Parábola
Una antena parabólica en una azotea de Arequipa, el faro de un auto y el espejo de un telescopio tienen algo en común: todo rayo que llega paralelo al eje rebota y pasa por un mismo punto, el foco. ¿Por qué justo ahí y no en otro lado? La respuesta sale de cómo se define la parábola, y la vamos a cerrar al final de la página.
La parábola como lugar geométrico
Para encontrar la ecuación se plantea esa igualdad con la fórmula de distancia entre dos puntos y con la distancia de un punto a una recta. Para una recta $Ax + By + C = 0$ y un punto $(x_0, y_0)$:
$$d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del punto $A(0, 4)$ y de la recta horizontal $y = -4$.
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la…
Halla el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a la recta $y = -2$ y pasan simultáneamente por el punto $P(0, 2)$. Identifica la cónica resultante y detalla sus elementos principales.
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua…
Utilizando la definición de parábola como lugar geométrico, halla la ecuación general de la parábola cuyo foco es el punto $F(2, 3)$ y cuya directriz es la recta oblicua $x + y - 1 = 0$.
Elementos y ecuación ordinaria
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Halla la ecuación reducida de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el punto $F(0, 3)$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Determina las coordenadas del vértice, el foco y la ecuación de la directriz de la parábola de ecuación $y^2 = -10x$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, eje de simetría coincidente con el eje de abscisas y que pasa por el punto $P(-2, 4)$.
Parábolas trasladadas y ecuación general
Si el vértice es $V(h, k)$, se desplaza la curva igual que en las demás cónicas:
-
Eje horizontal: $(y - k)^2 = 4p(x - h)$, con foco $F(h + p, k)$ y directriz $x = h - p$.
-
Eje vertical: $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, con foco $F(h, k + p)$ y directriz $y = k - p$.
Al desarrollar, queda la ecuación general: una variable al cuadrado y la otra solo a la primera, por ejemplo $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$.
La función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$ es una parábola de eje vertical: su vértice tiene $x = -\dfrac{b}{2a}$ y se cumple $p = \dfrac{1}{4a}$. Por ejemplo, $y = \dfrac{x^2}{8}$ tiene $a = \dfrac{1}{8}$, entonces $p = 2$ y el foco es $F(0, 2)$.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Identifica si la ecuación general $y^2 - 4y - 6x + 10 = 0$ corresponde a una parábola y, en caso afirmativo, halla las coordenadas de su vértice.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto $V(2, -1)$ y cuya directriz es la recta $x = 4$.
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su…
Dada la ecuación general de la parábola $x^2 - 6x - 8y + 25 = 0$, completa cuadrados para expresarla en su forma reducida trasladada y determina las coordenadas de su vértice, su foco y la ecuación de su directriz.
Parábola y recta: cortes, cuerda y tangente
Para ver cómo se cruzan una recta y una parábola se arma un sistema y se reemplaza una ecuación en la otra. Queda una cuadrática y su discriminante $\Delta$ decide:
-
$\Delta > 0$: la recta es secante (dos puntos).
-
$\Delta = 0$: la recta es tangente (un punto).
-
$\Delta < 0$: la recta es exterior (ningún punto).
Si son secantes, el segmento que une los dos puntos de corte es la cuerda, y su longitud sale con la distancia entre dos puntos.
Tangentes
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola $x^2 = 4y$ con la recta bisectriz del primer cuadrante $y = x$.
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al…
Estudia la posición relativa de la recta $r: 2x + y - 3 = 0$ y la parábola $y^2 = 4x$. Si se cortan, halla la longitud exacta de la cuerda que determina la recta al intersecar con la parábola.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Encuentra la ecuación de la recta tangente a la parábola $y^2 = 8x$ en el punto de ordenada $y = 4$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta $y = 2x + k$ sea tangente a la parábola $x^2 = 2y$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola $y^2 = 4x$ trazadas desde el punto exterior $P(-1, 0)$.
