabilidad de sacar bola roja es $\frac{2}{7}$ y la de sacar bola azul es $\frac{3}{7}$, ¿cuál es la probabilidad de sacar bola verde?
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) No sea blanca. b) Sea blanca o azul. c) Sea…
En una bolsa hay $5$ bolas rojas, $3$ azules y $2$ blancas. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) No sea blanca.
b) Sea blanca o azul.
c) Sea amarilla.
d) No sea amarilla.
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) De fresa. b) De limón o de menta. c) Que no sea de…
El gráfico muestra los caramelos que hay en una bolsa. Se extrae uno al azar.
Calcula la probabilidad de que sea:
a) De fresa.
b) De limón o de menta.
c) Que no sea de manzana.
d) De naranja.
Más casos con cartas, números y tablas
Muchos problemas se reducen a contar bien (en la baraja, un as es la carta con el número 1). La baraja española tiene $40$ cartas: $4$ palos (oros, copas, espadas y bastos) con $10$ cartas cada uno (del $1$ al $7$, más sota, caballo y rey). Las figuras son $12$ y los ases son $4$.
Cuando un suceso es «A o B», contá cada caso favorable una sola vez: si una carta cumple las dos condiciones, no la repitas.
A veces la incógnita es la cantidad de casos posibles. Planteá una ecuación con la fórmula de Laplace y resolvela.
Para contar números con ciertas cifras, escribí la lista completa del rango y marcá los que cumplen. Con números del $000$ al $199$ hay $200$ casos posibles; los que empiezan por $1$ son los del $100$ al $199$, es decir $100$, y $P = \dfrac{100}{200} = \dfrac{1}{2}$.
Las tablas de doble entrada también sirven para datos reales de un grupo. Cuando te dicen «sabiendo que…», el total ya no es todo el grupo: los casos posibles son solo los que cumplen esa condición.
Se escriben las letras de la palabra PROBABILIDAD en tarjetas y se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea: a) Una vocal. b) La letra B. c) Una consonante.
Se escriben las letras de la palabra PROBABILIDAD en tarjetas y se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Una vocal.
b) La letra B.
c) Una consonante.
Se lanza un dado correcto. Calcula la probabilidad de sacar: a) Un múltiplo de $3$. b) Un número primo. c) Un número menor que $7$. d) Un número mayor que $6$.
Se lanza un dado correcto. Calcula la probabilidad de sacar:
a) Un múltiplo de $3$.
b) Un número primo.
c) Un número menor que $7$.
d) Un número mayor que $6$.
Se elige al azar una ficha de un dominó completo de $28$ fichas. Calcula la probabilidad de que sea: a) El $6$ doble. b) Una ficha doble cualquiera (hay $7$). c) Una…
Se elige al azar una ficha de un dominó completo de $28$ fichas. Calcula la probabilidad de que sea:
a) El $6$ doble.
b) Una ficha doble cualquiera (hay $7$).
c) Una ficha que contenga el número $0$ (hay $7$).
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea: a) De oros o una figura. b) De copas o un as. c) Ni figura ni as. d) Del…
Se extrae una carta de una baraja española de $40$ cartas. Calculá la probabilidad de que sea:
a) De oros o una figura.
b) De copas o un as.
c) Ni figura ni as.
d) Del palo de bastos o una carta numerada menor que $4$ (el as cuenta como $1$).
Los alumnos de un colegio que practican deportes extracurriculares se distribuyen así: | | fútbol | natación | tenis | |---|---|---|---| | $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ |…
Los alumnos de un colegio que practican deportes extracurriculares se distribuyen así:
| fútbol | natación | tenis | |
|---|---|---|---|
| $6.º$ Primaria | $14$ | $7$ | $4$ |
| $1.º$-$2.º$ Tercer Ciclo | $16$ | $4$ | $15$ |
Se elige un alumno al azar. Calculá la probabilidad de que:
a) Sea de Primaria.
b) Practique natación.
c) Sea de Primaria y juegue tenis.
d) Sabiendo que es de Tercer Ciclo, practique tenis.
