Radicales

Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y simplifica al máximo la expresión $\sqrt[6]{x^4 y^2 z^8}$, asumiendo que todas las variables representan números reales positivos.

Determina si los radicales $\sqrt[4]{25x^2}$ y $\sqrt{5x}$ son equivalentes para cualquier valor de $x > 0$. Justifica tu procedimiento utilizando exponentes fraccionarios.

Extrae todos los factores posibles del interior del siguiente radical, simplificando la expresión al máximo: $\sqrt[3]{108 a^5 b^7 c^3}$.

Simplifica la siguiente expresión aplicando la propiedad de la raíz de una raíz y expresando el resultado con un único radical: $\sqrt[3]{a^2 \sqrt{a}}$.

Simplifica al máximo la siguiente expresión con radicales anidados, reduciéndola a un único radical y extrayendo todos los factores posibles (asume que las variables son reales positivos):

$\sqrt[4]{\frac{x^3 y}{z} \sqrt[3]{\frac{z^2}{x y^2} \sqrt{\frac{x}{y}}}}$.

Reduce a índice común los radicales $\sqrt[3]{5}$, $\sqrt[4]{10}$ y $\sqrt[6]{30}$, y ordénalos de menor a mayor justificando tu respuesta.

Multiplica los siguientes radicales del mismo índice y extrae los factores posibles del resultado final: $\sqrt[4]{27a^2b^3} \times \sqrt[4]{3a^3b}$.

Calcula la potencia del siguiente radical y simplifica el resultado extrayendo todos los factores posibles (asume variables positivas): $(\sqrt[4]{8x^3y^2})^2$.

Efectúa la siguiente operación combinada con radicales de distinto índice, expresando el resultado final con un único radical simplificado: $\frac{\sqrt{2x} \times \sqrt[3]{4x^2}}{\sqrt[6]{8x^5}}$.

Realiza las sumas y restas de los siguientes radicales semejantes, extrayendo factores previamente para poder simplificar el resultado: $5\sqrt{18} - 2\sqrt{50} + \sqrt{8}$.

Desarrolla la siguiente expresión utilizando los productos notables para el cuadrado de una diferencia y el producto de binomios, y agrupa los términos semejantes: $(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$.

Racionaliza el denominador de la siguiente expresión y simplifica el resultado final extrayendo factores si es posible: $\frac{6x}{\sqrt[5]{8x^2y^3}}$.

La tasa de interés compuesto anual $r$ (expresada en tanto por uno) necesaria para que un capital inicial $C_0$ se convierta en un capital final $C_n$ al cabo de $n$ años viene dada por $r = \sqrt[n]{\frac{C_n}{C_0}} - 1$. Calcula el valor exacto de la tasa $r$ si una inversión multiplica su valor por $\frac{5}{2}$ en exactamente 3 años. Racionaliza el radical resultante en tu respuesta.

Racionaliza el denominador multiplicando por la expresión conjugada y simplifica operando el numerador: $\frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}$.

Racionaliza el denominador de la siguiente fracción que contiene tres términos radicales y simplifica el resultado final: $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}}$.

La tensión máxima $S$ soportada por la base de una cúpula arquitectónica modelada mediante una sección cónica viene dada por la expresión $S = \frac{P}{\sqrt{a^2 + b^2 - a\sqrt{b}}}$. Si la carga estructural es $P = 14$ toneladas, con parámetros geométricos $a = \sqrt{2}$ y $b = 8$, calcula el valor exacto de la tensión $S$ racionalizando el resultado final.

Simplifica completamente la siguiente expresión algebraica, operando las fracciones mediante un denominador común y aplicando las propiedades de los radicales conjugados:

$\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} + \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}}$.

Demuestra algebraicamente que el número irracional $x = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ es, en realidad, un número entero. Plantea la ecuación $x^2$ y utiliza los productos notables para resolverlo.

En un prisma rectangular, las longitudes de sus tres aristas concurrentes miden exactamente $\sqrt{2}$ m, $\sqrt{3}$ m y $\sqrt{5}$ m. Calcula el valor exacto de la diagonal espacial del prisma ($D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$) y el volumen del mismo, expresando ambos resultados en su forma radical más simple.

En un pentágono regular de lado $L = 2$ cm, la longitud de cualquier diagonal $D$ está relacionada con el lado mediante el número áureo $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, cumpliendo $D = L \times \Phi$. Traza una diagonal horizontal para dividir el pentágono en un triángulo isósceles superior y un trapecio isósceles inferior. Utilizando el teorema de Pitágoras, calcula el valor exacto de la altura total $h$ del pentágono sumando las alturas de ambas figuras. Expresa el resultado final de la forma más simplificada posible.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Considera la espiral de Teodoro, construida mediante triángulos rectángulos contiguos. El primer triángulo tiene catetos iguales de longitud $a$. El enésimo triángulo tiene como catetos la hipotenusa del triángulo anterior y un nuevo cateto de longitud $a$. Si el área del sexto triángulo de la secuencia es exactamente $A_6 = 12\sqrt{6}$ cm², calcula el valor exacto del parámetro $a$ y, con él, determina el perímetro exacto del tercer triángulo de la espiral simplificando los radicales.

El periodo $T$ de un péndulo simple viene dado por la fórmula física $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud de la cuerda y $g$ la gravedad. Si un ingeniero necesita que el nuevo periodo sea exactamente $\sqrt{2} + 1$ veces el periodo original, ¿por qué factor exacto debe multiplicar la longitud $L$ original? Expresa tu razonamiento algebraicamente desarrollando el binomio al cuadrado.

Según la Ley de Kleiber en biología, la tasa metabólica basal $R$ de un mamífero escala con su masa corporal $M$ según la relación $R = k \sqrt[4]{M^3}$, donde $k$ es una constante. Si un animal $A$ tiene una masa exactamente $27$ veces mayor que la de un animal $B$, determina la razón exacta $\frac{R_A}{R_B}$ utilizando propiedades de los radicales y extrayendo factores.

El factor de Lorentz en la teoría de la relatividad especial se define como $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Si una partícula subatómica viaja a una velocidad $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$, calcula el valor exacto de $\gamma$. Posteriormente, determina a qué velocidad exacta $v$ (en función de $c$) debe viajar para que el factor sea $\gamma = \sqrt{2} + 1$, racionalizando el resultado si es necesario.