Posición relativa de dos rectas
En el plano de Lima, dos avenidas pueden no cruzarse nunca, cruzarse en una sola esquina, o ser en realidad la misma avenida con dos nombres. ¿Pasa lo mismo con dos rectas? ¿Y cómo lo sabes sin dibujarlas? Eso es lo que vas a poder responder al terminar esta página.
Tres posiciones posibles
Piénsalo así: dos rectas con la misma inclinación nunca se cortan, salvo que sean la misma recta (coincidentes). Con distinta inclinación, tarde o temprano se cruzan.
Regla con pendientes ($y = mx + n$): $m_1 = m_2$ y $n_1 \ne n_2$ → paralelas; $m_1 = m_2$ y $n_1 = n_2$ → coincidentes; $m_1 \ne m_2$ → secantes.
Escribe la posición relativa de las rectas $r: y = 3x - 5$ y $s: y = -2x + 4$ justificando tu respuesta a partir de sus pendientes.
Escribe la posición relativa de las rectas $r: y = 3x - 5$ y $s: y = -2x + 4$ justificando tu respuesta a partir de sus pendientes.
El criterio con los coeficientes
Cuando las rectas vienen en forma general $Ax + By + C = 0$, no hace falta despejar $y$.
Cuando hay un parámetro, se impone la condición que se pide y se despeja.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 4y + 6 = 0$ y $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparando sus coeficientes.
Determina la posición relativa de las rectas $r: 2x - 4y + 6 = 0$ y $s: -x + 2y - 3 = 0$ comparando sus coeficientes.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: 3x + ky - 2 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$ sean paralelas.
Calcula el valor del parámetro $k$ para que las rectas $r: 3x + ky - 2 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$ sean paralelas.
En el plano arquitectónico de un edificio, dos muros de carga vienen dados por las ecuaciones $r: ax - 6y + 12 = 0$ y $s: 2x + by - 4 = 0$. Determina los valores de $a$…
En el plano arquitectónico de un edificio, dos muros de carga vienen dados por las ecuaciones $r: ax - 6y + 12 = 0$ y $s: 2x + by - 4 = 0$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que ambos muros representen exactamente la misma línea (rectas coincidentes).
Discute la posición relativa de las rectas $r: kx + y - 3 = 0$ y $s: 4x + ky - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $k$.
Discute la posición relativa de las rectas $r: kx + y - 3 = 0$ y $s: 4x + ky - 6 = 0$ en función de los posibles valores del parámetro $k$.
Hallar el punto de corte
Si las rectas son secantes, el punto de corte pertenece a las dos: sus coordenadas cumplen las dos ecuaciones a la vez. Es resolver el sistema de ecuaciones (por sustitución, igualación o reducción, como en 3.° de secundaria).
Los ejes también son rectas: el eje X es $y=0$ y el eje Y es $x=0$. Para hallar dónde una recta corta al eje X, haces $y=0$; para el eje Y, $x=0$.
Calcula las coordenadas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 5 = 0$.
Calcula las coordenadas del punto de corte de las rectas secantes $r: x + y - 4 = 0$ y $s: 2x - y - 5 = 0$.
Dos tuberías principales de riego en un campo de cultivo siguen las trayectorias de las rectas $r: 5x + 3y - 15 = 0$ y $s: 2x - y + 5 = 0$. Averigua si se cruzan y, en…
Dos tuberías principales de riego en un campo de cultivo siguen las trayectorias de las rectas $r: 5x + 3y - 15 = 0$ y $s: 2x - y + 5 = 0$. Averigua si se cruzan y, en caso afirmativo, halla las coordenadas exactas del punto de conexión.
Rectas paralelas a los ejes
Hay dos familias de rectas especiales:
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$x = k$ es una recta vertical: todos sus puntos tienen abscisa $k$. Es paralela al eje Y y perpendicular al eje X. No tiene pendiente.
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$y = h$ es una recta horizontal: todos sus puntos tienen ordenada $h$. Es paralela al eje X y perpendicular al eje Y. Su pendiente es $0$.
Con ellas, la posición relativa es inmediata:
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Dos verticales $x=a$ y $x=b$: paralelas si $a\ne b$, coincidentes si $a=b$.
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Dos horizontales $y=h$ y $y=p$: lo mismo.
