Métodos de resolución
En una bodega de Miraflores, Ximena compra 3 panes con pollo y 2 gaseosas y paga S/ 24. Diego compra 2 panes con pollo y 3 gaseosas y paga S/ 21. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Son dos ecuaciones con dos incógnitas. La idea de todo el apartado es una sola: convertir el sistema en algo que ya sabes resolver. Primero veremos los cinco métodos para sistemas lineales $2\times 2$ y cómo elegir entre ellos. Después los usaremos en problemas. Al final hay secciones de ampliación con sistemas más complicados.
Sustitución, igualación y reducción
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción: $3x - 2y = 7$ $5x + 4y = 8$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción:
$3x - 2y = 7$
$5x + 4y = 8$
Método gráfico
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta en el plano cartesiano. La solución del sistema es el punto donde se cruzan las dos rectas, porque ese punto cumple ambas ecuaciones a la vez.
En el interactivo, las rectas $y=-x+5$ y $y=x-1$ se cruzan en $(3, 2)$. Comprueba: $-3+5=2$ y $3-1=2$ ✓.
Según cómo estén las rectas, hay tres casos:
-
Se cruzan en un punto: solución única (sistema compatible determinado).
-
Son paralelas: no hay solución (incompatible).
-
Coinciden: infinitas soluciones (compatible indeterminado).
Determinantes (regla de Cramer)
Hay un método que no despeja nada: usa números calculados con los coeficientes. Para un sistema $\begin{cases} ax+by=e \\ cx+dy=f \end{cases}$ definimos el determinante $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$.
Si $D=0$ no se puede dividir: las rectas son paralelas o coinciden, así que no hay solución o hay infinitas.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$: $x + 2y = 5$ $3x + ky = 15$ Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$:
$x + 2y = 5$
$3x + ky = 15$
Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y expresa la solución general en función de un parámetro real $\lambda$.
¿Qué método elijo?
No hay un método «mejor»: hay uno más cómodo para cada sistema.
| Si el sistema tiene… | Conviene |
|---|---|
| una incógnita ya despejada o con coeficiente $1$ | sustitución |
| la misma incógnita despejada fácilmente en ambas ecuaciones | igualación |
| coeficientes iguales u opuestos (o fáciles de igualar) | reducción |
| un parámetro, o quieres saber cuántas soluciones tiene | determinantes |
| ecuaciones que ya son rectas y solo quieres ver el cruce | gráfico |
Problemas con dos incógnitas
Un buen planteamiento tiene tres pasos: (1) elegir incógnitas con su significado y unidades; (2) traducir cada dato a una ecuación; (3) resolver, comprobar y responder con palabras.
| Situación | Ecuaciones típicas |
|---|---|
| Dos cantidades con total y relación | $x+y=\text{total}$, $ax=by$ |
| Mezclas | cantidad total y cantidad de sustancia pura |
| Movimiento | $d=vt$; si se acercan, $d_1+d_2=D$ |
| Precios | $\text{piezas}\times\text{precio}=\text{total}$ |
Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de…
Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de peras, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos kilos de cada fruta ha recolectado.
En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una…
En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una al $20\%$ de concentración y otra al $45\%$. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos litros de cada disolución se deben emplear.
Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que…
Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que parte de A viaja a una velocidad constante que supera en $5$ km/h a la del ciclista que parte de B. Sabiendo que se cruzan exactamente al cabo de $3$ horas, plantea un sistema de ecuaciones para hallar la velocidad de cada uno y la distancia que ha recorrido cada ciclista hasta el punto de encuentro.
Vuelve al principio: un pan con pollo cuesta S/ 6 y una gaseosa S/ 3, como mostró la regla de Cramer.
Ampliación: sistemas no lineales
Un sistema es no lineal si alguna ecuación tiene términos como $x^2$, $xy$ o $y^2$. Los métodos son los mismos, pero casi siempre terminas en una ecuación cuadrática y hay varias soluciones.
Cuando las dos ecuaciones tienen los mismos términos cuadráticos, conviene sumar o restar como en reducción.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 10$
Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado: $x^2 + y^2 - 4x = 5$…
Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado:
$x^2 + y^2 - 4x = 5$
$x^2 - y^2 - 4x = -3$
El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y resuélvelo para determinar las dimensiones de la parcela.
Ampliación: suma y producto
Si el sistema no cambia al intercambiar $x$ e $y$ (es simétrico), ayuda usar $S=x+y$ y $P=xy$. Recuerda que $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=S^2-2P$. Y si conoces $S$ y $P$, $x$ e $y$ son las raíces de $t^2-St+P=0$.
