Razones trigonométricas del ángulo suma
Camila prepara en la pre su postulación a San Marcos y se pregunta: ¿cuánto vale $\operatorname{sen}(75^\circ)$ si en la tabla solo figuran $30^\circ$, $45^\circ$ y $60^\circ$? La tentación es sumar $\operatorname{sen} 45^\circ + \operatorname{sen} 30^\circ$. Pero $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$ no es $\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta$. La fórmula correcta es un poco más larga, y sirve para obtener valores exactos sin calculadora y para sumar giros o inclinaciones sucesivas.
Las fórmulas de la suma: seno, coseno y tangente
Si primero se toma un ángulo $\alpha$ y a continuación otro ángulo $\beta$ en la circunferencia trigonométrica, el resultado es el ángulo $\alpha+\beta$. La pregunta es cómo se relacionan sus razones con las de $\alpha$ y $\beta$.
Algunos ejercicios usan radianes: recuerda que $\pi\ \text{rad}=180^\circ$, es decir $\frac{\pi}{2}=90^\circ$, $\frac{\pi}{3}=60^\circ$ y $\frac{\pi}{6}=30^\circ$. Los valores que necesitas son $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1$ y $\cos\frac{\pi}{2}=0$.
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el…
Expresa $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ en función de las razones trigonométricas del ángulo $x$ desarrollando la fórmula de la suma correspondiente y simplificando el resultado.
Calcular ángulos no notables con dos notables
$75^\circ$, $105^\circ$ o $15^\circ$ no están en la tabla de ángulos notables, pero se escriben como suma de dos que sí: $75^\circ=45^\circ+30^\circ$, $105^\circ=60^\circ+45^\circ$.
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Calcula el valor exacto de $\sin(75^\circ)$ descomponiendo el ángulo como la suma de dos ángulos notables ($45^\circ$ y $30^\circ$).
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Determina el valor exacto de $\cos(105^\circ)$ utilizando la fórmula del coseno de la suma, sabiendo que $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si…
Halla el valor exacto de $\tan(75^\circ)$ aplicando la fórmula de la tangente de la suma a partir de los ángulos de $45^\circ$ y $30^\circ$. Racionaliza el resultado si es necesario.
Usar las fórmulas al revés
Leídas de derecha a izquierda, las fórmulas convierten una expresión de cuatro factores en una sola razón trigonométrica.
Esto también sirve para demostrar identidades: se desarrolla el seno de la suma y se simplifica.
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:…
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un solo término numérico exacto aplicando las fórmulas de adición a la inversa:
$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto: $\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Reduce la siguiente expresión a un valor numérico exacto:
$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica desarrollando el numerador mediante la fórmula correspondiente y simplificando la fracción:
$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$
Área de un paralelogramo con el seno
Algunos problemas piden un área cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman. El seno permite calcularla: en un paralelogramo de lados $a$ y $b$ que forman un ángulo $\theta$, la altura sobre el lado $a$ es $h=b\,\operatorname{sen}\theta$.
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área…
Calcula de forma exacta el valor de la expresión $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Utiliza este resultado geométrico para hallar el área exacta de un paralelogramo cuyos lados adyacentes miden $8$ cm y $10$ cm, sabiendo que el ángulo que forman es precisamente la suma de $15^\circ$ y $30^\circ$.
Cuando solo conoces las razones, no los ángulos
Muchos problemas no dan $\alpha$ ni $\beta$, sino alguna de sus razones. Primero hay que hallar las que faltan (con $\operatorname{sen}^2+\cos^2=1$, mirando el cuadrante) y después aplicar la fórmula.
Con la tangente es más directo: si $\tan\alpha=3$ y $\tan\beta=2$, entonces $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{3+2}{1-6}=-1$.
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante),…
Sabiendo que $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ y $\cos \beta = \frac{12}{13}$, y que tanto $\alpha$ como $\beta$ son ángulos agudos (pertenecientes al primer cuadrante), calcula el valor exacto de $\sin(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\tan \alpha = 3$ y $\tan \beta = 2$, determina el valor exacto de $\tan(\alpha + \beta)$.
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con…
Dados los ángulos $\alpha$ y $\beta$ tales que $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ y $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcula el valor exacto de $\cos(\alpha + \beta)$.
Un cañón lanza un proyectil con un ángulo de elevación $\alpha$ respecto a la ladera de una montaña, cumpliéndose que $\sin \alpha = 0.6$ (siendo $\alpha$ un ángulo…
Un cañón lanza un proyectil con un ángulo de elevación $\alpha$ respecto a la ladera de una montaña, cumpliéndose que $\sin \alpha = 0.6$ (siendo $\alpha$ un ángulo agudo). La propia ladera tiene una inclinación $\beta$ respecto a la horizontal con $\cos \beta = 0.96$ (siendo $\beta$ agudo). Halla el valor exacto del seno del ángulo total de lanzamiento respecto a la horizontal, es decir, $\sin(\alpha + \beta)$.