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Una vertical $x=k$ y una horizontal $y=h$: siempre secantes (y perpendiculares), en el punto $(k, h)$.
Halla el punto de intersección de la recta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con el eje de abscisas (eje X).
Halla el punto de intersección de la recta $r: 3x - 2y - 12 = 0$ con el eje de abscisas (eje X).
Rectas dadas en otras formas
El criterio sirve con cualquier forma de la recta. Puedes pasar a la forma general o a la pendiente-ordenada, o comparar los vectores directores.
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Forma continua: $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}$ tiene vector director $(a, b)$ y pasa por $(x_0, y_0)$.
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Forma paramétrica: $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ tiene vector director $(a, b)$ y pasa por $(x_0, y_0)$.
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Forma pendiente-ordenada $y=mx+n$: vector director $(1, m)$.
Si los vectores directores son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección (paralelas o coincidentes). Si no lo son, son secantes.
Comprueba si las rectas dadas en forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ son paralelas o secantes.
Comprueba si las rectas dadas en forma continua $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3}$ y $s: \frac{x}{4} = \frac{y-1}{6}$ son paralelas o secantes.
Dadas las rectas $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ y $s: 2x + y - 7 = 0$, estudia su posición relativa comparando sus vectores directores y comprobando si un punto de $r$…
Dadas las rectas $r: x = 2 - t, y = 3 + 2t$ y $s: 2x + y - 7 = 0$, estudia su posición relativa comparando sus vectores directores y comprobando si un punto de $r$ pertenece a $s$.
Dos barcos navegan con trayectorias dadas por las ecuaciones paramétricas $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ y $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Comprueba analíticamente si sus…
Dos barcos navegan con trayectorias dadas por las ecuaciones paramétricas $r: x = 1 + 2t, y = -3 + t$ y $s: x = -1 + 4k, y = 2 + 2k$. Comprueba analíticamente si sus rutas son paralelas o si navegan por la misma línea.
Rectas que pasan por dos puntos
Si te dan dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$, la pendiente es $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ y la recta es $y - y_1 = m(x - x_1)$. Con eso ya puedes comparar con otra recta.
Un barco de rescate se desplaza por la línea recta que pasa por los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$. Un velero sigue la trayectoria dada por la recta…
Un barco de rescate se desplaza por la línea recta que pasa por los puntos $A(-2, 1)$ y $B(4, 5)$. Un velero sigue la trayectoria dada por la recta $s: y = \frac{2}{3}x + 4$. Determina si sus trayectorias son paralelas o si, por el contrario, se cortan en algún punto.
Dos cometas siguen trayectorias rectilíneas en un modelo espacial 2D. El primero pasa por los puntos $P(0, 4)$ y $Q(3, 0)$. El segundo tiene por ecuación continua…
Dos cometas siguen trayectorias rectilíneas en un modelo espacial 2D. El primero pasa por los puntos $P(0, 4)$ y $Q(3, 0)$. El segundo tiene por ecuación continua $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{4}$. Comprueba si sus trayectorias se cruzan en algún punto o si son paralelas.
Paralela por un punto
Una recta paralela a $r$ tiene la misma pendiente (o, en forma general, los mismos $A$ y $B$ y distinto $C$). Para fijar cuál de todas, usamos un punto por el que pasa.
Halla la ecuación explícita de la recta paralela a $r: y = -4x + 1$ que pasa por el punto $P(0, 3)$.
Halla la ecuación explícita de la recta paralela a $r: y = -4x + 1$ que pasa por el punto $P(0, 3)$.
En un programa de diseño 3D, un láser corta una plancha metálica a lo largo de la recta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Halla la ecuación general de otra recta de corte, paralela…
En un programa de diseño 3D, un láser corta una plancha metálica a lo largo de la recta $r: 4x - 3y - 12 = 0$. Halla la ecuación general de otra recta de corte, paralela a la anterior, que pase por el punto $Q(-1, 2)$.
Dadas las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: x + y - 1 = 0$, halla la ecuación explícita de una recta paralela a $r$ que pase por el punto de intersección de $s$ con el…
Dadas las rectas $r: 2x - y + 4 = 0$ y $s: x + y - 1 = 0$, halla la ecuación explícita de una recta paralela a $r$ que pase por el punto de intersección de $s$ con el eje de abscisas.