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea: a) Múltiplo de $4$. b) Múltiplo de $5$. c) Múltiplo de $4$ y de $5$. d) Múltiplo de $4$ o…
Se elige al azar un número del $1$ al $50$. Calcula la probabilidad de que sea:
a) Múltiplo de $4$.
b) Múltiplo de $5$.
c) Múltiplo de $4$ y de $5$.
d) Múltiplo de $4$ o de $5$.
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación…
En una urna hay $4$ bolas rojas y $6$ verdes. ¿Cuántas bolas azules hay que añadir para que la probabilidad de sacar una bola roja sea $\frac{1}{4}$? Plantea la ecuación y resuélvela.
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso. a) Construye…
En una clase de $30$ alumnos hay $18$ chicas, de las cuales $12$ han aprobado todas las materias. En total, $10$ alumnos de la clase tienen algún suspenso.
a) Construye una tabla de doble entrada (chicas/chicos frente a todo aprobado/algún suspenso).
b) Si elegimos a una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico y haya aprobado todo?
c) Sabiendo que la persona elegida tiene algún suspenso, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado: a) Contenga…
Una ONG vende $200$ papeletas numeradas del $000$ al $199$ para un sorteo benéfico. Se extrae una al azar. Calcula la probabilidad de que el número premiado:
a) Contenga la cifra $7$.
b) Sea múltiplo de $10$.
c) Empiece por la cifra $1$.
d) Tenga sus tres cifras iguales.
Laplace en experiencias compuestas
Con dos dados, dos monedas o una moneda y un dado, primero se cuentan todos los casos posibles con una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol, y después se aplica Laplace sobre esos casos.
La misma tabla sirve para comparar los dos dados o para otras operaciones, como el producto.
Si las caras de un dado se repiten (por ejemplo un dado tetraédrico con caras $1, 2, 2, 3$), cada cara cuenta como un caso aparte, porque las cuatro caras son igual de probables. En la tabla el $2$ aparece dos veces.
También podés usar un diagrama de árbol. Para tres monedas, cada moneda abre dos ramas (cara o cruz) y hay $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ resultados posibles, todos igual de probables.
Se lanzan una moneda y un dado. Calculá la probabilidad de obtener: a) Cara y un $6$. b) Corona y un número impar. c) Cara y un número menor que $5$.
Se lanzan una moneda y un dado. Calculá la probabilidad de obtener:
a) Cara y un $6$.
b) Corona y un número impar.
c) Cara y un número menor que $5$.
Se lanzan dos monedas. Calculá la probabilidad de obtener: a) Dos caras. b) Una cara y una corona, en cualquier orden. c) Alguna cara. d) Ninguna cara.
Se lanzan dos monedas. Calculá la probabilidad de obtener:
a) Dos caras.
b) Una cara y una corona, en cualquier orden.
c) Alguna cara.
d) Ninguna cara.
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. Ayúdate de una tabla de doble entrada para calcular: a) $P(\text{suma } 7)$ b) $P(\text{suma mayor que } 9)$ c)…
Se lanzan dos dados y se anota la suma de los puntos. Ayúdate de una tabla de doble entrada para calcular:
a) $P(\text{suma } 7)$
b) $P(\text{suma mayor que } 9)$
c) $P(\text{suma par})$
d) $P(\text{suma distinta de } 7)$
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calculá la probabilidad de obtener: a) Exactamente dos caras. b) Alguna corona. c) Tres resultados iguales. d)…
Se lanzan tres monedas. Con ayuda de un diagrama de árbol, calculá la probabilidad de obtener:
a) Exactamente dos caras.
b) Alguna corona.
c) Tres resultados iguales.
d) Exactamente una cara.
Para entrar a un juego de la fiesta del colegio, debés lanzar un dado y sacar más puntos que el «guardián», que lanza otro dado antes que vos. a) Construí una tabla de…
Para entrar a un juego de la fiesta del colegio, debés lanzar un dado y sacar más puntos que el «guardián», que lanza otro dado antes que vos.
a) Construí una tabla de doble entrada con los $36$ enfrentamientos posibles.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que entrés al juego?
c) ¿Cuál es la probabilidad de empatar con el guardián?
d) Si la regla fuera «sacar al menos el doble de puntos que el guardián», ¿cuál sería la probabilidad de entrar?