Otra forma es sustituir $y=\dfrac{k}{x}$ en la otra ecuación. Sale una ecuación en $x^4$ que se resuelve como cuadrática en $x^2$. Es lo que pasa al cruzar una circunferencia con una hipérbola $xy=k$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \times y$:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \times y$:
$x^2 + y^2 = 34$
$x \times y = 15$
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \times y = 12$. Plantea…
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \times y = 12$. Plantea el sistema no lineal asociado, resuélvelo detallando los pasos y explica cuántas soluciones reales existen.
Ampliación: exponenciales y logaritmos
Caso 1: las bases se pueden igualar. Se escriben ambos lados como potencias de la misma base y se igualan los exponentes.
Caso 2: bases distintas con exponentes que difieren en constantes. Usamos $u=2^x$ y $v=3^y$ y las propiedades $a^{x+1}=a\cdot a^x$, $a^{y-1}=\dfrac{a^y}{a}$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base: $2^{x+y} = 32$ $3^{x-y} = 9$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base:
$2^{x+y} = 32$
$3^{x-y} = 9$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$: $3^x + 2^{y+1} = 17$ $3^{x-1} - 2^y = 1$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$:
$3^x + 2^{y+1} = 17$
$3^{x-1} - 2^y = 1$
Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica: $2^x \times 4^y = 256$ $\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica:
$2^x \times 4^y = 256$
$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Logaritmos
Se usan la definición $\log_a b=c\Leftrightarrow a^c=b$ y las propiedades $\log(AB)=\log A+\log B$, $\log\dfrac{A}{B}=\log A-\log B$ y $\log A^n=n\log A$.
Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $\log_2(x + y) = 3$ $x - 2y = 2$
Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$\log_2(x + y) = 3$
$x - 2y = 2$
Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:…
Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:
$\log(x) + \log(y) = 2$
$\log(x^2) - \log(y) = 1$
Ampliación: radicales y fracciones algebraicas
Radicales. Se despeja una incógnita, se sustituye, se aísla la raíz y se eleva al cuadrado. Elevar al cuadrado puede crear soluciones falsas, por eso se comprueba al final.
Fracciones. Si cada incógnita aparece solo en denominadores, usamos $u=\dfrac{1}{x}$ y $v=\dfrac{1}{y}$. Antes de empezar, anota las restricciones: $x\neq 0$, $y\neq 0$.
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ $x - y = 5$
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$
$x - y = 5$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$
$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Tres incógnitas y el método de Gauss
Con tres ecuaciones y tres incógnitas, sustituir se vuelve largo. El método de Gauss usa reducción de forma ordenada hasta obtener un sistema escalonado, que se resuelve de abajo hacia arriba.
Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada: $2x - y + 3z = 14$ $3y - z = 5$…
Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada:
$2x - y + 3z = 14$
$3y - z = 5$
$2z = 8$
Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: $x + y + z = 6$ $x - y + 2z = 5$…
Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
$x + y + z = 6$
$x - y + 2z = 5$
$x + y - z = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado: $2x - y + 3z = 1$ $x + 2y - z = 4$…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado:
$2x - y + 3z = 1$
$x + 2y - z = 4$
$4x - y + z = 2$
Tres tipos de resultado
Al escalonar puedes encontrar:
-
Una ecuación como $0=5$: el sistema es incompatible (sin solución).
-
Una ecuación como $0=0$ (quedan menos ecuaciones útiles que incógnitas): compatible indeterminado, con infinitas soluciones. Se llama $\lambda$ a una incógnita y las demás se expresan en función de ella.
-
Tantas ecuaciones útiles como incógnitas: compatible determinado, con solución única.
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa…
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa su conjunto de soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$x - 2y + z = 3$
$2x + y - 3z = 1$
$4x - 3y - z = 7$
Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible: $x + y + z = 4$…
Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible:
$x + y + z = 4$
$2x - y + 3z = 5$
$3x + 4z = 10$
Problemas con tres incógnitas
Se plantean igual que con dos, pero necesitas tres ecuaciones independientes: una por cada dato del enunciado.
Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y…
Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y la suma de los drones tipo B y C supera en $12$ a los del tipo A. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante el método de Gauss.
Un inversor reparte un capital total de $200\,000$ soles entre tres fondos de inversión: renta variable, renta fija y bonos del Estado. El fondo de renta variable ofrece…
Un inversor reparte un capital total de $200\,000$ soles entre tres fondos de inversión: renta variable, renta fija y bonos del Estado. El fondo de renta variable ofrece un $8\%$ de rentabilidad anual, el de renta fija un $5\%$ y los bonos un $3\%$. El inversor decide destinar a renta fija el doble de capital que a bonos del Estado. Si al cabo de un año los beneficios totales generados ascienden a $11\,600$ soles, ¿cuánto dinero invirtió en cada fondo? Plantea el sistema correspondiente y resuélvelo por el método de Gauss.