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando un ángulo recto. Es un caso particular de secantes.
Los parámetros en perpendicularidad se calculan igual que en paralelismo: impones $A_1A_2+B_1B_2=0$ y despejas.
Calcula el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 2y - 5 = 0$ y $s: 3x - y + 1 = 0$ sean perpendiculares.
Calcula el valor del parámetro $m$ para que las rectas $r: mx + 2y - 5 = 0$ y $s: 3x - y + 1 = 0$ sean perpendiculares.
Una carretera recta sigue la ecuación $2x - y + 4 = 0$. Un repetidor de telefonía está situado en el punto $P(5, 1)$. Halla la ecuación general de la línea de cableado…
Una carretera recta sigue la ecuación $2x - y + 4 = 0$. Un repetidor de telefonía está situado en el punto $P(5, 1)$. Halla la ecuación general de la línea de cableado más corta (que debe ser perpendicular) que une el repetidor con la carretera.
Los lados de una finca con forma de cuadrilátero están situados sobre las rectas $r: 2x + y - 5 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices de la finca…
Los lados de una finca con forma de cuadrilátero están situados sobre las rectas $r: 2x + y - 5 = 0$ y $s: x - 2y + 5 = 0$. Sabiendo que uno de los vértices de la finca es el punto $P(4, 2)$ y que el recinto es un rectángulo perfecto, halla las ecuaciones generales de las rectas que contienen a los otros dos lados.
Simétrico de un punto y reflexión
Para hallar el simétrico $A'$ de un punto $A$ respecto de una recta $r$:
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Traza la recta $t$ perpendicular a $r$ que pasa por $A$.
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Halla el punto de corte $M$ de $r$ y $t$.
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$M$ es el punto medio de $AA'$, así que $A' = 2M - A$ (en cada coordenada).
Reflexión de un rayo. Un rayo que llega a un espejo (un eje, por ejemplo) y rebota cumple que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión. Contra el eje X eso significa: el rayo reflejado pasa por el mismo punto del eje y tiene la pendiente opuesta.
Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(2, 5)$ respecto de la recta $r: x - 2y + 3 = 0$.
Halla las coordenadas del punto simétrico de $A(2, 5)$ respecto de la recta $r: x - 2y + 3 = 0$.
Un rayo de luz sigue la trayectoria de la recta $r: x - y + 2 = 0$ e incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje X. Sabiendo que el ángulo de incidencia es…
Un rayo de luz sigue la trayectoria de la recta $r: x - y + 2 = 0$ e incide sobre un espejo plano situado a lo largo del eje X. Sabiendo que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión respecto a la normal, halla la ecuación general de la recta que describe el rayo reflejado.
Aplicaciones: figuras y trayectorias
Con las herramientas anteriores se resuelven problemas de figuras y recorridos. Un clásico: tres rectas que se cortan dos a dos forman un triángulo. Sus vértices son los tres puntos de corte.
Un giro de $90^\circ$ del recorrido de un robot, un cable o una calle que sale en ángulo recto es una perpendicular. Primero halla el punto donde se produce el giro (un corte con un eje, por ejemplo) y después escribe la perpendicular por ese punto.
Tres calles forman un parque triangular en el centro de una ciudad. Las ecuaciones de las calles son $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: x - 2y + 6 = 0$.…
Tres calles forman un parque triangular en el centro de una ciudad. Las ecuaciones de las calles son $r: x + y - 6 = 0$, $s: 2x - y - 3 = 0$ y $t: x - 2y + 6 = 0$. Calcula las coordenadas exactas de los tres vértices del parque.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ con los dos ejes de coordenadas.
Calcula el área del triángulo que forma la recta $r: 5x + 2y - 20 = 0$ con los dos ejes de coordenadas.
Un robot aspirador se mueve sobre la trayectoria descrita por la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Al encontrar un obstáculo exactamente en el punto de corte con el eje de…
Un robot aspirador se mueve sobre la trayectoria descrita por la recta $r: 3x + 4y - 24 = 0$. Al encontrar un obstáculo exactamente en el punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y), gira $90^{\circ}$ y continúa su marcha en línea recta. Halla la ecuación general de la nueva trayectoria y el punto donde cortará al eje de abscisas (eje X).