Secciones cónicas y lugares geométricos
La antena de telecomunicaciones de tu cerro, la órbita de un planeta, el cable de un puente colgante y el reflector de un faro no se parecen en nada. Sin embargo, las curvas que describen son solo cuatro, y las cuatro salen de cortar un cono con un plano. Aquí las vas a conocer como lugares geométricos: conjuntos de puntos que cumplen una condición de distancias. La circunferencia ya la conoces; ahora llegan la elipse, la hipérbola y la parábola. La pregunta que nos guía: ¿cómo se escribe la ecuación de una curva a partir de una condición de distancias?
Cortar un cono: de dónde salen las cónicas
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene?…
Un cono de revolución se corta con un plano que no pasa por su vértice. Si el plano es paralelo a una única generatriz del cono, ¿qué sección cónica se obtiene? Justifica tu respuesta basándote en la definición geométrica de las secciones cónicas.
El lugar geométrico: mediatriz y circunferencia
Ya conoces dos ejemplos. Con $d(A,B)$ como distancia entre $A$ y $B$:
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Circunferencia: los puntos $P$ con $d(P,O)=r$ constante (centro $O$).
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Mediatriz del segmento $AB$: los puntos $P$ con $d(P,A)=d(P,B)$. Es la recta perpendicular a $AB$ por su punto medio.
Arrastra $P$ y comprueba cómo se mantiene la condición:
El centro de una circunferencia que pasa por tres puntos. El centro $O$ está a la misma distancia de $A$, $B$ y $C$ (todas valen $r$). Entonces $O$ está en la mediatriz de $AB$ y en la de $BC$. El centro es la intersección de dos mediatrices, y el radio es la distancia de $O$ a cualquiera de los tres puntos.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al origen de coordenadas es siempre igual a $5$.
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos $A(2, -3)$ y $B(-4, 5)$. ¿Qué figura geométrica representa?
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se…
Durante una excavación arqueológica se descubre un fragmento del borde de un plato circular antiguo. Para reconstruir su tamaño original, se digitaliza el fragmento y se toman tres puntos de su contorno: $A(-2, 1)$, $B(2, 5)$ y $C(4, 1)$. Utilizando el concepto de lugar geométrico (intersección de mediatrices), calcula las coordenadas del centro original del plato y su radio.
Distancias a rectas: bisectrices y paralelas
Para estos lugares necesitas la distancia de un punto a una recta.
Con esta fórmula salen tres lugares muy usados:
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Puntos a distancia $k$ de una recta: $\dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=k$. Salen dos rectas paralelas, una a cada lado.
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Puntos que equidistan de dos rectas paralelas: una recta paralela a ambas, a mitad de camino.
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Puntos que equidistan de dos rectas secantes: las dos bisectrices de los ángulos que forman. Son dos rectas perpendiculares entre sí.
El valor absoluto se abre en dos casos: $+$ y $-$. Cada caso da una recta.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Halla las ecuaciones del lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de $3$ unidades de la recta $4x - 3y + 2 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas paralelas $r: x + 2y - 4 = 0$ y $s: x + 2y + 6 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Determina las ecuaciones de los lugares geométricos de los puntos que equidistan de las rectas secantes $r: 3x - 4y + 5 = 0$ y $s: 4x + 3y - 1 = 0$.
Ahora combina todo: un punto que equidista de dos rectas y además está sobre otra recta es la intersección de un lugar con esa recta (un sistema de ecuaciones).
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de…
En el plano de una ciudad, dos avenidas rectas siguen las ecuaciones $r: 2x + y - 4 = 0$ y $s: x - 2y + 3 = 0$. Se desea construir una plaza en un punto que equidiste de ambas avenidas y que, por restricciones urbanísticas, esté situado sobre la calle peatonal $x + y = 5$. Calcula las coordenadas de las posibles ubicaciones para la plaza.
Construir la ecuación paso a paso
El método es siempre el mismo:
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Llama $P(x,y)$ al punto genérico del lugar.
