Región factible y vértices

La figura muestra una región factible triangular dibujada sobre una cuadrícula, como se muestra en la figura.

Lee en la cuadrícula las coordenadas de sus tres vértices y comprueba que el punto $(1, 1)$ pertenece a la región.

La región factible de un problema viene dada por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 5$ y $2x + y \leq 8$. Comprueba si los puntos $(1, 1)$, $(3, 2)$ y $(2, 4)$ son factibles, indicando en cada caso qué restricciones verifican o dejan de verificar.

Calcula los vértices del recinto limitado por las restricciones $x \geq 0$, $y \geq 0$ y $x + y \leq 6$, explicando qué pares de rectas frontera hay que intersectar.

Dada la región factible definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + 2y \leq 8$ y $3x + 2y \leq 12$:

• a) Calcula sus cuatro vértices.

• b) Determina el valor máximo de la función objetivo $F(x, y) = 4x + 3y$ en la región y el punto donde se alcanza.

La región factible de un problema viene dada por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 6$ y $x + 3y \leq k$, con $k > 0$. Determina el valor de $k$ para el que el punto $(3, 3)$ es un vértice de la región, y comprueba que con ese valor de $k$ el punto efectivamente es intersección de dos rectas frontera.

La figura muestra una región factible pentagonal con sus cinco vértices señalados, como se muestra en la figura.

• a) Deduce las ecuaciones de las cinco rectas frontera a partir de los vértices.

• b) Escribe el sistema de inecuaciones que define la región.

• c) Halla el vértice donde $F(x, y) = 3x + 2y$ alcanza su máximo.

Un problema de programación lineal tiene como región factible el triángulo de vértices $(0, 0)$, $(8, 0)$ y $(2, 6)$, y como función objetivo $F(x, y) = x + 3y$.

• a) Escribe el sistema de inecuaciones que define ese triángulo.

• b) Comprueba que el máximo de $F$ se alcanza en el vértice $(2, 6)$.

• c) Propón otra función objetivo lineal $G(x, y)$ cuyo máximo en la misma región se alcance en $(8, 0)$, y justifícalo.

Sobre la región factible de la figura se han dibujado tres rectas de nivel de la función objetivo $F(x, y) = x + y$, correspondientes a los valores $2$, $4$ y $6$, como se muestra en la figura.

• a) Explica qué tienen en común los puntos de cada una de esas rectas.

• b) Indica, a la vista de la figura, en qué punto de la región $F$ alcanza su valor máximo y cuánto vale.

La figura muestra la región factible de un problema de programación lineal, un cuadrilátero de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$, como se muestra en la figura.

Evalúa la función objetivo $F(x, y) = 3x + 2y$ en cada uno de los cuatro vértices y determina en cuál se alcanza el valor máximo y en cuál el mínimo.

Los vértices de una región factible son $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(4, 3)$ y $D(0, 5)$. Completa una tabla con el valor de la función objetivo $F(x, y) = 5x + 4y$ en cada vértice y señala dónde se alcanzan el máximo y el mínimo de $F$ en la región.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «Si la región factible de un problema de programación lineal es acotada, el máximo de la función objetivo se alcanza siempre en un vértice de la región o en todos los puntos de una arista».

En la figura aparece una región factible triangular con el valor que toma una función objetivo $F$ en cada uno de sus vértices, como se muestra en la figura.

¿Cuál de estas funciones objetivo puede ser $F$? Razona la respuesta evaluando cada opción en los tres vértices.

• a) $F(x, y) = 2x + 3y$

• b) $F(x, y) = 3x + 2y$

• c) $F(x, y) = x + 4y$

• d) $F(x, y) = 4x + y$

La figura muestra una región factible y dos rectas de nivel de la función objetivo $F(x, y) = 2x + y$, junto con la dirección en la que $F$ crece, como se muestra en la figura.

• a) Usando el método gráfico de las rectas de nivel, determina el vértice de la región donde $F$ alcanza su máximo.

• b) Calcula el valor máximo de $F$ y explica por qué no puede estar en otro punto del interior de la región.

Los vértices de una región factible son $A(0, 2)$, $B(1, 4)$, $C(5, 3)$ y $D(4, 0)$.

• a) Evalúa en cada vértice las funciones objetivo $F(x, y) = x + 2y$ y $G(x, y) = 3x + y$.

• b) Determina los valores máximo y mínimo de cada función en la región.

• c) ¿Existe algún punto de la región que maximice ambas funciones a la vez? Justifícalo.

Decide, razonadamente, si cada una de estas regiones es acotada o no acotada:

• a) La definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq 4$.

• b) La definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 4$.

La región definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 6$ y $2x + y \geq 8$ no es acotada.

• a) Halla sus vértices.

• b) Comprueba que la función objetivo $F(x, y) = 2x + 5y$ alcanza un mínimo en la región y calcula en qué vértice.

• c) Razona por qué $F$ no alcanza ningún máximo en esta región.

Sea la región no acotada definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 4$ y $x + 3y \geq 6$, y sea la función objetivo $F(x, y) = ax + y$ con $a > 0$.

• a) Halla los vértices de la región.

• b) Razona que $F$ nunca alcanza un máximo en esta región, cualquiera que sea $a > 0$.

• c) Discute, según los valores de $a$, en qué vértice se alcanza el mínimo de $F$, detectando los valores de $a$ para los que hay más de una solución óptima.

Una región factible está definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $3x + 5y \leq 20$ y $x + y \leq 5$.

• a) Halla sus vértices; observarás que uno de ellos no tiene coordenadas enteras.

• b) Si las variables representan números de personas y deben ser enteras, busca razonadamente el punto factible de coordenadas enteras donde $F(x, y) = 6x + 7y$ toma el mayor valor posible.

Una región factible viene definida por $x \geq 0$, $y \geq 0$, $4x + 5y \leq 30$ y $x + 2y \leq 10$.

• a) Halla los vértices de la región.

• b) Calcula el valor máximo de $F(x, y) = 5x + 6y$ en la región.

• c) Si las variables deben tomar valores enteros (representan vehículos), determina la mejor solución entera y compara su valor con el óptimo continuo.