Desde la Costa Verde, en Miraflores, Valentina mide la distancia a dos boyas de surf: una está a 15 m y la otra a 20 m, y entre las dos direcciones hay un ángulo de $40^\circ$. ¿Cómo calcula la distancia entre las boyas sin ir hasta ellas? La ley de senos necesita un lado y su ángulo opuesto, y aquí no los tenemos. Para esto sirve la ley de cosenos (o teorema del coseno): una versión generalizada de Pitágoras que funciona en cualquier triángulo.
Una generalización de Pitágoras
Si el ángulo $C$ fuera de $90^\circ$, $\cos C = 0$ y la fórmula que sigue se convierte exactamente en el teorema de Pitágoras. La ley de cosenos agrega un término de corrección cuando el ángulo no es recto.
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En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, se conocen los lados $b=5$ cm, $c=8$ cm y el ángulo comprendido $A=60^\circ$. Calcula la longitud del lado $a$.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=10$ cm, $b=12$ cm y el ángulo comprendido es $C=45^\circ$. Plantea el teorema del coseno para calcular el valor exacto del lado $c$.
Si conoces dos lados y el ángulo que forman, el tercer lado sale directamente sustituyendo en la fórmula.
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Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
Un paralelogramo tiene dos lados adyacentes que miden 4 cm y 6 cm. Si el ángulo comprendido entre ellos es de $120^\circ$, calcula la longitud de la diagonal mayor.
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado…
En un triángulo isósceles $ABC$, los lados $a$ y $b$ miden 6 cm cada uno, y el ángulo desigual $C=30^\circ$. Calcula el valor exacto del lado $c$ dejando el resultado con radicales.
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de…
Dos aviones salen de un mismo aeropuerto al mismo tiempo. El avión A vuela a $800$ km/h con un rumbo de $040^\circ$ y el avión B vuela a $650$ km/h con un rumbo de $115^\circ$. ¿Qué distancia en línea recta los separa después de 1.5 horas de vuelo?
Si conoces los tres lados, despeja el coseno del ángulo que te interese. El signo del resultado dice si el ángulo es agudo (coseno positivo) u obtuso (coseno negativo).
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En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados son $a=3$ cm, $b=5$ cm y $c=7$ cm. Calcula la amplitud del ángulo $C$.
La ley de cosenos es la herramienta cuando dos distancias y el ángulo entre ellas se pueden medir, pero la distancia buscada no: topografía, navegación, composición de fuerzas, cuerdas de una circunferencia.
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Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el…
Para medir la distancia a través de un lago entre los puntos $A$ y $B$, un topógrafo se sitúa en el punto $C$. Mide las distancias $CA = 125.5$ m y $CB = 180.2$ m, y el ángulo $ACB = 75^\circ$. Calcula la distancia $AB$.
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el…
En una circunferencia de 10 cm de radio, una cuerda subtiende un ángulo central de $100^\circ$. Calcula la longitud de la cuerda utilizando el teorema del coseno en el triángulo formado por los radios y la cuerda.
En los problemas difíciles el teorema aparece como una ecuación: la incógnita puede ser un lado desconocido, o dos triángulos comparten un lado y se arma un sistema.
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Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
Las diagonales de un romboide miden 12 cm y 16 cm, y se cortan formando un ángulo de $65^\circ$. Calcula la longitud de los cuatro lados del romboide.
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor…
En un triángulo, las longitudes de los lados son $x$, $x+2$ y $x+4$. Si el mayor de los ángulos mide $120^\circ$, plantea la ecuación correspondiente, determina el valor de $x$ y las longitudes exactas de los tres lados.
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio…
En un triángulo $ABC$, los lados miden $a=8$ cm, $b=10$ cm y $c=12$ cm. Calcula la longitud exacta de la mediana $m_a$ trazada desde el vértice $A$ hasta el punto medio del lado $a$.
A veces el enunciado da una relación entre lados, sin números de ángulos. Compárala con la ley de cosenos: el coeficiente de $bc$ te dice cuánto vale $-2\cos A$. Para dar ángulos exactos usa los valores notables: $\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos60^\circ=\tfrac12$, $\cos120^\circ=-\tfrac12$, $\cos135^\circ=-\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos150^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$.
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Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
Si en un triángulo $ABC$ se cumple la relación algebraica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la medida exacta del ángulo $A$ sin hacer uso de la calculadora.
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y…
Un triángulo tiene una base fija $c = 10$ cm y un perímetro constante $p = 26$ cm. Si el ángulo $C$ opuesto a la base mide $60^\circ$, plantea un sistema de ecuaciones y halla las longitudes exactas de los otros dos lados $a$ y $b$.
Si una figura se divide en dos triángulos con un lado en común, escribe la ley de cosenos para ese lado en cada triángulo e iguala o relaciona las expresiones. También sirve cuando el dato es un ángulo central que se halla con los tres lados.
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Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos…
Un cuadrilátero inscriptible (cíclico) $ABCD$ tiene lados de longitudes $AB=3$ cm, $BC=4$ cm, $CD=5$ cm y $DA=6$ cm. Teniendo en cuenta las propiedades de los ángulos opuestos en un cuadrilátero cíclico, plantea un sistema utilizando el teorema del coseno en los triángulos $ABC$ y $ADC$ para calcular la longitud exacta de la diagonal $AC$.
Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas…
Dos circunferencias de radios 5 cm y 8 cm se cortan en dos puntos. La distancia entre sus centros es de 10 cm. Calcula la longitud de la cuerda común a ambas circunferencias. (Sugerencia: Usa el teorema del coseno para hallar el ángulo central en el triángulo formado por los radios y la línea de centros, y a partir de ahí obtén la altura del triángulo).
El teorema también sirve en el espacio, siempre que encuentres un triángulo plano dentro de la figura. Primero se calculan las longitudes necesarias con Pitágoras y después se aplica el teorema del coseno.
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Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema…
Calcula el ángulo agudo que forman dos diagonales principales de un cubo. Para ello, expresa la longitud de la diagonal en función de la arista $a$ y aplica el teorema del coseno en el triángulo formado por las mitades de dos diagonales y una arista del cubo.