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Escribe la condición con la fórmula de distancia entre dos puntos.
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Elimina las raíces elevando al cuadrado.
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Simplifica y reconoce la figura (completando cuadrados si hace falta).
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de…
En un proyecto de telecomunicaciones, se ubican dos antenas emisoras en los puntos $A(-3.0)$ y $B(3,0)$ de un plano cartesiano (en km). Un receptor $R(x,y)$ se mueve de forma que su distancia a la antena $A$ es siempre el doble que su distancia a la antena $B$. Halla la ecuación del lugar geométrico que describe el receptor e identifica de qué cónica se trata, indicando su centro y su radio.
Sumas y diferencias de cuadrados de distancias
A veces la condición ya viene sin raíces: piden la suma o la diferencia de los cuadrados de dos distancias. Es más cómodo de trabajar.
Una aplicación muy bonita: el ángulo recto. Si $\angle APB=90^\circ$, el triángulo $APB$ es rectángulo en $P$, y por Pitágoras $d(P,A)^2+d(P,B)^2=d(A,B)^2$. Es una suma de cuadrados, así que el lugar es una circunferencia con diámetro $AB$. Pero ojo: en $A$ y $B$ no hay triángulo, así que esos dos puntos se excluyen.
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir,…
Halla el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos $A(1,0)$ y $B(-1.0)$ es igual a $8$, es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 8$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2,0)$ y $B(-2.0)$ es igual a $20$.
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los…
Tres sensores sísmicos están ubicados en las coordenadas $A(0,0)$, $B(4,0)$ y $C(0,4)$. Un dron de calibración vuela en el mismo plano de modo que la suma de los cuadrados de sus distancias a los tres sensores se mantiene constante e igual a $50$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del dron y describe la figura resultante.
Y para los más retadores: la diferencia con puntos que no están sobre un eje, y el ángulo recto.
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es…
Un velero navega de modo que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos boyas situadas en $A(-3, -1)$ y $B(5, 5)$ es siempre constante e igual a $32$. Es decir, $d(P,A)^2 - d(P,B)^2 = 32$. Halla la ecuación del lugar geométrico de la trayectoria del velero y demuestra analíticamente que dicha trayectoria es una recta perpendicular al segmento que une las dos boyas.
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que…
Una cámara de seguridad ubicada en un punto móvil $P(x,y)$ debe vigilar un pasillo lineal definido por el segmento $AB$, con extremos en $A(-4.0)$ y $B(4,0)$. Para que los sensores de la cámara funcionen de manera óptima, el ángulo de visión $\angle APB$ debe ser exactamente de $90^\circ$. Halla analíticamente el lugar geométrico de las posibles posiciones de la cámara, excluyendo los puntos $A$ y $B$. Describe la figura resultante.
Suma y diferencia de distancias: elipse e hipérbola
Cambia la condición: ahora las distancias no van al cuadrado.
La elipse se puede dibujar de verdad: clavas dos estacas (los focos), atas una cuerda de largo $2a$ y, manteniéndola tensa con un punzón, recorres la curva. La suma de las dos distancias es siempre el largo de la cuerda.
Al llevar los focos a $F_1(-c,0)$ y $F_2(c,0)$ y elevar al cuadrado dos veces (sin necesidad de que lo hagas tú), se obtienen estas ecuaciones:
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos…
Para diseñar un parterre elíptico en un parque, un jardinero clava dos estacas en el suelo en los puntos $(-3.0)$ y $(3,0)$ (medidas en metros). Luego, ata los extremos de una cuerda de $10\text{ m}$ de longitud a ambas estacas y, manteniendo la cuerda tensa con un punzón, traza el contorno sobre la tierra. Halla la ecuación del lugar geométrico del borde del parterre.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km).…
En un sistema de navegación hiperbólica, un barco recibe señales de radio simultáneas desde dos estaciones costeras ubicadas en $A(-5.0)$ y $B(5,0)$ (en decenas de km). El retardo en la recepción de la señal indica que el barco se encuentra siempre $60\text{ km}$ más cerca de la estación $B$ que de la estación $A$. Obtén la ecuación del lugar geométrico sobre el cual navega el barco.