Se lanzan dos dados y se anota el producto de los puntos. a) Construye la tabla de doble entrada con los $36$ productos. b) Calcula la probabilidad de que el producto…
Se lanzan dos dados y se anota el producto de los puntos.
a) Construye la tabla de doble entrada con los $36$ productos.
b) Calcula la probabilidad de que el producto sea par.
c) Calcula la probabilidad de que el producto sea múltiplo de $5$.
d) Calcula la probabilidad de que el producto sea mayor que $20$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es…
En una familia con dos hijos, Nerea razona: «Hay tres casos posibles: dos chicos, dos chicas o uno de cada; por tanto, la probabilidad de que los dos sean chicos es $\frac{1}{3}$».
a) Explica por qué su razonamiento es incorrecto.
b) Escribe el espacio muestral correcto, teniendo en cuenta el orden de nacimiento, y calcula la probabilidad correcta.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos una chica?
Un dado tetraédrico tiene sus caras numeradas $1$, $2$, $2$ y $3$, y otro dado tetraédrico, $2$, $3$, $3$ y $4$. Se lanzan los dos y se anota el producto. a) Construye…
Un dado tetraédrico tiene sus caras numeradas $1$, $2$, $2$ y $3$, y otro dado tetraédrico, $2$, $3$, $3$ y $4$. Se lanzan los dos y se anota el producto.
a) Construye la tabla de doble entrada con los $16$ productos posibles.
b) Calcula la probabilidad de que el producto sea par.
c) Calcula la probabilidad de que el producto sea $6$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Extraer sin devolver
Si sacás una carta y no la devolvés al mazo, la segunda extracción se hace con una baraja distinta: hay una carta menos, y quizás una de las que buscás ya salió.
Se extraen dos cartas de una baraja española de $40$ cartas, sin devolver la primera al mazo. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea de oros? b) Si la…
Se extraen dos cartas de una baraja española de $40$ cartas, sin devolver la primera al mazo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea de oros?
b) Si la primera carta fue de oros, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también lo sea?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos cartas sean de oros?
d) ¿Y la de que ninguna de las dos sea de oros?
Ruletas con sectores desiguales
Si una ruleta no tiene sectores iguales, cada sector ya no cuenta como «un caso»: hay que usar su ángulo, que sí es proporcional a la probabilidad.
La misma idea sirve cuando el giro es una parte de una vuelta: la manecilla de las horas de un reloj da una vuelta de $12$ horas, así que «entre las $3$ y las $4$» es $\dfrac{1}{12}$ de vuelta y $P = \dfrac{1}{12}$.
Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El $5$. b) Un múltiplo de $3$. c) Un…
Una ruleta está dividida en $8$ sectores iguales numerados del $1$ al $8$. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El $5$.
b) Un múltiplo de $3$.
c) Un número mayor que $5$.
d) Un número menor que $9$.
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector verde. c) Un…
La ruleta de la figura tiene tres sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector verde.
c) Un sector que no sea amarillo.
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora: a) Entre las $3$ y las $4$. b) Anterior a las $6$. c)…
Le damos vueltas al azar a la manecilla de las horas de un reloj. Calcula la probabilidad de que marque una hora:
a) Entre las $3$ y las $4$.
b) Anterior a las $6$.
c) Posterior a las $10$.
d) Entre las $2$ y las $8$.
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados. Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en: a) El sector rojo. b) El sector amarillo. c)…
La ruleta de la figura tiene cuatro sectores con los ángulos indicados.
Calcula la probabilidad de que la aguja se pare en:
a) El sector rojo.
b) El sector amarillo.
c) El sector azul o el verde.
d) Un sector que no sea rojo.
Volvé al principio: en la bolsa hay $5+3=8$ casos posibles, así que $P(\text{roja}) = \dfrac{5}{8} = 0.625$ y $P(\text{azul}) = \dfrac{3}{8} = 0.375$. Como $0.625 > 0.375$, es más probable sacar una bola roja.