Binomio de Newton

Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \times 2!} + \binom{7}{3}$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión algebraica con factoriales: $\frac{(n+2)!}{n! \times (n+1)}$.

Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.

Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.

Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.

Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:

$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$

$4x - 5y = 19$

Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.

Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.

Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.

La intensidad de luz que atraviesa una serie de $4$ filtros fotográficos con un factor de atenuación variable $x$ se puede aproximar por el binomio $(1 - 0.2x)^4$. Desarrolla esta expresión ordenando los términos de menor a mayor grado.

Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.

Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.

En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.

Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.

Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.

Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.

Encuentra el valor del parámetro real $k$ para que el coeficiente del término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $\left(x^2 + \frac{k}{x}\right)^6$ sea exactamente igual a $-160$.

Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.

Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.

En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0.03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $4\,000$ soles utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.

En un experimento de óptica, la intensidad de luz en un patrón de interferencia múltiple requiere calcular el desarrollo del binomio $(1 + \cos \theta)^n$. Para un sistema de $6$ rendijas ($n=6$), desarrolla la expresión indicando los coeficientes combinatorios y determina el coeficiente del término que contiene $\cos^4 \theta$. Si en un punto de la pantalla se cumple que $\cos \theta = \frac{1}{2}$, ¿cuál es el valor exacto de la suma de los tres últimos términos de dicho desarrollo?

Un aparato de Galton (o quincunx) se utiliza para demostrar la distribución binomial. Una bola que cae tiene la misma probabilidad de ir a la derecha ($D$) que a la izquierda ($I$) en cada clavo. El aparato de la figura tiene $4$ filas de clavos, así que la bola hace $4$ movimientos y puede caer en $5$ compartimentos. Cada compartimento lleva escrito el número de movimientos a la derecha que ha hecho la bola. Los caminos posibles se modelan con el desarrollo de $(I + D)^4$.

Observa la figura: la línea azul discontinua muestra un camino posible hasta el compartimento resaltado en rojo, que corresponde a $1$ movimiento a la izquierda y $3$ a la derecha.

1. a) Desarrolla el binomio $(I + D)^4$.

1. b) Indica algebraicamente cuántos caminos distintos llevan al compartimento resaltado en rojo.

En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.

Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \times (1 - 2x)^5$.

Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.