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la…
Un rayo láser parte del foco $F_1(c,0)$ de una elipse reflectante, rebota en un punto $P(x,y)$ de su superficie y llega directamente al otro foco $F_2(-c,0)$. Si la distancia total recorrida por el rayo de luz es de $10$ unidades y la distancia focal es de $6$ unidades, deduce la ecuación reducida del lugar geométrico de la elipse utilizando su definición basada en distancias.
Otras condiciones: producto de distancias y de pendientes
Hay muchas más condiciones posibles. Se resuelven con el mismo método: plantear, desarrollar y reconocer.
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el…
En un estudio acústico, dos fuentes sonoras emiten ondas sobre ejes perpendiculares que coinciden con los ejes de coordenadas. El lugar geométrico de los puntos donde el producto de las distancias a ambos ejes es constante e igual a $16$ define unas curvas isofónicas. Halla la ecuación del lugar geométrico y demuestra que está formado por dos hipérbolas equiláteras, calculando la distancia exacta entre los vértices de cada una de ellas.
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes…
En un mecanismo articulado, dos varillas giran alrededor de los pivotes fijos $A(-a,0)$ y $B(a,0)$. El mecanismo está diseñado de modo que el producto de las pendientes de ambas varillas en su punto de intersección $P(x,y)$ es siempre una constante negativa $-k^2$ (con $k > 0$). Demuestra que el lugar geométrico del punto $P$ es una elipse y determina la longitud de sus semiejes en función de $a$ y $k$.
La excentricidad: una receta para las cuatro curvas
La excentricidad mide cuánto se aparta la curva de la circunferencia. El caso $e=1$ es la parábola: los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz).
Si la distancia al foco es $e$ veces la distancia a la directriz con $e\neq1$, el mismo método da la ecuación general:
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es…
El reflector de un faro marítimo tiene un perfil diseñado de manera que la distancia de cualquier punto de su superficie al foco emisor de luz, situado en $F(0,2)$, es exactamente igual a su distancia a una línea de referencia horizontal de ecuación $y = -2$. Determina la ecuación del lugar geométrico del perfil del reflector.
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su…
El extremo $P(x,y)$ de un brazo robótico industrial está programado para moverse de tal forma que su distancia a la recta de seguridad $x = -4$ es siempre el doble de su distancia al punto de anclaje $F(-1.0)$. Determina la ecuación de la trayectoria que describe el extremo del brazo e identifica qué tipo de cónica representa.
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación…
Un móvil se desplaza en el plano cartesiano de manera que su distancia a la recta vertical $x = k$ es igual a su distancia al punto fijo $F(2,0)$. Determina la ecuación del lugar geométrico en función del parámetro $k$. ¿Para qué valor exacto de $k$ el lugar geométrico degenera en una recta en lugar de formar una parábola?
Y los retos de esta sección:
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con…
Demuestra analíticamente que el lugar geométrico de los puntos $P(x,y)$ cuya distancia al origen $O(0,0)$ es igual a $e$ veces su distancia a la recta $x = d$ (con $e > 0$ y $d > 0$) representa una elipse si $e < 1$, una parábola si $e = 1$ y una hipérbola si $e > 1$. Escribe la ecuación general obtenida antes de clasificarla.
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de…
En el diseño de un sistema de fluidos, se debe instalar un conducto cilíndrico cuya sección transversal puede variar de tamaño, pero siempre debe ser tangente al eje de abscisas y pasar obligatoriamente por un sensor fijo situado en $P(0,2)$. Encuentra la ecuación del lugar geométrico que describen los posibles centros $C(x,y)$ de dicha sección transversal e identifica la cónica.
Vuelve al principio: la antena, el planeta, el cable y el reflector son curvas distintas porque cada una cumple una condición de distancias distinta. Con el mismo método (plantear, elevar al cuadrado, simplificar) obtienes la ecuación de cualquiera de ellas.