Distancia de un punto de la parábola a una recta
Para hallar el punto de una parábola más cercano a una recta, escribe un punto genérico de la curva y usa la fórmula de distancia de un punto a una recta. Queda una cuadrática en una variable: su mínimo está en el vértice. Otra vía: busca la tangente paralela a la recta; su punto de contacto es el más cercano.
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha…
Determina las coordenadas del punto de la parábola $x^2 = 4y$ que se encuentra a la menor distancia posible de la recta $r: x - y - 4 = 0$. Calcula, además, dicha distancia mínima.
Proyección ortogonal de un punto sobre una recta
La proyección de un punto $Q$ sobre una recta $\mathcal{L}$ es el pie de la perpendicular a $\mathcal{L}$ trazada por $Q$. Se halla así: la perpendicular tiene pendiente $-\dfrac{1}{m}$; se intersecta con $\mathcal{L}$. Con las tangentes de una parábola sirve para ver qué recorre el pie al cambiar la tangente.
Armar la parábola con datos
Muchas veces no te dan foco y directriz, sino puntos por donde pasa la curva. Con eje vertical conviene usar $y = ax^2 + bx + c$ (recuerda que $p = \dfrac{1}{4a}$ y el vértice tiene $x = -\dfrac{b}{2a}$), o la forma $y - k = a(x - h)^2$ si conoces el vértice. Cada punto da una ecuación.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Determina la ecuación de la parábola de eje vertical que pasa por los puntos $A(-1, 0)$, $B(1, -2)$ y $C(3, 4)$.
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se…
Un arco parabólico de un puente de piedra tiene una luz (anchura en la base) de $40\text{ m}$ y una altura máxima de $10\text{ m}$. Calcula la altura a la que se encuentra el arco a una distancia horizontal de $8\text{ m}$ del centro de la base.
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de…
Un cañón de agua lanza un chorro cuya trayectoria describe una parábola. El agua sale desde el origen de coordenadas y el chorro alcanza una altura máxima de $15\text{ m}$ a una distancia horizontal de $20\text{ m}$. Determina analíticamente si el chorro de agua logrará pasar por encima de un muro de $10\text{ m}$ de altura situado a $30\text{ m}$ de distancia horizontal del punto de salida.
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$,…
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, 2)$ y su eje de simetría es paralelo al eje de ordenadas. Si se sabe que la parábola es tangente a la recta $y = x - 1$, halla la ecuación general de dicha parábola y las coordenadas exactas de su foco.
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical…
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el vértice de la parábola $y^2 = 8x$ y por los dos puntos de intersección de dicha parábola con la recta vertical $x = 2$.
La propiedad reflectora
Con esto se cierra el gancho: el receptor de la antena va en el foco porque la parábola es el lugar de los puntos que equidistan del foco y la directriz, y de esa igualdad sale la igualdad de ángulos de la tangente.
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las…
El perfil de un faro halógeno de automóvil tiene forma de parábola. Si su ecuación respecto a un sistema de referencia centrado en el vértice es $y^2 = 12x$ (con las medidas expresadas en centímetros), ¿a qué distancia del vértice debe colocarse la bombilla para que los rayos de luz se reflejen paralelos al eje de simetría?
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se…
El reflector de una antena parabólica tiene un diámetro exterior de $2\text{ m}$ y una profundidad máxima de $0.25\text{ m}$. Determina a qué distancia del vértice se encuentra el foco donde debe situarse el receptor de la señal.
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto…
Se considera un espejo parabólico cuya sección responde a la ecuación $y^2 = 4x$. Un rayo de luz, paralelo al eje de abscisas, incide sobre el espejo en el punto $P(1, 2)$. Demuestra de forma analítica que la recta que contiene al rayo reflejado pasa exactamente por el foco de la parábola.
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes…
Dada la parábola de ecuación $y^2 = 2px$, demuestra analíticamente que el lugar geométrico de las proyecciones ortogonales del foco sobre las infinitas rectas tangentes a la parábola es exactamente la recta tangente en el vértice.