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma…
Un topógrafo observa la azotea de un edificio con un ángulo de elevación $\alpha$, cumpliéndose que $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Detrás de este edificio, en la misma línea visual, hay una torre de telecomunicaciones. El ángulo adicional de elevación desde la azotea del edificio hasta la punta de la torre, medido desde la visual anterior, es $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sabiendo que ambos ángulos son agudos, calcula el valor exacto del coseno del ángulo total de elevación $\alpha + \beta$ hacia la punta de la torre.
Aplicaciones: inclinaciones, ecuaciones y demostraciones
Las fórmulas resuelven situaciones donde se combinan dos giros o inclinaciones: un panel solar que se inclina un ángulo extra, un brazo robótico de dos eslabones, un haz de luz que atraviesa dos prismas. También permiten resolver ecuaciones donde el ángulo es una suma.
Para despejar un ángulo o una razón, se plantea la ecuación con la fórmula. Por ejemplo, si $\tan\alpha=\frac12$ y $\tan(\alpha+\beta)=3$, queda $\dfrac{\frac12+t}{1-\frac12 t}=3$ con $t=\tan\beta$, una ecuación lineal en $t$.
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en…
En un proyecto de ingeniería solar, un panel fotovoltaico tiene una inclinación inicial $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Para optimizar la captación en invierno, un mecanismo aumenta la inclinación en un ángulo adicional de $15^\circ$. Calcula el valor exacto de $\tan(\alpha + 15^\circ)$ sin utilizar aproximaciones decimales, sabiendo que $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Simplifica la expresión trigonométrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ de modo que quede en función únicamente de $\cos x$ y/o $\sin x$.
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la…
Sabiendo que $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ y que la tangente del ángulo suma es $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina el valor exacto de $\tan \beta$ planteando la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de adición.
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación…
En un experimento de óptica, un haz de luz atraviesa dos prismas consecutivos que desvían su trayectoria en el mismo plano. El primer prisma produce una desviación $\alpha$ tal que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, y el segundo una desviación adicional $\beta$ tal que $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Demuestra que la desviación total $\alpha + \beta$ es exactamente $45^\circ$ calculando la tangente del ángulo suma.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ para el intervalo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Expresa las soluciones de forma exacta en grados.
Encuentra todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.
Encuentra todas las soluciones exactas de la ecuación $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ en el intervalo $[0, 2\pi)$.
Desarrolla la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupa los términos…
Desarrolla la expresión $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ en función exclusiva de los senos y cosenos de los ángulos simples $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$. Agrupa los términos adecuadamente.
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el…
Un brazo robótico planar consta de dos eslabones. El primer eslabón forma un ángulo $\alpha$ con la horizontal, donde $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (estando en el primer cuadrante). El segundo eslabón forma un ángulo $\beta$ de giro relativo respecto a la prolongación del primer eslabón. Si para alcanzar una pieza crítica se requiere que la inclinación total del segundo eslabón respecto a la horizontal sea tal que $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcula el valor exacto de $\tan \beta$.
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestra matemáticamente la siguiente relación…
En cualquier triángulo no rectángulo $ABC$, sabiendo que la suma de sus ángulos interiores es $A+B+C = 180^\circ$, demuestra matemáticamente la siguiente relación fundamental:
$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y da los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes: $\sin(x+y) = 1$…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones trigonométricas para $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ y da los valores exactos de $x$ e $y$ en radianes:
$\sin(x+y) = 1$
$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte…
Un avión de reconocimiento vuela inicialmente con un rumbo que forma un ángulo $\alpha$ al norte del este, verificándose que $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una fuerte corriente de viento lateral desvía su trayectoria un ángulo adicional $\beta$ hacia el norte, de modo que el rumbo efectivo sobre el suelo forma un ángulo $\alpha + \beta$ con el este. Si la torre de control mide que la tangente del rumbo efectivo es $\frac{12}{5}$, halla los valores exactos de $\sin \beta$ y $\cos \beta$ sin recurrir al cálculo de los ángulos con calculadora.
Vuelve al principio: $\operatorname{sen} 75^\circ=\operatorname{sen}(45^\circ+30^\circ)=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0.966$, y no $\operatorname{sen} 45^\circ+\operatorname{sen} 30^\circ\approx1.21$, que ni siquiera puede ser un seno.